利用导数求极值问题，既要掌握求可导函数f (x)的步骤,又要理解函数的极值是对函数在定义域内某一点附近的小区间而言的,而且还要注意能判定函数f (x)的极值点，特别是要对f (x)的定义域内的两类“点”都作出判定，即判定定义域内所有导数为0的点，其次是判定定义域内所有不可导点．
　　
　　探点一 由函数的极值求参数值
　　
　　已知函数的极值求参数值是函数极值的逆向问题，求解时应该注意两点：（1）根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须验证解的合理性．
　　
　　 例1 设x=1和x=2是函数f (x)=x5+ax3+bx+1的两个极值点，试求a和b的值．
　　
　　分析：由于本题中知道x=1和x=2是函数的两个极值点，则
　　f ′(1)=0,f ′(2)=0.
　　
　　解：f ′(x)=5x4+3ax2+b，又因为x=1和x=2是函数的两个极值点，
　　
　　则f ′(1)=0、f ′(2)=0，即
　　f ′(1)=5+3a+b=0,f ′(2)=24×5+22×3a+b=0,
　　可以得到a=-25 3,b=20．
　　
　　反思：本题考查由函数的极值确定函数解析式中的待定系数，解题的切入点是运用极值的含义，由已知向未知转化，通过待定系数法，列出相应的方程，从而求解．
　　
　　探点二 求函数的极值问题
　　
　　 求函数极值的方法 主要有根据定义求函数的极值，根据函数的图象确定函数的极值,用导数来求函数的极值等.用导数求函数极值的具体步骤是：第一，求导数f ′(x)；第二，令f ′(x)=0求方程的根；第三，列表，检查f ′(x)在方程根左右的值的符号，进而判断函数在该点处的极值情况．
　　
　　例2 求下列函数的极值：（1）f (x)=x3-3ax2-9a2x+a3，其中a=1；（2）
　　f (2)=1-(x-2)2 3．
　　
　　分析：求函数的极值注意三个步骤来进行解答．
　　
　　解：（1）当a=1时，f (x)=x3-3x2-9x+1，得f ′(x)=3x2-6x-9，令f ′(x)=0，得到x=-1或x=3.
　　
　　
　　 列表讨论f (x)、f ′(x)的变化情况：
　　
　　x[](-∞,-1)[]-1[](-1,3)[]3[](3,+∞)
　　f ′(x)[]+[]0[]-[]0[]+
　　f (x)[][]极大值
　　f (-1)[][]极小值
　　f (3)[]
　　
　　 所以f (x)的极大值f (-1)=6，极小值是f (3)=-26．
　　
　　（2）当x≠2， f ′(x)=-
　　
　　2 3(x-2)-1 3， f ′(x)=0无解；当
　　
　　x=2时，f ′(x)不存在．
　　
　　因此f (x)=1-(x-2)2 3在x=2处不可导，但当
　　x<2时，f ′(x)>0；当x>2时，
　　f ′(x)<0，故函数
　　f (x)=1-(x-2)2 3在x=2处取得极大值，且极大值为1．
　　
　　点评：根据函数的极值定义，函数在某点处存在极值，则应该在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反，因此要判断函数是否有极值，不能只讨论
　　
　　f ′(x)=0的点处的情况，还要考察f (x)不可导点处的极值情形．
　　
　　
　　探点三 由极值情况研究原函数图象的性质
　　由函数的极值判断方程根的变化情况，一般是利用数形结合的思想来讨论方程的根，即先根据函数的极值情况画出函数 的草图，再根据图象观察方程的根的变化情况．
　　
　　例3 已知函数f (x)=x3-3ax-1，a≠0，若
　　f (x)在x=-1处取得极值，直线
　　
　　y=m与y=f (x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
　　
　　分析：本题涉及三次函数方程
　　f (x)=m的根，用导数知识确定函数
　　y=f (x)的单调性与极值，根据此可以描绘出三次函数
　　y=f (x)的大致图象与直线y=m的交点个数，由形确定数，可使问题得到解决．
　　
　　解：f (x)在x=-1处取得极值，
　　
　　则f ′(-1)=3×(-1)2-3a=0，所以a=1．
　　
　　即f (x)=x3-3x-1，得到f ′(x)=3x2-3，由f ′(x)=0得到x1=-1，x2=1．
　　
　　 当x∈(-1,1)时，函数f (x)为减函数；当x∈(-∞,-1)和
　　x∈(1,+∞)时，函数f (x)为增函数；由此可以知道，f (x)在x=-1处取得极大值
　　f (-1)=1，在x=1处取得极小值f (1)=-3．
　　
　　 因为直线y=m与函数y=f (x)的图象有三个不同的交点，又
　　
　　极大值是1,极小值是-3
　　，结合f (x)的单调性可以知道m的取值范围是(-3,1)．
　　
　　反思：用导数处理函数图象交点个数问题，是高考中的新题型，要特别重视．
　　探点四 用料最省（或费用最低）问题
　　
　　用料最省、费用最低问题求解时要根据题意明确哪一项指标最省，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
　　
　　例4 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量y关于行驶速度x km/h的解析式可以表示为：y=
　　
　　
　　1 12800x3-
　　3 80x+8(0　　40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
　　
　　分析：可从题目中寻求出油耗和速度之间的关系，再利用导数求出最值．
　　
　　解：（1）汽车以40 km/h的速度从甲地到乙地行驶需要
　　100 40=2.5 h，要耗油
　　(1 12800×403-
　　3 80×40+8)×2.5=17.5 L．
　　（2）当行驶速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x h，设耗油量为h L，
　　 则根据题意得到h(x)=
　　(1 12800x3-
　　3 80x+8)•
　　100 x(0　　 h′(x)=x 640
　　
　　-800 x2
　　
　　=x3-803 640x2(0　　当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈(80,120］时，h′(x)>0， 是增函数；
　　所以当x=80时，h(x)取得极小值h(8)=11.25.因为h(x)在(0,120］上只有一个极值，所以它是最小值．
　　
　　 因此当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25 L．
　　
　　反思：利用导数解决实际问题时，一般先要根据题意设出变量，建立函数关系，然后借助导数分析函数的单调性，求出函数的极值点，再结合实际意义，得到函数的最值．