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我们知道，数学思想方法是对数学问题的认识、处理、解决的思维方式，是数学意识的体现.它对于思维的起点、方向、过程具有指导意义.
中学数学中的主要数学思想有函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想.本文结合一道不等式恒成立问题谈谈数学思想的运用.
题目:当0≤p≤4时，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围.
思考1:（函数思想）不等式
x2+px>4x+p-3即x2+(p-4)x+3-p>0.
构造相应的二次函数f(x)=x2+(p-4)x+3-p=(x-4-p 2)2+3-p-
(4-p)2 4.
该二次函数图象的对称轴是x=4-2p 2.由条件0≤p≤4有0≤
4-p 2≤2,知f (x)的图象的对称轴在区间［0,2］内移动，要使不等式x2+px>4x+p-3对0≤p≤4恒成立，只要f (x)的图象的对称轴在区间［0,2］内移动时，f (x)的图象总在x轴的上方，由此来寻找x的取值范围.为此，只须考虑对称轴在区间端点的情况.
令x=4-2p 2=0,得p=4,此时f (x)=x2-1,由f (x).0,解得x<-1或x>1,又令x=4-2p 2=2,得p=0.此时f (x)=x2-4x+3.由f (x)>0,解得x<1或x>3.
综上，满足不等式对0≤p≤4恒成立的x的取值范围是
(-∞,-1)∪
(3,+∞).
点评：本解法构造出二次函数，结合图象对称轴的移动范围来确定x的取值范围.
思考2:（方程思想）原不等式化为
x2+(p-4)x+3-p>0.(*)
可求得相应方程x2+(p-4)x+3-p=0的两根是x1=1,x2=3-p.由条件0≤p≤4
,知-1≤x2≤3.不等式（*）在条件0≤p≤4下恒成立，那么x的取值范围应在方程的两根之外.从而x的取值范围是
（-∞,-1）∪(3,+∞).
点评：本解法充分利用了函数、方程、不等式之间的关系，将函数的零点、方程的根、不等式的解密切结合，是这三个知识点综合运用的典范之一.
思考3:（分类讨论）原不等式即为(x-1)p>-x2+4x-3.
下面根据不等式恒成立，通过p的范围，导出关于x的不等式，再来解这个不等式.
（1）当x-1=0,即x=1时，不等式化为0>0,不成立.
（2）当x-1>0时，不等式化为p>
-x2+4x-3 x-1.
由于0≤p≤4时，上述不等式恒成立，则有
-x2+4x-3 x-3<0,
化为(x-1)(x-3) x-1>0,即
x-3>0，得x>3.
（3）当
x-1<0,不等式化为p<-x2+4x-3 x-1.由于0≤p≤4时，上述不等式恒成立.
则有-x2+4x-3 x-1>4-x2+4x-3<4(x-1)x2-1>0
(x+1)(x-1)>0.
注意到条件x-1<0,得x<-1.
综上，得x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
点评：本解法通过分类讨论，将不等式恒成立问题，归结为关于x的不等式，解出不等式即得所求范围.
思考4:（数形结合）原不等式即为
p(x-1)>-x2+4x-3.(**)
记y1=p(x-1),y2=-x2+4x-3,下面考察两个函数图象之间的上、下位置关系.
如图1，函数y1的图象是过点（1，0）的直线系.
y2的图象是开口向下的抛物线，其顶点是（2，1），
与x轴交于两点（1，0）和（3，0）.直线y1的斜率
p∈［0，4］.
当p=0时，不等式(**)即0>-x2+4x-3,
解得x<-1或x>3.
当p=4时，不等式(**）即4(x-1)>-x2+4x-3,
解得x<-1或x>1.
由于当0≤p≤4时，y1的图象总在y2的图象上方，
故x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
点评：本解法将不等式中含参数p的项移到不等式
左端，构造出不等式左右两端相应的函数，考察动直线与定抛物线的位置关系，直观易懂，降低了思维难度.
思考5:（转化思想）由于题中给出了p的取值范围，不妨将不等式中的主元与参数p的地位转化，视为关于p的不等式.
原不等式整理成(x-1)p=(x2-4x+3).0，那么相应函数
g(p)=(x-1)p+(x2-4x+3)(0≤p≤4)
的图象是一条线段.要使不等式对0≤p≤4
恒成立，只要该线段在横轴上方，即恒有g(p)>0故有
g(0)=x2-4x+3>0,
g(4)=x2-1>0
x<1或x>3,
x<-1或x>1.
x<-1或x>3.
点评： 本解法变更主次元地位，转化成极其简单的一次函数图象（线段）的位置问题.这就抓住了问题的主脉，思维敏捷，简便易行，是以上诸方法中最优的方法.
数学解题是数学思维的过程，而思维需要指导思想和方向意识，这就要在数学思想的指引下加以运作.掌握数学思想是解题观念和数学素养的根本所在.
中学数学中的主要数学思想有函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想.本文结合一道不等式恒成立问题谈谈数学思想的运用.
题目:当0≤p≤4时，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围.
思考1:（函数思想）不等式
x2+px>4x+p-3即x2+(p-4)x+3-p>0.
构造相应的二次函数f(x)=x2+(p-4)x+3-p=(x-4-p 2)2+3-p-
(4-p)2 4.
该二次函数图象的对称轴是x=4-2p 2.由条件0≤p≤4有0≤
4-p 2≤2,知f (x)的图象的对称轴在区间［0,2］内移动，要使不等式x2+px>4x+p-3对0≤p≤4恒成立，只要f (x)的图象的对称轴在区间［0,2］内移动时，f (x)的图象总在x轴的上方，由此来寻找x的取值范围.为此，只须考虑对称轴在区间端点的情况.
令x=4-2p 2=0,得p=4,此时f (x)=x2-1,由f (x).0,解得x<-1或x>1,又令x=4-2p 2=2,得p=0.此时f (x)=x2-4x+3.由f (x)>0,解得x<1或x>3.
综上，满足不等式对0≤p≤4恒成立的x的取值范围是
(-∞,-1)∪
(3,+∞).
点评：本解法构造出二次函数，结合图象对称轴的移动范围来确定x的取值范围.
思考2:（方程思想）原不等式化为
x2+(p-4)x+3-p>0.(*)
可求得相应方程x2+(p-4)x+3-p=0的两根是x1=1,x2=3-p.由条件0≤p≤4
,知-1≤x2≤3.不等式（*）在条件0≤p≤4下恒成立，那么x的取值范围应在方程的两根之外.从而x的取值范围是
（-∞,-1）∪(3,+∞).
点评：本解法充分利用了函数、方程、不等式之间的关系，将函数的零点、方程的根、不等式的解密切结合，是这三个知识点综合运用的典范之一.
思考3:（分类讨论）原不等式即为(x-1)p>-x2+4x-3.
下面根据不等式恒成立，通过p的范围，导出关于x的不等式，再来解这个不等式.
（1）当x-1=0,即x=1时，不等式化为0>0,不成立.
（2）当x-1>0时，不等式化为p>
-x2+4x-3 x-1.
由于0≤p≤4时，上述不等式恒成立，则有
-x2+4x-3 x-3<0,
化为(x-1)(x-3) x-1>0,即
x-3>0，得x>3.
（3）当
x-1<0,不等式化为p<-x2+4x-3 x-1.由于0≤p≤4时，上述不等式恒成立.
则有-x2+4x-3 x-1>4-x2+4x-3<4(x-1)x2-1>0
(x+1)(x-1)>0.
注意到条件x-1<0,得x<-1.
综上，得x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
点评：本解法通过分类讨论，将不等式恒成立问题，归结为关于x的不等式，解出不等式即得所求范围.
思考4:（数形结合）原不等式即为
p(x-1)>-x2+4x-3.(**)
记y1=p(x-1),y2=-x2+4x-3,下面考察两个函数图象之间的上、下位置关系.
如图1，函数y1的图象是过点（1，0）的直线系.
y2的图象是开口向下的抛物线，其顶点是（2，1），
与x轴交于两点（1，0）和（3，0）.直线y1的斜率
p∈［0，4］.
当p=0时，不等式(**)即0>-x2+4x-3,
解得x<-1或x>3.
当p=4时，不等式(**）即4(x-1)>-x2+4x-3,
解得x<-1或x>1.
由于当0≤p≤4时，y1的图象总在y2的图象上方，
故x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
点评：本解法将不等式中含参数p的项移到不等式
左端，构造出不等式左右两端相应的函数，考察动直线与定抛物线的位置关系，直观易懂，降低了思维难度.
思考5:（转化思想）由于题中给出了p的取值范围，不妨将不等式中的主元与参数p的地位转化，视为关于p的不等式.
原不等式整理成(x-1)p=(x2-4x+3).0，那么相应函数
g(p)=(x-1)p+(x2-4x+3)(0≤p≤4)
的图象是一条线段.要使不等式对0≤p≤4
恒成立，只要该线段在横轴上方，即恒有g(p)>0故有
g(0)=x2-4x+3>0,
g(4)=x2-1>0
x<1或x>3,
x<-1或x>1.
x<-1或x>3.
点评： 本解法变更主次元地位，转化成极其简单的一次函数图象（线段）的位置问题.这就抓住了问题的主脉，思维敏捷，简便易行，是以上诸方法中最优的方法.
数学解题是数学思维的过程，而思维需要指导思想和方向意识，这就要在数学思想的指引下加以运作.掌握数学思想是解题观念和数学素养的根本所在.