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摘 要：函数，让学生从常量数学进入到变量数学学习，函数图象，作为函数主要的表现形式之一，也是函数学习的重要工具，函数图象的学习是初中阶段数学的重点也是难点。几何画板，可以在图象教学中“化无限为有限”，在图象教学中“化抽象为具体”，成为学生探究函数图象的数学工具。因此，初中函数图象教学中，利用几何畫板可以有效的突破教学难点。
关键词：几何画板;函数图象;难点突破
一、我的认识
1. “几何画板”简介
“几何画板”软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件，1996年该公司授权人民教育出版社发行该软件的中文版。正如其名“21世纪动态几何”，它能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律，是数学与物理教师制作课件的“利剑”！现在的几何画板版本号达到5.05，可以无缝插入PPT演示文稿中并保留它的动态与交互窗口。
2.初中函数图象教学难点
初中生学习函数图象是他们学习函数的起点，全新的东西会给他们带来一定的困难，那么函数图象学习的难点是什么呢？以浙江教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书》为例，《一次函数的图象》一节难点是“验证图象的完备性（坐标是满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式），学生不易理解”;《反比例函数的图象和性质》一节的困难是“由于反比例函数的图象分成两支，给画图象带来了复杂性”;《二次函数的图象》分三节课展开，“y=ax2（a≠0）型，选择适当的自变量的值及相应的函数值画函数图象，过程复杂，是教学难点”;“y=a（x+m）2+k（a≠0）型，对于平移变换的理解和确定，学生较难理解，是教学难点”;“y=ax2+bx+c（a≠0）型，需要通过配方变形，过程复杂，是教学难点”。
二、我的实践
1.利用“几何画板”化无限为有限，妙证一次函数图象的“完备性”与“纯粹性”
在《一次函数的图象》教学中，学生难以理解“验证图象的完备性与纯粹性”，其实是“完备性”与“纯粹性”本身不易理解，它们都涉及到对数学中“无穷”概念的理解。完备性——所有坐标满足一次函数的点都在直线上，纯粹性——图象上所有的点的坐标都满足函数解析式。这里两个“所有”究竟有多少，其实是一个“无穷大”的概念，抽象、难以理解。
（1）粉笔黑板——难以突破《一次函数的图象》中客观存在的难点
在《一次函数的图象》教学中，学生通过完成合作学习，探究一次函数图象，合作学习内容如下：
对一次函数y=2x与y=2x+1作如下研究，
（1）分别选择若干对自变量与函数的对应值，列表如下;
x … …
y=2x … …
y=2x+1 … …
（2）分别以表中x的值作为点的横坐标，对应的函数y的值作纵坐标得到两组点，写出这两组点的坐标;
（3）在直角坐标系中根据所写出的坐标画出这两组点;
（4）观察这两组点，你发现了什么？与同伴交流。”
学生能观察到坐标满足y=2x各点（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4）都在直线l1;而坐标满足一次函数y=2x+1的点（-2，-3），（-1，-1），（0，1），（1，3），（2，5）都在直线l2上。课堂上师生在l1与l2上取点验证其坐标满足解析式时，因为取“点”读“坐标”单凭“眼观尺量”一定有误差，很难很好的满足解析式，所以“黑板粉笔”手段在验证“纯粹性”时困难是客观实在的;其次，坐标满足解析式的点何止千万，画出来的几个点在直线上，还有无数个坐标满足解析的点，如何让学生“相信”也在直线上，如何验证它的完备性？其实学生有了实践中的体验，就差那么一点点，“黑板粉笔”就是不能把事实摆在孩子们的面前，让它们信服。
（2）几何画板——提供让孩子们难以想象的实验验证其“完备性”与“纯粹性”
当学生完成好合作学习的四个环节后，师生交流：
师问：“坐标满足函数解析式y=2x的点只有我们画出来的这些点吗？
其它坐标满足y=2x的点也在这条直线上吗？y=2x+1呢？”
互动：学生根据解析式y=2x写坐标满足它的点的坐标，老师把同学们写出坐标的点画出如图的坐标系内。学生，写出的坐标，有一定任意性，数学中的“所有”有时可以用“任意”来描述，例如函数y=2x自变量取值范围是所有实数，也可理解为自变量x可以是任意一个实数。老师，利用几何画板，画出学生写出的点，给学生展示出一个客观事实，“坐标满足函数解析式的点都在直线上”。“完备性”在师生的互动中得到验证。
而关于“纯粹性”，在直线上取一动点，利用“几何画板”的“度量”工具度量出其在任意位置的点的坐标，学生完成“验证坐标满足函数解析式”，进而体验到直线上的点的坐标满足解析式。
经过自主探索、同伴交流、师生验证，学生在意识中已经有了一次函数y=2x与y=2x+1的图象的最初概念——一条直线。但是对于一般的一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）是一条直线吗？我们可以再次利用“几何画板”绘图“工具，师生互动，学生任意给出一次函数解析式，老师在画板上操作画出图象，用实例打消了学生的疑虑，确定”一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）可以用坐标系内一条直线表示，这条直线也叫一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象。”
2.几何画板——化“抽象”为“具体”，突破学生理解的难点
有了一次函数图象及性质的学习经验，学生在学习反比例函数图象及性质就有章可寻了。特别在学习反比例函数图象时，学生对于“列表、描点及连线”这样描点法画函数图象的套路在一次函数图象时已经经历过，在此不会陌生。虽然探究函数图象的方法不变，但面临的际函数却有不同，这将使学习反比例函数图象出现新的困难。一次函数中变量的取值不受限制，变化连续均匀，图象是直线型，学生在探究一次函数图象过程中只需要任意的四、五个点就容易发现其变化规律和图象“直线型”特征。反观，反比例函数变量取值不同于一次函数，无论是自变量还是函数都不能取零，在实数范围内，反比例函数的变化在原点处不连续，图象是独立的两部分。对此，学生在图象探究过程中是难以理解和想象的。 在《反比例函数图象》教学中，学生探究活动，主要通过合作学习的几个环节：根据以下步骤，在直角坐标平面内画出反比例函数y=6/x的图象。
（1）列表。根据表中x的取值，求出相应y的值，你对取值有什么想法？
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y=6/x … …
（2）以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点;
（3）先在第一象限，按自变量由小到大把点用光滑的曲线连结，得到图象第一个分支;再在第三象限内画出图象的另一个分支。
第（3）个环节是有疑惑的：为什么是两支？这两支会不会是连在一起的呢？在“黑板粉笔”的手段下只能引导学生观察上环节（1）表中各组值的变化及相关点的位置变化规律——当x的绝对值变大时，相应点离x轴的距离越近，反之，离y轴越近，即双曲线每一支都向两端无限延伸且无限接近坐标轴，所以两支不会相连。这些都是理性分析，没有实际的图象可共观察，抽象，难理解。
几何画板可以弥补没有“实图可看”的缺憾。首先当学生完成到环节（3）不知该如何连线时，我们利用几何画板的“绘图”工具画出函数y=6/x的图象，使学生相信科学，相信该函数的图象确实是两条曲线;其次，我们还可以用鼠标对双曲线上的箭头进行拖拽，实现“双曲线的每一支向两端无限延伸，且越来越接近坐标轴，但永不相交”动画展示过程。
几何画板的绘图工具与动态演示功能把反比例函数图象部分特征具体化，让本是抽象难懂的“规律”变得具体可见，突破本节课的难点
。从此，学生真正感受到：“反比例函数y=k/x（k≠0）图象是由两个分支组成的曲线，又称双曲线，当k>0时，图象在一、三象限;当k<0时，图象在二、四象限;反比例函数图象关于原点成中心对称。”
3.几何画板——“先识图再画图”，利用“性质”指导“作图”，突破难点，提高了效率
（1）“探究活动”，借助先进的方法和工具
初中阶段关于函数图象教学中，始终都有培养学生“探究意识”的意图，从“一次函数的图象”到“二次函数的图象”无一例外都是在学生不知道这些图象究竟是什么的情况下先画。规律简单明显的函数，手工绘制可以探究，如一次函数的图象，但如若函数复杂，同样是探究图象，必要是要学会借用工具和先进的技术，如函数y=x5-4x3+3x2，手工绘制就难以完成。初中阶段的反比例函数与二次函数的图象要比一次函数的图象复杂，学生的探究有困难，如反比例函数图象的分段性，二次函数图象的对称性及量变的加速性，所以二次函数图象的教学可以借助先进的CAI软件进行教学。
（2）“作二次函数的图象”，在图象及性质指导下完成的
二次函数的图象及性质应用广泛，是初中生必须掌握画二次函数图象的基本技能。纵观二次函数图象教学，都是在用抛物线的对称性画图，从第一个二次函数的图象y=x2，在列表确定自变量及相应函数值时用到抛物线的对称性及顶点，直到熟练后的“五点法”画图，也是利用抛物线的轴对称性及顶点、交点等特征点完成。因此，二次函数的图象教学也可以采用此法，先让学生了解二次函数图象的一些直观特性，再利用这些特性进行定量研究，探索新知。
（3）“二次函数图象”，先画图象，再探性质，后作图象
如“y=ax2”型图象教学，以y=x2为例，学生列表确定自变量x的值是有讲究的，学生若方法不当，点都在对称轴的一边，探究出来的图象可能更象是直线而非抛物线。教学过程中，可以先利用几何画板画出学生从未见过的二次函数y=x2的图象，引导学生归纳此图象有何特点：对称性——y轴为其对称轴;顶点，图象上位置最低点，原点，在对称轴上;图象在x轴上方（除顶点）…引起学生思考讨论：所有“y=ax2”型图象都这样吗，比如y=-2x2？
经过y=x2与y=-2x2的图象对比，学生发现它们的顶点（0，0）及对称轴y轴不变，但位置有在x轴上也有x轴下。引导学生继续思考为什么前者在x轴上而后者却在下？当学生发现“这与系数a有关，若a>0，则y≥0，图象在x轴上，若a<0，则y≤0，图象在x轴下”时，二次函数y=ax2的图象学生已知晓：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，关于y轴对称，顶点为坐标原点。当a>0时，抛物线在x轴上方，開口朝上，顶点为最低点;当a<0时，抛物线在x轴下方，开口朝下，顶点为最高点。
最后，如何用描点法画y=x2图象呢？根据抛物线的特点，列表定值必从顶点即从x=0，y=0开始，x的值左右两边对称确定，如下表：
x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 …
y=x2 … …
完成列表、描点、连线作出相关图象。
三、结束语
1.“几何画板”在初中函数图象教学中，能有效突破难点。“工欲善其事必先利其器”。在初中函数图象教学过程中，利用“几何画板”可以提供直观的与之有关的例子，突破学生对函数图象理解的难点。当然，“几何画板”只是众多深入课堂的信息技术之一，借助信息技术，能给我们的教学带来裨益。但是信息技术不是万能的，技术再先进也要人来用，决定成败的关键因素在于教师的数学素质和教学设计。
2.“几何画板”能给数学实验提供切实可行的操作平台。“几何画板”平台下的数学实验活动能化静为动 、变抽象为具体 、变演绎为实验 、变传授为感悟，它除保留传统实验教学的长处外，还具有个别化和交互性等特点，这些独特的数学教学优势，不仅可以让学生直接参与实验教学，还实现了交流对象的可选化。在操作中学数学，这种新的信息技术和数学实验整合的教学模式，为学生今后的可持续发展打下良好的基础，对于改进教学、提高教学质量有着积极的作用。
参考文献
[1] 张景中，彭翕成，深入数学学科的信息技术，2009年10月.
[2] 蒋建东，浅谈初中阶段函数思想方法的教学，2005.9.
[3] 陈 锋，多元化的几何画板平台下数学实验教学的研究，教师，2013年15期.
[4] 王西武， 利用几何画板探析一道高题，考试周刊，2011年第44期.
关键词：几何画板;函数图象;难点突破
一、我的认识
1. “几何画板”简介
“几何画板”软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件，1996年该公司授权人民教育出版社发行该软件的中文版。正如其名“21世纪动态几何”，它能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律，是数学与物理教师制作课件的“利剑”！现在的几何画板版本号达到5.05，可以无缝插入PPT演示文稿中并保留它的动态与交互窗口。
2.初中函数图象教学难点
初中生学习函数图象是他们学习函数的起点，全新的东西会给他们带来一定的困难，那么函数图象学习的难点是什么呢？以浙江教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书》为例，《一次函数的图象》一节难点是“验证图象的完备性（坐标是满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式），学生不易理解”;《反比例函数的图象和性质》一节的困难是“由于反比例函数的图象分成两支，给画图象带来了复杂性”;《二次函数的图象》分三节课展开，“y=ax2（a≠0）型，选择适当的自变量的值及相应的函数值画函数图象，过程复杂，是教学难点”;“y=a（x+m）2+k（a≠0）型，对于平移变换的理解和确定，学生较难理解，是教学难点”;“y=ax2+bx+c（a≠0）型，需要通过配方变形，过程复杂，是教学难点”。
二、我的实践
1.利用“几何画板”化无限为有限，妙证一次函数图象的“完备性”与“纯粹性”
在《一次函数的图象》教学中，学生难以理解“验证图象的完备性与纯粹性”，其实是“完备性”与“纯粹性”本身不易理解，它们都涉及到对数学中“无穷”概念的理解。完备性——所有坐标满足一次函数的点都在直线上，纯粹性——图象上所有的点的坐标都满足函数解析式。这里两个“所有”究竟有多少，其实是一个“无穷大”的概念，抽象、难以理解。
（1）粉笔黑板——难以突破《一次函数的图象》中客观存在的难点
在《一次函数的图象》教学中，学生通过完成合作学习，探究一次函数图象，合作学习内容如下：
对一次函数y=2x与y=2x+1作如下研究，
（1）分别选择若干对自变量与函数的对应值，列表如下;
x … …
y=2x … …
y=2x+1 … …
（2）分别以表中x的值作为点的横坐标，对应的函数y的值作纵坐标得到两组点，写出这两组点的坐标;
（3）在直角坐标系中根据所写出的坐标画出这两组点;
（4）观察这两组点，你发现了什么？与同伴交流。”
学生能观察到坐标满足y=2x各点（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4）都在直线l1;而坐标满足一次函数y=2x+1的点（-2，-3），（-1，-1），（0，1），（1，3），（2，5）都在直线l2上。课堂上师生在l1与l2上取点验证其坐标满足解析式时，因为取“点”读“坐标”单凭“眼观尺量”一定有误差，很难很好的满足解析式，所以“黑板粉笔”手段在验证“纯粹性”时困难是客观实在的;其次，坐标满足解析式的点何止千万，画出来的几个点在直线上，还有无数个坐标满足解析的点，如何让学生“相信”也在直线上，如何验证它的完备性？其实学生有了实践中的体验，就差那么一点点，“黑板粉笔”就是不能把事实摆在孩子们的面前，让它们信服。
（2）几何画板——提供让孩子们难以想象的实验验证其“完备性”与“纯粹性”
当学生完成好合作学习的四个环节后，师生交流：
师问：“坐标满足函数解析式y=2x的点只有我们画出来的这些点吗？
其它坐标满足y=2x的点也在这条直线上吗？y=2x+1呢？”
互动：学生根据解析式y=2x写坐标满足它的点的坐标，老师把同学们写出坐标的点画出如图的坐标系内。学生，写出的坐标，有一定任意性，数学中的“所有”有时可以用“任意”来描述，例如函数y=2x自变量取值范围是所有实数，也可理解为自变量x可以是任意一个实数。老师，利用几何画板，画出学生写出的点，给学生展示出一个客观事实，“坐标满足函数解析式的点都在直线上”。“完备性”在师生的互动中得到验证。
而关于“纯粹性”，在直线上取一动点，利用“几何画板”的“度量”工具度量出其在任意位置的点的坐标，学生完成“验证坐标满足函数解析式”，进而体验到直线上的点的坐标满足解析式。
经过自主探索、同伴交流、师生验证，学生在意识中已经有了一次函数y=2x与y=2x+1的图象的最初概念——一条直线。但是对于一般的一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）是一条直线吗？我们可以再次利用“几何画板”绘图“工具，师生互动，学生任意给出一次函数解析式，老师在画板上操作画出图象，用实例打消了学生的疑虑，确定”一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）可以用坐标系内一条直线表示，这条直线也叫一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象。”
2.几何画板——化“抽象”为“具体”，突破学生理解的难点
有了一次函数图象及性质的学习经验，学生在学习反比例函数图象及性质就有章可寻了。特别在学习反比例函数图象时，学生对于“列表、描点及连线”这样描点法画函数图象的套路在一次函数图象时已经经历过，在此不会陌生。虽然探究函数图象的方法不变，但面临的际函数却有不同，这将使学习反比例函数图象出现新的困难。一次函数中变量的取值不受限制，变化连续均匀，图象是直线型，学生在探究一次函数图象过程中只需要任意的四、五个点就容易发现其变化规律和图象“直线型”特征。反观，反比例函数变量取值不同于一次函数，无论是自变量还是函数都不能取零，在实数范围内，反比例函数的变化在原点处不连续，图象是独立的两部分。对此，学生在图象探究过程中是难以理解和想象的。 在《反比例函数图象》教学中，学生探究活动，主要通过合作学习的几个环节：根据以下步骤，在直角坐标平面内画出反比例函数y=6/x的图象。
（1）列表。根据表中x的取值，求出相应y的值，你对取值有什么想法？
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y=6/x … …
（2）以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点;
（3）先在第一象限，按自变量由小到大把点用光滑的曲线连结，得到图象第一个分支;再在第三象限内画出图象的另一个分支。
第（3）个环节是有疑惑的：为什么是两支？这两支会不会是连在一起的呢？在“黑板粉笔”的手段下只能引导学生观察上环节（1）表中各组值的变化及相关点的位置变化规律——当x的绝对值变大时，相应点离x轴的距离越近，反之，离y轴越近，即双曲线每一支都向两端无限延伸且无限接近坐标轴，所以两支不会相连。这些都是理性分析，没有实际的图象可共观察，抽象，难理解。
几何画板可以弥补没有“实图可看”的缺憾。首先当学生完成到环节（3）不知该如何连线时，我们利用几何画板的“绘图”工具画出函数y=6/x的图象，使学生相信科学，相信该函数的图象确实是两条曲线;其次，我们还可以用鼠标对双曲线上的箭头进行拖拽，实现“双曲线的每一支向两端无限延伸，且越来越接近坐标轴，但永不相交”动画展示过程。
几何画板的绘图工具与动态演示功能把反比例函数图象部分特征具体化，让本是抽象难懂的“规律”变得具体可见，突破本节课的难点
。从此，学生真正感受到：“反比例函数y=k/x（k≠0）图象是由两个分支组成的曲线，又称双曲线，当k>0时，图象在一、三象限;当k<0时，图象在二、四象限;反比例函数图象关于原点成中心对称。”
3.几何画板——“先识图再画图”，利用“性质”指导“作图”，突破难点，提高了效率
（1）“探究活动”，借助先进的方法和工具
初中阶段关于函数图象教学中，始终都有培养学生“探究意识”的意图，从“一次函数的图象”到“二次函数的图象”无一例外都是在学生不知道这些图象究竟是什么的情况下先画。规律简单明显的函数，手工绘制可以探究，如一次函数的图象，但如若函数复杂，同样是探究图象，必要是要学会借用工具和先进的技术，如函数y=x5-4x3+3x2，手工绘制就难以完成。初中阶段的反比例函数与二次函数的图象要比一次函数的图象复杂，学生的探究有困难，如反比例函数图象的分段性，二次函数图象的对称性及量变的加速性，所以二次函数图象的教学可以借助先进的CAI软件进行教学。
（2）“作二次函数的图象”，在图象及性质指导下完成的
二次函数的图象及性质应用广泛，是初中生必须掌握画二次函数图象的基本技能。纵观二次函数图象教学，都是在用抛物线的对称性画图，从第一个二次函数的图象y=x2，在列表确定自变量及相应函数值时用到抛物线的对称性及顶点，直到熟练后的“五点法”画图，也是利用抛物线的轴对称性及顶点、交点等特征点完成。因此，二次函数的图象教学也可以采用此法，先让学生了解二次函数图象的一些直观特性，再利用这些特性进行定量研究，探索新知。
（3）“二次函数图象”，先画图象，再探性质，后作图象
如“y=ax2”型图象教学，以y=x2为例，学生列表确定自变量x的值是有讲究的，学生若方法不当，点都在对称轴的一边，探究出来的图象可能更象是直线而非抛物线。教学过程中，可以先利用几何画板画出学生从未见过的二次函数y=x2的图象，引导学生归纳此图象有何特点：对称性——y轴为其对称轴;顶点，图象上位置最低点，原点，在对称轴上;图象在x轴上方（除顶点）…引起学生思考讨论：所有“y=ax2”型图象都这样吗，比如y=-2x2？
经过y=x2与y=-2x2的图象对比，学生发现它们的顶点（0，0）及对称轴y轴不变，但位置有在x轴上也有x轴下。引导学生继续思考为什么前者在x轴上而后者却在下？当学生发现“这与系数a有关，若a>0，则y≥0，图象在x轴上，若a<0，则y≤0，图象在x轴下”时，二次函数y=ax2的图象学生已知晓：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，关于y轴对称，顶点为坐标原点。当a>0时，抛物线在x轴上方，開口朝上，顶点为最低点;当a<0时，抛物线在x轴下方，开口朝下，顶点为最高点。
最后，如何用描点法画y=x2图象呢？根据抛物线的特点，列表定值必从顶点即从x=0，y=0开始，x的值左右两边对称确定，如下表：
x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 …
y=x2 … …
完成列表、描点、连线作出相关图象。
三、结束语
1.“几何画板”在初中函数图象教学中，能有效突破难点。“工欲善其事必先利其器”。在初中函数图象教学过程中，利用“几何画板”可以提供直观的与之有关的例子，突破学生对函数图象理解的难点。当然，“几何画板”只是众多深入课堂的信息技术之一，借助信息技术，能给我们的教学带来裨益。但是信息技术不是万能的，技术再先进也要人来用，决定成败的关键因素在于教师的数学素质和教学设计。
2.“几何画板”能给数学实验提供切实可行的操作平台。“几何画板”平台下的数学实验活动能化静为动 、变抽象为具体 、变演绎为实验 、变传授为感悟，它除保留传统实验教学的长处外，还具有个别化和交互性等特点，这些独特的数学教学优势，不仅可以让学生直接参与实验教学，还实现了交流对象的可选化。在操作中学数学，这种新的信息技术和数学实验整合的教学模式，为学生今后的可持续发展打下良好的基础，对于改进教学、提高教学质量有着积极的作用。
参考文献
[1] 张景中，彭翕成，深入数学学科的信息技术，2009年10月.
[2] 蒋建东，浅谈初中阶段函数思想方法的教学，2005.9.
[3] 陈 锋，多元化的几何画板平台下数学实验教学的研究，教师，2013年15期.
[4] 王西武， 利用几何画板探析一道高题，考试周刊，2011年第44期.