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引言：研究了标准动态矩阵控制（DMC）算法在模型严重失配情形下的性能下降问题，然后针对多模型不确定性对象，提出了一种改进的鲁棒DMC算法——基于多模型加权优化的鲁棒DMC算法（RDMC）.将标准预测控制算法的三个基本原理，即预测模型，滚动优化和反馈校正，扩展为多模型预测，多模型加权滚动优化，多模型反馈校正及反馈因子的在线校正四个部分.还针对Wood/Berry乙醇—水双组分精馏塔模型做了详细的仿真研究。
动态矩阵控制（DMC）在过程工业上的应用获得了极大的成功，也是目前应用最为广泛和商业化实现最好的优化算法[1，2].标准DMC算法采用的是标称模型，即通过现场测试或机理分析得到的标称阶跃响应模型，理论分析和工程实践都证实在所用模型与实际过程模型很接近时，控制效果是良好的，但是当模型和实际对象相差比较大，其控制效果将大打折扣.实际工业过程中，要获得一个工业过程或装置的准确数学模型几乎是不可能的，何况许多对象本身就具有时变性和非线性.面对复杂的工业对象，如何有效地将许多成熟的控制算法应用上去，是非常有意义和富有挑战性的。
我们针对某炼油厂进行多变量约束优化控制研究时发现，绝大多数的过程都是具有纯滞后的一阶惯性环节.就控制而言，这样的对象应该是十分简单的，而事实却是，对整个装置而言，对象的缓慢时变性和工作点的频繁变动是不可避免的，特别是在高度竞争的市场经济环境下，根据库存、价格、季节等因素的变化，定期或不定期地调整产品结构，改变局部或整个装置的工作点，已成为企业生存的必由之路.这就要求控制和优化算法都必须具备某种程度的鲁棒性能，以解决上述变化产生的模型不确定性问题.本文正是从这些实际问题入手，结合现有的理论成果，提出了基于多模型加权优化的多变量鲁棒DMC算法。
一、基于多模型加权优化的多变量RDMC算法
大多数鲁棒控制算法中，对参数摄动系统进行鲁棒优化设计时，总是针对参数域中某一关键性的点进行的，如标称点或参数摄动的边界点等，这样只能获得该点意义上的最优控制，很难兼顾系统[]在参数域其他点的性能.标称法和最小最大法是这类方法中常见的两种方法.实际应用中，往往要求在不牺牲性能的条件下，能同时兼顾多个工作点，这对于采用单一模型的算法来说是很困难的.有文献提出在概率描述框架下，通过对系统的不同参数摄动状态进行概率加权综合二次性能指标寻优，实现整个参数域的一体化设计[3].这种基于概率鲁棒优化的思想对于时变特征明显、而且模型参数摄动概率与优化计算中采用的概率相吻合的情形，总体优化性能是好的，在统计意义上可以说兼备了标称法和最大最小法的优点.但问题在于，对于实际工业过程，现场的变化十分复杂，模型的不确定性很难用一成不变的规律来描述.例如在催化裂化装置中，原料油成分的改变、催化剂的改变、工作点的转移、产品结构的改变等因素，都可以成为控制对象模型参数摄动的原因.因而如果对象模型的摄动因素不用某种在线机制来不断地更新和调整，那么，得到的所谓鲁棒优化控制器仍然经不起现场实际实用考验的。
基于多模型加权优化的RDMC算法，在借鉴了上述概率鲁棒优化思想的基础上，将经典DMC中的模型预测和滚动优化分别扩展为多模型预测和多模型加权优化，并且加入了多模型优化加权因子的在线自校正机制.在多个预测模型的基础上，通过大小不同的加权因子对不同的预测模型给予不同程度的重视，以反映各模型对未来时刻输出的可能贡献。
（一）多模型预测
对于维线性多变量系统的预测输出可通过单变量预测的输出叠加而成.假设不确定性系统是由L个确定性系统的某种组合. 那么，在第j个输入分量的一步增量作用下，第i个输出分量在第l个基模型下的N步预测输出为
， （1）
其中： ；
；
.
这里表示输出对输入的阶跃响应系数矢量， 和分别为k时刻控制作用不变和变化时的未来预测输出矢量，N为模型长度。
同样，我们可以得到连续M个输入增量作用下，L个基模型的P步预测输出.下面用向量形式给出预测模型的表达式：
， （2）
其中：
以上各表达式中，，且P ≤ N.
（二）多模型加权滚动优化
多变量情形下的多模型加权滚动优化性能指标可用下式表示：
； （3）
其中，， ，为模型优化加权系数，先假定它是事先根据经验确定的，后面我们会看到，优化加权系数可以通过自校正算法在线获得.上式中的其余向量和矩阵为：
不难发现，误差权阵Q和控制权阵R相对各基模型是不变的，这是因为Q和R代表的意义是未来各个时刻输出偏差和控制增量的加权，仅与时刻有关，故没必要将其设为依基模型而变的.各基模型的重要性体现在模型的优化加权系数的权值中。
在不考虑约束的情况下，由预测模型（2）可求出使性能指标（3）最优的未来M个控制增量构成的向量为：
； （4）
其中，.尽管每次优化时都计算出未来M个控制增量，但仅执行当前时刻的控制增量：
， （5）
其中， .
（三）多模型反馈校正
反馈校正是根据上一时刻对当前时刻的预测输出与当前时刻的采样值之差经过加权来求出的，由于采用了多模型结构，所以共有L组预测输出，同样就会有L组误差向量：
. （6）
有了误差向量，就可以对未来的预测初始值做出校正：
， （7）
其中，H为校正矩阵，通常取为块对角阵， S为p个移位矩阵构成的块对角矩阵，即
；；
这里，；.
（四）优化加权因子在线自校正
首先，我们要在对各个基模型过去若干个周期的预测误差进行分析的基础上，给出MIMO情形下各基模型与实际对象之间的距离的定义。 定义 对于维离散时间系统，假设描述它的模型为，那么，在时刻k，模型与实际对象之间在过去共T个间隔上的距离可以用下式来表示
. （8）
利用上面的定义， 我们可以得到，在多模型框架下，每个时刻RDMC中每个基模型与实际对象之间的距离：
； （9）
其中，.在上述定义的基础上，可以得到如下形式的优化加权因子校正表达式：
. （10）
二、Wood/Berry精馏塔仿真实例
在石化工业装置中，精馏过程的应用是极为广泛的.下面的仿真研究中，我们采用一个被文献中广泛采用的试验性的乙醇/水系统精馏塔模型来作研究，精馏塔模型为：
.
模型中各变量的物理意义如表1所示，时间单位为分钟.采样周期取1分钟.
表1 Wood/Berry 乙醇/水双组分精馏塔变量总汇
Table 1 The Wood/Gerry ethanol/water two-element distillation column variables
在真实系统中，模型不可能绝对精确，假设几种失配情形下输入输出传递函数阵分别为：
，，
，.
设实际对象的输入输出传递函数阵为，假设不考虑进料的干扰，即认为进料量固定在2.45 lb/min 不变，控制要求为（1） 塔顶成分由稳态值96.25%上升到新的稳态值96.85%；（2） 塔底成分由稳态值0.5%降到新的稳态值0.4%.
我们用基于多模型加权优化的RDMC对Wood/Berry 精馏塔进行控制，各控制参数为： ，，，
L=4， N=60， P=30， M=10.
我们共做了6组仿实验来比较各种控制算法的性能. 仿真结果如图1和图2所示，图中各曲线所对应的控制算法如下：（1）实线， 经过自校正的RDMC；（2）短划线， 平均取值（各取0.25）的RDMC；（3）点线， 标称模型采用G1（s）的DMC；（4）点-短划线， 标称模型采用G2（s）的DMC；（5）标称模型采用G3（s）的DMC；（6）双点-长划线， 标称模型采用G4（s）的DMC.
经过比较之后可以发现， 在各种模型失配情形下， 经过自校正的RDMC具有最佳的控制效果.在多次的实验之中， 我们还发现， 无论的初始值如何选取， 在没有外来强制干扰的情形下， 校正后的值总是趋近于某组基本恒定的数值， 这正说明本文提出的自校正算法的数值稳定性， 同时也表明，前面关于模型与对象之间的距离的定义，能够基本真实地反映各基模型同真实对象的之间的“差距”或失配程度。
三、结论
本文针对多模型不确定性对象，提出并详细描述了一种改进的鲁棒DMC算法——基于多模型加权优化的RDMC.并将该算法应用在Wood/Berry乙醇—水双组分精馏塔模型做了详细的仿真研究.仿真结果表明，基于多模型加权优化的RDMC，较好地解决了多模型失配模式下DMC算法的性能鲁棒性问题，这一鲁棒DMC控制算法特别适合于解决石化装置中那些因切换工作点，调整产品结构导致对象特性迁移产生模型失配而导致的控制品质下降问题。
参考文献
[1] Cutler C R， Ramaker B L. Dynamic Matrix Control -- A Computer Control Algorithm. AICHE National Mtg.， Houston， Texas， 1979， WP5-B.
[2] 竺建敏. 高级过程控制的闭环实时优化. 石油炼制与化工， 1995， 26（7）： 42-48.
[3] 岳红， 蒋慰孙， 顾幸生. 概率鲁棒LQ优化设计. 控制与决策， 1997，12（1）：31-36.
（作者单位：1.内蒙古商贸职业学院；2.上海交通大学）
作者简介
张淑萍（1968-），女，高级工程师。
赵桂钦（1970-），女，副教授。
动态矩阵控制（DMC）在过程工业上的应用获得了极大的成功，也是目前应用最为广泛和商业化实现最好的优化算法[1，2].标准DMC算法采用的是标称模型，即通过现场测试或机理分析得到的标称阶跃响应模型，理论分析和工程实践都证实在所用模型与实际过程模型很接近时，控制效果是良好的，但是当模型和实际对象相差比较大，其控制效果将大打折扣.实际工业过程中，要获得一个工业过程或装置的准确数学模型几乎是不可能的，何况许多对象本身就具有时变性和非线性.面对复杂的工业对象，如何有效地将许多成熟的控制算法应用上去，是非常有意义和富有挑战性的。
我们针对某炼油厂进行多变量约束优化控制研究时发现，绝大多数的过程都是具有纯滞后的一阶惯性环节.就控制而言，这样的对象应该是十分简单的，而事实却是，对整个装置而言，对象的缓慢时变性和工作点的频繁变动是不可避免的，特别是在高度竞争的市场经济环境下，根据库存、价格、季节等因素的变化，定期或不定期地调整产品结构，改变局部或整个装置的工作点，已成为企业生存的必由之路.这就要求控制和优化算法都必须具备某种程度的鲁棒性能，以解决上述变化产生的模型不确定性问题.本文正是从这些实际问题入手，结合现有的理论成果，提出了基于多模型加权优化的多变量鲁棒DMC算法。
一、基于多模型加权优化的多变量RDMC算法
大多数鲁棒控制算法中，对参数摄动系统进行鲁棒优化设计时，总是针对参数域中某一关键性的点进行的，如标称点或参数摄动的边界点等，这样只能获得该点意义上的最优控制，很难兼顾系统[]在参数域其他点的性能.标称法和最小最大法是这类方法中常见的两种方法.实际应用中，往往要求在不牺牲性能的条件下，能同时兼顾多个工作点，这对于采用单一模型的算法来说是很困难的.有文献提出在概率描述框架下，通过对系统的不同参数摄动状态进行概率加权综合二次性能指标寻优，实现整个参数域的一体化设计[3].这种基于概率鲁棒优化的思想对于时变特征明显、而且模型参数摄动概率与优化计算中采用的概率相吻合的情形，总体优化性能是好的，在统计意义上可以说兼备了标称法和最大最小法的优点.但问题在于，对于实际工业过程，现场的变化十分复杂，模型的不确定性很难用一成不变的规律来描述.例如在催化裂化装置中，原料油成分的改变、催化剂的改变、工作点的转移、产品结构的改变等因素，都可以成为控制对象模型参数摄动的原因.因而如果对象模型的摄动因素不用某种在线机制来不断地更新和调整，那么，得到的所谓鲁棒优化控制器仍然经不起现场实际实用考验的。
基于多模型加权优化的RDMC算法，在借鉴了上述概率鲁棒优化思想的基础上，将经典DMC中的模型预测和滚动优化分别扩展为多模型预测和多模型加权优化，并且加入了多模型优化加权因子的在线自校正机制.在多个预测模型的基础上，通过大小不同的加权因子对不同的预测模型给予不同程度的重视，以反映各模型对未来时刻输出的可能贡献。
（一）多模型预测
对于维线性多变量系统的预测输出可通过单变量预测的输出叠加而成.假设不确定性系统是由L个确定性系统的某种组合. 那么，在第j个输入分量的一步增量作用下，第i个输出分量在第l个基模型下的N步预测输出为
， （1）
其中： ；
；
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这里表示输出对输入的阶跃响应系数矢量， 和分别为k时刻控制作用不变和变化时的未来预测输出矢量，N为模型长度。
同样，我们可以得到连续M个输入增量作用下，L个基模型的P步预测输出.下面用向量形式给出预测模型的表达式：
， （2）
其中：
以上各表达式中，，且P ≤ N.
（二）多模型加权滚动优化
多变量情形下的多模型加权滚动优化性能指标可用下式表示：
； （3）
其中，， ，为模型优化加权系数，先假定它是事先根据经验确定的，后面我们会看到，优化加权系数可以通过自校正算法在线获得.上式中的其余向量和矩阵为：
不难发现，误差权阵Q和控制权阵R相对各基模型是不变的，这是因为Q和R代表的意义是未来各个时刻输出偏差和控制增量的加权，仅与时刻有关，故没必要将其设为依基模型而变的.各基模型的重要性体现在模型的优化加权系数的权值中。
在不考虑约束的情况下，由预测模型（2）可求出使性能指标（3）最优的未来M个控制增量构成的向量为：
； （4）
其中，.尽管每次优化时都计算出未来M个控制增量，但仅执行当前时刻的控制增量：
， （5）
其中， .
（三）多模型反馈校正
反馈校正是根据上一时刻对当前时刻的预测输出与当前时刻的采样值之差经过加权来求出的，由于采用了多模型结构，所以共有L组预测输出，同样就会有L组误差向量：
. （6）
有了误差向量，就可以对未来的预测初始值做出校正：
， （7）
其中，H为校正矩阵，通常取为块对角阵， S为p个移位矩阵构成的块对角矩阵，即
；；
这里，；.
（四）优化加权因子在线自校正
首先，我们要在对各个基模型过去若干个周期的预测误差进行分析的基础上，给出MIMO情形下各基模型与实际对象之间的距离的定义。 定义 对于维离散时间系统，假设描述它的模型为，那么，在时刻k，模型与实际对象之间在过去共T个间隔上的距离可以用下式来表示
. （8）
利用上面的定义， 我们可以得到，在多模型框架下，每个时刻RDMC中每个基模型与实际对象之间的距离：
； （9）
其中，.在上述定义的基础上，可以得到如下形式的优化加权因子校正表达式：
. （10）
二、Wood/Berry精馏塔仿真实例
在石化工业装置中，精馏过程的应用是极为广泛的.下面的仿真研究中，我们采用一个被文献中广泛采用的试验性的乙醇/水系统精馏塔模型来作研究，精馏塔模型为：
.
模型中各变量的物理意义如表1所示，时间单位为分钟.采样周期取1分钟.
表1 Wood/Berry 乙醇/水双组分精馏塔变量总汇
Table 1 The Wood/Gerry ethanol/water two-element distillation column variables
在真实系统中，模型不可能绝对精确，假设几种失配情形下输入输出传递函数阵分别为：
，，
，.
设实际对象的输入输出传递函数阵为，假设不考虑进料的干扰，即认为进料量固定在2.45 lb/min 不变，控制要求为（1） 塔顶成分由稳态值96.25%上升到新的稳态值96.85%；（2） 塔底成分由稳态值0.5%降到新的稳态值0.4%.
我们用基于多模型加权优化的RDMC对Wood/Berry 精馏塔进行控制，各控制参数为： ，，，
L=4， N=60， P=30， M=10.
我们共做了6组仿实验来比较各种控制算法的性能. 仿真结果如图1和图2所示，图中各曲线所对应的控制算法如下：（1）实线， 经过自校正的RDMC；（2）短划线， 平均取值（各取0.25）的RDMC；（3）点线， 标称模型采用G1（s）的DMC；（4）点-短划线， 标称模型采用G2（s）的DMC；（5）标称模型采用G3（s）的DMC；（6）双点-长划线， 标称模型采用G4（s）的DMC.
经过比较之后可以发现， 在各种模型失配情形下， 经过自校正的RDMC具有最佳的控制效果.在多次的实验之中， 我们还发现， 无论的初始值如何选取， 在没有外来强制干扰的情形下， 校正后的值总是趋近于某组基本恒定的数值， 这正说明本文提出的自校正算法的数值稳定性， 同时也表明，前面关于模型与对象之间的距离的定义，能够基本真实地反映各基模型同真实对象的之间的“差距”或失配程度。
三、结论
本文针对多模型不确定性对象，提出并详细描述了一种改进的鲁棒DMC算法——基于多模型加权优化的RDMC.并将该算法应用在Wood/Berry乙醇—水双组分精馏塔模型做了详细的仿真研究.仿真结果表明，基于多模型加权优化的RDMC，较好地解决了多模型失配模式下DMC算法的性能鲁棒性问题，这一鲁棒DMC控制算法特别适合于解决石化装置中那些因切换工作点，调整产品结构导致对象特性迁移产生模型失配而导致的控制品质下降问题。
参考文献
[1] Cutler C R， Ramaker B L. Dynamic Matrix Control -- A Computer Control Algorithm. AICHE National Mtg.， Houston， Texas， 1979， WP5-B.
[2] 竺建敏. 高级过程控制的闭环实时优化. 石油炼制与化工， 1995， 26（7）： 42-48.
[3] 岳红， 蒋慰孙， 顾幸生. 概率鲁棒LQ优化设计. 控制与决策， 1997，12（1）：31-36.
（作者单位：1.内蒙古商贸职业学院；2.上海交通大学）
作者简介
张淑萍（1968-），女，高级工程师。
赵桂钦（1970-），女，副教授。