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摘要：每一种数学形式的创造都有其背后的意义，学生在识记这些抽象的数学形式时要理解其背后的道理，在理解的基础上识记，才能达到事半功倍的效果。本文以笔算除法为例，对除法笔算形式的教学做了调查与访谈，剖析了形式教学的特点与难点，并对笔算除法形式教学给出了一些建议。
关键词：形式；理解；笔算除法
《义务教育课程标准（2011年版）》指出：“学生掌握数学知识，不能死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固与强化”。教师在教授数学知识时，要让学生知其然，更要知其所以然，学生理解了各种数学形式背后的意义，才能掌握好数学知识。
一、 问题的提出
课程标准将1～3年级划分为第一学段，就数与代数这块而言，除了学习最基本的加减乘除横式的形式以外，学生最主要学习的形式主要有四个：加减的笔算形式和乘除法的笔算形式。
从教材分布上看，乘法和加减法的笔算课程分布较为紧凑，而除法的笔算课程安排较为分散，在二年级下册表内学习表内除法时已经出现笔算除法的内容，之后整整隔了一个学期，在三年级上册才出现除法笔算的课程。而除法空白的这个学期（三年级上）则大量学习了加减法和乘法的笔算。为了解空白期以及加减法、乘法笔算形式紧密学习对除法笔算形式的影响，以优化在三年级下册再次学习除法笔算的教学。笔者在三年级上册期末复习的时进行了笔算除法掌握情况的调查研究。
二、 调查的问题、方法、对象和背景
（一） 调查的问题
列竖式计算
（1）178 333 （2）638-277 （3）135×6 （4）66÷8
如果你认为解题已经完成，请填空（填序号）。
你对上述列竖式计算，第（ ）题我很有把握。
（二） 调查方法
（a）大樣本的书面问卷调查。
（b）个别访谈与小组访谈相结合。
（三） 调查对象
调查研究对象：现行的小学数学省编义务教材，本地区三年级的学生，因此，抽取的是本区城区一所小班化公办学校的三年级学生，按学生学籍号随机抽取，人数共63人，平均年龄是9岁。具体情况是男生35人，女生28人，分别占总人数的53%和47%。
（四） 调查背景
学生在整个三年级第一学期的学习过程中，一直跟着课本在上，并未进行过除法竖式的练习。
2015年12月26日下午，在学生自然状态下，请班主任老师（非本班数学教师）协助组织进行测试。测试时，没有给学生读题，让学生独立进行解答（没有给学生任何的解题提示，学生在解题过程中也没有任何的讨论和交流）。整个测试过程基本反映了在自主情景下的客观事实。测试后，在对学生的试卷进行初步整理的基础后，对全体调查学生和相关班级数学任课教师进行访谈。
三、 调查结果及分析
本次问卷调查共发出去问卷63份，回收63份，其中有效卷63份，无废卷。
（一） 数据统计与访谈
从统计结果可以看出，孩子们对于加法、减法和乘法的竖式计算正确率达到了90%以上，而除法的竖式正确率只有14.3%，相差甚远。而对问题“你对上述列竖式计算，第（）题我很有把握”的统计中我们发现有2个孩子，虽然写对了除法算式，但是内心并不确定。孩子对减法和乘法的竖式的形式已经掌握，而对于除法竖式的掌握情况十分不理想，为了探究其中原因，也为了在三年级下册上“笔算除法”时优化教学，笔者针对不同的情况分别访谈了层次的孩子。
问题一：为什么你的在笔算66÷8 的时候空白，一点都没写，在二年级的时候不是学过吗？（针对笔算空白的中等层次的学生）
学生a：忘了想不起来。
学生b：时间太久了，这学期一直在学乘法。
学生c：这学期学了乘法、加法、减法的列竖式计算，没学除法的。
问题二：你为什么写了
66
÷8
8，这样的形式，我们在二年级时学除法笔算时不是这样学的呀？
学生a：想不起来了，看到乘法是这样写的，所以也就这样写了。
学生b：我记得好像是这样写的。
问题三：你知道除法的笔算形式为什么和乘法笔算形式不一样吗？（针对笔算正确的同学）
学生a：不知道。我爸前几天叫我做的练习刚好有除法。
追问：那你想过这个问题吗？
学生a：没想过，老师这么教，我记住了，就这么写了，干嘛要想呢？
（以上的学生回答都是学生典型的回答）
（二） 原因分析
从统计结果以及和对学生访谈的情况看，学生对除法笔算形式掌握不好的原因有以下几点。
1. 教材内容编排上的空白期
从教材编排上来看，孩子在二年级时初步学习了除法笔算形式，但在三年级上册的时候教材上没有内容与除法相关，而着重学习了笔算加法、减法和乘法，在期间也没有针对笔算除法的练习，仅有口算，因此学生对于简单口算的练习是有把握的，但是对于笔算除法的形式已经遗忘。
2. 倒摄抑制的影响
心理学上将先学习的材料对识记和回忆后学习的材料的干扰作用称为前摄抑制；后学习的材料对保持和回忆先学习的材料的干扰作用，称为倒摄抑制。在学生初步识记某一类数学表达的形式时，很好识记，因为不存在前摄抑制和倒摄抑制。而当识记同类数学表达形式多了以后，学生容易混淆数学表达形式，因为前摄抑制和倒摄抑制对其的记忆产生了影响。学生在学习了笔算加法、减法和乘法后，对先前记忆的笔算除法记忆产生了倒摄抑制，从而使其迅速遗忘。
3. 对笔算的形式，只有识记，容易发生知识迁移
将笔算除法的形式与乘法笔算的形式混淆的主要原因是学生不知道为什么两者之间会有不同，对笔算只有记忆学习。而在大量学习从而很容易发生知识的迁移，学生在解题的时候通常会想： 这样的想法，在学生看来是十分正确的，符合一般的推理。笔者也访问了三年级和二年级的教师，教师对笔算乘法和笔算除法形式为什么不同也说不上个所以然来，在教学中像除法笔算这种形式的教授都是直接给学生的，忽略了学生自身的想法，从而导致学生停留在记忆学习的层面上。
四、 对笔算除法形式教学的建议
（一） 教师要提升自己的数学素养
对于笔算除法形式为什么和加法、减法以及乘法的笔算形式不同，从教师的访谈研究上看，很多心里并没有很明确的答案，因此在教学中总是直接告知笔算除法的形式，对于孩子心中的疑问，采取回避的态度。总是告诉孩子：“这是规定，沒有为什么，是规定，去遵守就好了”，如果教师一直采取这种态度，孩子还会去问吗？久而久之，孩子的批判性思维就很难培养。症结还是在于教师自身数学素养的不足，备课时对于数学形式背后意义的忽略。教师应该不断充实自己的学科素养，理清这些“规定”背后的道理，才能让孩子心服口服。
在新人教版三年级下册教授“除数是一位数的除法”笔算时，学生已经学习了万以内加减法的笔算和多位数乘一位数的乘法笔算，笔算的形式学得越多，学生越容易产生前摄抑制和倒摄抑制，发生知识的迁移，而在三年级下册教授除数是一位数的除法笔算除法形式时，教师依旧可以从除法的意义——平均分入手，让学生明白形式背后的道理，从而放弃错误的形式。从调查研究的结果上看，针对弱一点的孩子，更加要让孩子明白笔算除法形式的道理，才能更好地掌握笔算除法形式。
如110÷5=22（如笔算算式D）是指将110平均分成5份，每份是22，教材给予笔算除法的形式显然更能体现“分”这一种思想，把“”字里面的数字分出来，而且每一步都体现了这种“分”的思想，十位上“商”2是将100平均分成5份，每份是20的意思，个位上“商”2表示将剩余的10平均分成5份，每份是2的意思，学生理解到这一层，才能真正体会教材提供的笔算除法形式的意义。
如果把笔算形式换成（E）则完全不能展现出整个平均分的过程，形式的价值在于能很好地展示算式背后的意义，从这个角度上说，教材提供的笔算除法形式更为合理。
从计算简便性上来说，教材提供的笔算形式在被除数较大的时候要简便得多。而从算法和算式结果的角度上说，被除数小一点的除法算式如15÷3=5，算式（F）和（G）没有区别，只要背熟了乘法口诀，都可以做，但是如果换成1556789÷3，被除数变得很大时，在计算时我们很快就可以发现用（I）这种笔算形式的算法比（H）要简便得多，形式（H）每一步的除法和余数都要在脑子里想，实际上和口算1556789÷3没有多大区别，而形式（I）则把每一步除法都在笔算中体现出来了，大大提高了计算的正确性。
教师教授诸如笔算除法的数学形式，自己首先要懂得数学形式背后的道理，这样才能深入浅出地授课，提高教学质量。
（二） 避免记忆学习
从学生角度上说，如果直接出示笔算除法的形式，会出现典型的记忆学习，跟背唐诗宋词一样，需要不断的重复练习来强化，但隔一段时间还是会忘记，因为学生没有明白背后的道理，这也是本次调查研究直接体现的一点。另一个角度上说，遗忘也是人类的天性，教材二年级下册学习笔算除法以后，要到三年级下册才再次学习，中间整整隔了一年，学生对笔算记忆模糊也是人之常情，因此，在这一年时间中，也应在平时的练习中穿插笔算除法的练习以强化记忆。
（三） 要尊重学生的想法
为了让孩子深入理解和识记笔算数学形式，我们首先要尊重孩子自己的想法。从知识迁移的角度上说，孩子喜欢用加法、减法、乘法的笔算形式来推断除法的笔算形式，因为这样简单，也容易记忆，符合人类模仿的天性。如果教师强迫孩子识记笔算除法的形式，与孩子自身理解就相冲突，孩子内心是不服的，尤其是那些有想法的孩子。
我们不妨在上课一开始就让孩子充分展现这种想法，紧接着追问：“那为什么书上的笔算除法的形式和你们的不一样呢？”“会不会是除法的特殊运算性质决定的呢？”，引导孩子思考，给予思考方向，慢慢剖析原因。接下来教师可以让学生从除法的意义（如D、E）和除法笔算形式（I）的简便性上来引导孩子体会教材提供的除法笔算形式的优越性，明白这种形式背后的意义，才能把笔算除法的数学形式刻在孩子的脑海里，变成他们自己的知识。
所有的数学形式都有它背后的道理，这种道理才是数学内涵，是孩子需要内化的数学素养。
参考文献：
[1] David Whitebread.小学教学心理学[M].赵萍，王薇译.北京：中国轻工业出版社，2002.
关键词：形式；理解；笔算除法
《义务教育课程标准（2011年版）》指出：“学生掌握数学知识，不能死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固与强化”。教师在教授数学知识时，要让学生知其然，更要知其所以然，学生理解了各种数学形式背后的意义，才能掌握好数学知识。
一、 问题的提出
课程标准将1～3年级划分为第一学段，就数与代数这块而言，除了学习最基本的加减乘除横式的形式以外，学生最主要学习的形式主要有四个：加减的笔算形式和乘除法的笔算形式。
从教材分布上看，乘法和加减法的笔算课程分布较为紧凑，而除法的笔算课程安排较为分散，在二年级下册表内学习表内除法时已经出现笔算除法的内容，之后整整隔了一个学期，在三年级上册才出现除法笔算的课程。而除法空白的这个学期（三年级上）则大量学习了加减法和乘法的笔算。为了解空白期以及加减法、乘法笔算形式紧密学习对除法笔算形式的影响，以优化在三年级下册再次学习除法笔算的教学。笔者在三年级上册期末复习的时进行了笔算除法掌握情况的调查研究。
二、 调查的问题、方法、对象和背景
（一） 调查的问题
列竖式计算
（1）178 333 （2）638-277 （3）135×6 （4）66÷8
如果你认为解题已经完成，请填空（填序号）。
你对上述列竖式计算，第（ ）题我很有把握。
（二） 调查方法
（a）大樣本的书面问卷调查。
（b）个别访谈与小组访谈相结合。
（三） 调查对象
调查研究对象：现行的小学数学省编义务教材，本地区三年级的学生，因此，抽取的是本区城区一所小班化公办学校的三年级学生，按学生学籍号随机抽取，人数共63人，平均年龄是9岁。具体情况是男生35人，女生28人，分别占总人数的53%和47%。
（四） 调查背景
学生在整个三年级第一学期的学习过程中，一直跟着课本在上，并未进行过除法竖式的练习。
2015年12月26日下午，在学生自然状态下，请班主任老师（非本班数学教师）协助组织进行测试。测试时，没有给学生读题，让学生独立进行解答（没有给学生任何的解题提示，学生在解题过程中也没有任何的讨论和交流）。整个测试过程基本反映了在自主情景下的客观事实。测试后，在对学生的试卷进行初步整理的基础后，对全体调查学生和相关班级数学任课教师进行访谈。
三、 调查结果及分析
本次问卷调查共发出去问卷63份，回收63份，其中有效卷63份，无废卷。
（一） 数据统计与访谈
从统计结果可以看出，孩子们对于加法、减法和乘法的竖式计算正确率达到了90%以上，而除法的竖式正确率只有14.3%，相差甚远。而对问题“你对上述列竖式计算，第（）题我很有把握”的统计中我们发现有2个孩子，虽然写对了除法算式，但是内心并不确定。孩子对减法和乘法的竖式的形式已经掌握，而对于除法竖式的掌握情况十分不理想，为了探究其中原因，也为了在三年级下册上“笔算除法”时优化教学，笔者针对不同的情况分别访谈了层次的孩子。
问题一：为什么你的在笔算66÷8 的时候空白，一点都没写，在二年级的时候不是学过吗？（针对笔算空白的中等层次的学生）
学生a：忘了想不起来。
学生b：时间太久了，这学期一直在学乘法。
学生c：这学期学了乘法、加法、减法的列竖式计算，没学除法的。
问题二：你为什么写了
66
÷8
8，这样的形式，我们在二年级时学除法笔算时不是这样学的呀？
学生a：想不起来了，看到乘法是这样写的，所以也就这样写了。
学生b：我记得好像是这样写的。
问题三：你知道除法的笔算形式为什么和乘法笔算形式不一样吗？（针对笔算正确的同学）
学生a：不知道。我爸前几天叫我做的练习刚好有除法。
追问：那你想过这个问题吗？
学生a：没想过，老师这么教，我记住了，就这么写了，干嘛要想呢？
（以上的学生回答都是学生典型的回答）
（二） 原因分析
从统计结果以及和对学生访谈的情况看，学生对除法笔算形式掌握不好的原因有以下几点。
1. 教材内容编排上的空白期
从教材编排上来看，孩子在二年级时初步学习了除法笔算形式，但在三年级上册的时候教材上没有内容与除法相关，而着重学习了笔算加法、减法和乘法，在期间也没有针对笔算除法的练习，仅有口算，因此学生对于简单口算的练习是有把握的，但是对于笔算除法的形式已经遗忘。
2. 倒摄抑制的影响
心理学上将先学习的材料对识记和回忆后学习的材料的干扰作用称为前摄抑制；后学习的材料对保持和回忆先学习的材料的干扰作用，称为倒摄抑制。在学生初步识记某一类数学表达的形式时，很好识记，因为不存在前摄抑制和倒摄抑制。而当识记同类数学表达形式多了以后，学生容易混淆数学表达形式，因为前摄抑制和倒摄抑制对其的记忆产生了影响。学生在学习了笔算加法、减法和乘法后，对先前记忆的笔算除法记忆产生了倒摄抑制，从而使其迅速遗忘。
3. 对笔算的形式，只有识记，容易发生知识迁移
将笔算除法的形式与乘法笔算的形式混淆的主要原因是学生不知道为什么两者之间会有不同，对笔算只有记忆学习。而在大量学习从而很容易发生知识的迁移，学生在解题的时候通常会想： 这样的想法，在学生看来是十分正确的，符合一般的推理。笔者也访问了三年级和二年级的教师，教师对笔算乘法和笔算除法形式为什么不同也说不上个所以然来，在教学中像除法笔算这种形式的教授都是直接给学生的，忽略了学生自身的想法，从而导致学生停留在记忆学习的层面上。
四、 对笔算除法形式教学的建议
（一） 教师要提升自己的数学素养
对于笔算除法形式为什么和加法、减法以及乘法的笔算形式不同，从教师的访谈研究上看，很多心里并没有很明确的答案，因此在教学中总是直接告知笔算除法的形式，对于孩子心中的疑问，采取回避的态度。总是告诉孩子：“这是规定，沒有为什么，是规定，去遵守就好了”，如果教师一直采取这种态度，孩子还会去问吗？久而久之，孩子的批判性思维就很难培养。症结还是在于教师自身数学素养的不足，备课时对于数学形式背后意义的忽略。教师应该不断充实自己的学科素养，理清这些“规定”背后的道理，才能让孩子心服口服。
在新人教版三年级下册教授“除数是一位数的除法”笔算时，学生已经学习了万以内加减法的笔算和多位数乘一位数的乘法笔算，笔算的形式学得越多，学生越容易产生前摄抑制和倒摄抑制，发生知识的迁移，而在三年级下册教授除数是一位数的除法笔算除法形式时，教师依旧可以从除法的意义——平均分入手，让学生明白形式背后的道理，从而放弃错误的形式。从调查研究的结果上看，针对弱一点的孩子，更加要让孩子明白笔算除法形式的道理，才能更好地掌握笔算除法形式。
如110÷5=22（如笔算算式D）是指将110平均分成5份，每份是22，教材给予笔算除法的形式显然更能体现“分”这一种思想，把“”字里面的数字分出来，而且每一步都体现了这种“分”的思想，十位上“商”2是将100平均分成5份，每份是20的意思，个位上“商”2表示将剩余的10平均分成5份，每份是2的意思，学生理解到这一层，才能真正体会教材提供的笔算除法形式的意义。
如果把笔算形式换成（E）则完全不能展现出整个平均分的过程，形式的价值在于能很好地展示算式背后的意义，从这个角度上说，教材提供的笔算除法形式更为合理。
从计算简便性上来说，教材提供的笔算形式在被除数较大的时候要简便得多。而从算法和算式结果的角度上说，被除数小一点的除法算式如15÷3=5，算式（F）和（G）没有区别，只要背熟了乘法口诀，都可以做，但是如果换成1556789÷3，被除数变得很大时，在计算时我们很快就可以发现用（I）这种笔算形式的算法比（H）要简便得多，形式（H）每一步的除法和余数都要在脑子里想，实际上和口算1556789÷3没有多大区别，而形式（I）则把每一步除法都在笔算中体现出来了，大大提高了计算的正确性。
教师教授诸如笔算除法的数学形式，自己首先要懂得数学形式背后的道理，这样才能深入浅出地授课，提高教学质量。
（二） 避免记忆学习
从学生角度上说，如果直接出示笔算除法的形式，会出现典型的记忆学习，跟背唐诗宋词一样，需要不断的重复练习来强化，但隔一段时间还是会忘记，因为学生没有明白背后的道理，这也是本次调查研究直接体现的一点。另一个角度上说，遗忘也是人类的天性，教材二年级下册学习笔算除法以后，要到三年级下册才再次学习，中间整整隔了一年，学生对笔算记忆模糊也是人之常情，因此，在这一年时间中，也应在平时的练习中穿插笔算除法的练习以强化记忆。
（三） 要尊重学生的想法
为了让孩子深入理解和识记笔算数学形式，我们首先要尊重孩子自己的想法。从知识迁移的角度上说，孩子喜欢用加法、减法、乘法的笔算形式来推断除法的笔算形式，因为这样简单，也容易记忆，符合人类模仿的天性。如果教师强迫孩子识记笔算除法的形式，与孩子自身理解就相冲突，孩子内心是不服的，尤其是那些有想法的孩子。
我们不妨在上课一开始就让孩子充分展现这种想法，紧接着追问：“那为什么书上的笔算除法的形式和你们的不一样呢？”“会不会是除法的特殊运算性质决定的呢？”，引导孩子思考，给予思考方向，慢慢剖析原因。接下来教师可以让学生从除法的意义（如D、E）和除法笔算形式（I）的简便性上来引导孩子体会教材提供的除法笔算形式的优越性，明白这种形式背后的意义，才能把笔算除法的数学形式刻在孩子的脑海里，变成他们自己的知识。
所有的数学形式都有它背后的道理，这种道理才是数学内涵，是孩子需要内化的数学素养。
参考文献：
[1] David Whitebread.小学教学心理学[M].赵萍，王薇译.北京：中国轻工业出版社，2002.