数学中有三境界，即“授人以业”，“授人以法“，“授人以道”。授人以业，就是传授知识给学生，这是最初步的要求，也是最基本的要求。授人以法，就是培养学生的能力，教给他方法，使学生自己有能力去扩展知识。授人以道，将学生掌握的方法和获得的知识贯穿起来，使他们既能高瞻远瞩，又能析物入微。多年的数学教学工作，令我感悟最深的是函数。函数在高中数学教学内容中占了相当大的比重。高一阶段学习了指数函数，对数函数，三角函数，到高三还要用极限、导数的方法去研究函数。可见，函数在整个高中数学中占有举足轻重的地位。函数中从概念到性质都渗透了美学的思想。从函数的概念来看，它刻划了两个变量之间的内在联系，一个量的变化引起了另一个变量的必然变化。这样就在“动”中产生变化，产生美感，产生数学思想。从函数的性质来看，尤其是一些基本函数，如二次函数、一次函数、指数函数、对数函数、三角函数等等，其性质往往与图像联系在一起。通过观察、分析其图像，就可提炼出其性质。另外，许多函数可以用等式把两个变量联系起来，因此函数中渗透了方程的思想。从方程来看相对“静止”，又从函数来看，却处于“动态”。因而处理函数问题有时也需要和方程联系在一起。
　　一.数形结合的思想
　　对于解决函数的诸多问题，要树立数形结合的思想，没有形不直观，没有数难以入微。对于形如的函数，求其值域时，可根据f(t)与g(t)的关系，设将问题转化为求曲线上任意一点与原点的连线的斜率的取值范围。
　　例1：求的值域。
　　解析：设消去t，整理得y=-（1）其图像为抛物线y=- 介于点A(1,-1)与B(5,3)之间的一段曲线C，所求值域即为C上任意一点与原点连线的斜率的取值范围，易求得
　　例2：函数y= 的周期T=
　　错解：因为y=，
　　故T=
　　剖析：因为由cos3x+cosx=2cos2xcosx 0，得x k+。所以题中函数应等价于函数y=tan2x( )，其图像如下所示。观察上图，易知周期应为而不是。
　　二.函数问题中渗透着方程之思想
　　在高中数学学习过程中，常常会遇到一些求函数的最值、值域等问题。而这些问题却要用方程的思想方法才能得到解决，对一些特殊方程的根的问题，又只能用函数的思想方能解决。因此，函数与方程紧密相联、密切相关，起到互补之功效。
　　例3：求函数y= 的值域
　　解析：由已知得：
　　(1)若y 0,且即（解得 且 或
　　
　　（2）若y=0,则有x=-1。
　　综上所述，
　　例2：求函数 的值域。
　　分析：由已知得分子、分母没有公因式，此时由判别式求值域。
　　解析：由已知得
　　（1）若y1时 就是
　　
　　 解得
　　(2)若y=1,则有x=0.
　　综上所述
　　例3：方程的实数解的个数是（）
　　（A）0(B)1(C)2(D)3
　　分析：求出方程的解，再数解的个数的方法显然行不通。应该数形结合，从函数图像交点的个数的角度去解决。
　　原方程
　　在同一平面直角坐标系中，作出这两个函数的图像。由于两曲线有两个公共点，故原方程有两个实数解，因此本题选（C）。
　　所以，我们在教学过程中一定要融入数学思想，让学生享受数学之美，从而轻松掌握所学知识。
　　（作者通联：615400四川省宁南中学）
　　
　　
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