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【摘要】数学称为“思维的体操”，学生数学思维能力是诸多能力的核心。一是一题多解，力求精新，增强兴趣，训练学生数学思维的灵活性；二是变通、引申和推广题目，提高学生的兴趣，培养学生创造性思维；三是精心设计问题，激活兴趣，启发学生的思维；四是在解题中培养学生的多种思维能力。
【关键词】解题；思维能力；一题多解；变通；引申；兴趣
数学是现代科学的工具，通常被称为“思维的体操”，可见数学教学对学生思维能力的培养起着多么重要的作用。因此，学生数学思维能力的培养应该是诸多能力的核心，不可忽视。笔者通过多年的数学教学实践，深感如果能从一些典型的例题入手，多引导鼓励学生开动脑筋，运用各种方法去思考、分析、发现解题思路，从而解决问题，不仅能够培养学生的思考、分析和解决问题的能力，还能充分调动学生思维的积极性，训练和培养学生的数学思维能力。因此，精心设计习题，以学生为主体，以思维训练为主导，对培养学生的思维能力至关重要。以下我根据多年的教学实践谈谈体会。
一、一题多解，力求精新，增强兴趣，训练学生数学思维的灵活性
一题多解是开阔学生視野，锻炼思维的一种有效方式。对此类题目在教学过程中，若能启发学生多角度、多方位去思考，解决的方法就会多种多样，从多种方法中才能比较，选择最简捷、最新颖的方法，使学生对知识的掌握更灵活、更牢固，同时也可以增强学生学习的兴趣，从而使思维的灵活性得到训练和发展。
例如，已知抛物线的顶点是（2，-4），它与X轴的一个交点的横坐标为1，求它的解析式。
解法1：（用一般式来解）设所求的解析式为y=ax2 bx c，根据题意得三个方程① - =2， ② =-4， ③a b c=0。联立三个方程解得a=4，b=-16，c=12。从而得解析式是y=4x2-16x 12。
解法2：（用顶点式来解）设所求的解析式为y=a（x-2）2-4，因为抛物线与X轴的一个交点的横坐标为1，所以抛物线过点（1，0）代入解得a=4，所求解析式是y=4（x-2）2-4。
解法3：（用两根式来解）由抛物线与X轴的一个交点的横坐标为1和顶点（2，-4）可知，另一个交点必是（3，0）可设所求的解析式为y=a（x-1）×（x-3），把抛物线的顶点（2，-4）代入解得a=4，所求解析式是y=4（x-1）×（x-3）=4x2-16x 12。
这样，引导学生通过解法的比较，让学生明确解法2、3的简捷，有助于解脱学生思维定势的束缚，开阔视野，培养思维的灵活性。
二、变通、引申和推广题目，提高学生的兴趣，培养学生创造性思维
教师在指导学生解题时，可鼓励学生积极思考探索，把题目的条件或结论稍加变动，得到一系列“源于教材，高于教材”的好题，不断获取新知识、新方法，提高联想能力和解题能力，以发展学生触类旁通的能力和探索创新能力。
例如，求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1，求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2，求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3，求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4，顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？
变式5，顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？
变式6，顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。
又如图1，分别以Rt ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是
图1 图2 图3
变式1：如图2，如果以Rt ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是
变式2：如图3，如果以Rt ABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是
变式3：如果以Rt ABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分为S1、S2、S3，为使S1、S2、S3之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。
总之，在题目的变通、引申和推广中，使学生经过探索、研究发现命题间的联系，从而解决问题。在教学中要对学生多进行这样的训练，引导学生积极思考，拓宽思路，进一步加强学生思维的创造性。
三、精心设计问题，激活兴趣，启发学生的思维
思维是在不断解决问题的过程中得到提高和发展的。要启发思维，就应该在教学中善于设计和提出问题，在问题的设计中要把握学生的实际情况，既要有启发性，又要有一定的难度，让学生有思考的余地。
比如，学习了一元二次方程后，可列举这样一个例子：已知函数y=（1-m）xm -2m 2 是正比例函数，且y随x的增大而增大。求（m 2）2001 的值。
待学生充分思考后，可启发学生：1.要求（m 2）2001的值，应该知道什么？2.在函数y=（1-m）xm -2m 2 中，对应于K的值是什么？3.自变量的指数指的是什么？4.自变量的次数的值是多少？为什么要同时考虑1-m≠0，m -2m 2=1？这样设计问题有利于学生突破难点，理解正比例函数的定义和正比例函数中常数K的条件。
再如，在全等三角形的教学中，我要求学生每人用硬纸板做一对全等三角形。然后重点训练全等变换，因为这是证明全等三角形的基础。我板书几种常见图形如下：
提问：将两个重合的全等三角形其中的一个固定，如何移动另一个可以得到黑板上的各种图形？让学生分小组讨论，并且动脑、动手试一试。然后请会移动的学生上来示范，全班同学评定。最后教师总结：以其中一块三角板当△ABC，另一块移动。图（1）以BC为轴，把△ABC翻转180°得到△BCD，图（2）以点A为中心，把△ABC向右旋转∠BAD得△ADE，图（3）把△ABC沿BC边平移到CE得△CED，图（4）以点A为中心，把△ABC旋转180°得△ADE。学生们霍然开朗，余兴未了。于是，我再出示一组图形（如下图）让学生去拼，绝大部分学生可以拼出来。这样，大大激发了学生的学习兴趣，提高了实践能力和思维能力。
我还要求学生在课余时间拼，看谁拼的花样多。由于拼得多，看得多，想得多，所以在学习全等三角形的证明题时，图形一出现学生就熟悉，很快就找到解题思路。
四、在解题中培养学生的多种思维能力
在平时的解题过程中，学生常会遇到一些较难的问题，一般思维很难达到解决问题，若能从正向思维中走出来，运用逆向思维、类比思维、间接思维或者隔离思维等，往往能使问题迎刃而解。
如九年级上册数学中有这样一道题目：某学校的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示。则大门的高为（水泥建筑物的厚度忽略不计，精确到0.1m）。这道题若直接通过几何计算，比较困难，若引导学生建立函数模型，运用函数知识，就能很容易地解决问题。
培养学生的思维能力是一个漫长的过程，这要求教师在平时的教学中多重视、多总结，只有这样才能有效地激发学生学习的兴趣，活跃课堂气氛，提高整体教学质量。
【关键词】解题；思维能力；一题多解；变通；引申；兴趣
数学是现代科学的工具，通常被称为“思维的体操”，可见数学教学对学生思维能力的培养起着多么重要的作用。因此，学生数学思维能力的培养应该是诸多能力的核心，不可忽视。笔者通过多年的数学教学实践，深感如果能从一些典型的例题入手，多引导鼓励学生开动脑筋，运用各种方法去思考、分析、发现解题思路，从而解决问题，不仅能够培养学生的思考、分析和解决问题的能力，还能充分调动学生思维的积极性，训练和培养学生的数学思维能力。因此，精心设计习题，以学生为主体，以思维训练为主导，对培养学生的思维能力至关重要。以下我根据多年的教学实践谈谈体会。
一、一题多解，力求精新，增强兴趣，训练学生数学思维的灵活性
一题多解是开阔学生視野，锻炼思维的一种有效方式。对此类题目在教学过程中，若能启发学生多角度、多方位去思考，解决的方法就会多种多样，从多种方法中才能比较，选择最简捷、最新颖的方法，使学生对知识的掌握更灵活、更牢固，同时也可以增强学生学习的兴趣，从而使思维的灵活性得到训练和发展。
例如，已知抛物线的顶点是（2，-4），它与X轴的一个交点的横坐标为1，求它的解析式。
解法1：（用一般式来解）设所求的解析式为y=ax2 bx c，根据题意得三个方程① - =2， ② =-4， ③a b c=0。联立三个方程解得a=4，b=-16，c=12。从而得解析式是y=4x2-16x 12。
解法2：（用顶点式来解）设所求的解析式为y=a（x-2）2-4，因为抛物线与X轴的一个交点的横坐标为1，所以抛物线过点（1，0）代入解得a=4，所求解析式是y=4（x-2）2-4。
解法3：（用两根式来解）由抛物线与X轴的一个交点的横坐标为1和顶点（2，-4）可知，另一个交点必是（3，0）可设所求的解析式为y=a（x-1）×（x-3），把抛物线的顶点（2，-4）代入解得a=4，所求解析式是y=4（x-1）×（x-3）=4x2-16x 12。
这样，引导学生通过解法的比较，让学生明确解法2、3的简捷，有助于解脱学生思维定势的束缚，开阔视野，培养思维的灵活性。
二、变通、引申和推广题目，提高学生的兴趣，培养学生创造性思维
教师在指导学生解题时，可鼓励学生积极思考探索，把题目的条件或结论稍加变动，得到一系列“源于教材，高于教材”的好题，不断获取新知识、新方法，提高联想能力和解题能力，以发展学生触类旁通的能力和探索创新能力。
例如，求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1，求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2，求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3，求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4，顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？
变式5，顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？
变式6，顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。
又如图1，分别以Rt ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是
图1 图2 图3
变式1：如图2，如果以Rt ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是
变式2：如图3，如果以Rt ABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是
变式3：如果以Rt ABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分为S1、S2、S3，为使S1、S2、S3之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。
总之，在题目的变通、引申和推广中，使学生经过探索、研究发现命题间的联系，从而解决问题。在教学中要对学生多进行这样的训练，引导学生积极思考，拓宽思路，进一步加强学生思维的创造性。
三、精心设计问题，激活兴趣，启发学生的思维
思维是在不断解决问题的过程中得到提高和发展的。要启发思维，就应该在教学中善于设计和提出问题，在问题的设计中要把握学生的实际情况，既要有启发性，又要有一定的难度，让学生有思考的余地。
比如，学习了一元二次方程后，可列举这样一个例子：已知函数y=（1-m）xm -2m 2 是正比例函数，且y随x的增大而增大。求（m 2）2001 的值。
待学生充分思考后，可启发学生：1.要求（m 2）2001的值，应该知道什么？2.在函数y=（1-m）xm -2m 2 中，对应于K的值是什么？3.自变量的指数指的是什么？4.自变量的次数的值是多少？为什么要同时考虑1-m≠0，m -2m 2=1？这样设计问题有利于学生突破难点，理解正比例函数的定义和正比例函数中常数K的条件。
再如，在全等三角形的教学中，我要求学生每人用硬纸板做一对全等三角形。然后重点训练全等变换，因为这是证明全等三角形的基础。我板书几种常见图形如下：
提问：将两个重合的全等三角形其中的一个固定，如何移动另一个可以得到黑板上的各种图形？让学生分小组讨论，并且动脑、动手试一试。然后请会移动的学生上来示范，全班同学评定。最后教师总结：以其中一块三角板当△ABC，另一块移动。图（1）以BC为轴，把△ABC翻转180°得到△BCD，图（2）以点A为中心，把△ABC向右旋转∠BAD得△ADE，图（3）把△ABC沿BC边平移到CE得△CED，图（4）以点A为中心，把△ABC旋转180°得△ADE。学生们霍然开朗，余兴未了。于是，我再出示一组图形（如下图）让学生去拼，绝大部分学生可以拼出来。这样，大大激发了学生的学习兴趣，提高了实践能力和思维能力。
我还要求学生在课余时间拼，看谁拼的花样多。由于拼得多，看得多，想得多，所以在学习全等三角形的证明题时，图形一出现学生就熟悉，很快就找到解题思路。
四、在解题中培养学生的多种思维能力
在平时的解题过程中，学生常会遇到一些较难的问题，一般思维很难达到解决问题，若能从正向思维中走出来，运用逆向思维、类比思维、间接思维或者隔离思维等，往往能使问题迎刃而解。
如九年级上册数学中有这样一道题目：某学校的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示。则大门的高为（水泥建筑物的厚度忽略不计，精确到0.1m）。这道题若直接通过几何计算，比较困难，若引导学生建立函数模型，运用函数知识，就能很容易地解决问题。
培养学生的思维能力是一个漫长的过程，这要求教师在平时的教学中多重视、多总结，只有这样才能有效地激发学生学习的兴趣，活跃课堂气氛，提高整体教学质量。