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【摘要】 直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。分析问题时要充分利用数形结合、化归与等价变化等思想方法，结合分类讨论和数形结合的思想方法，通过圆锥曲线的性质和直线的基本知识及联立方程，设而不求等方法解决问题。
【关键词】 直线；圆锥曲线；位置关系；综合
直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的核心内容之一。直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等。在此罗列几个基本题型：
例1：（2005上海）点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点 点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。
解：（1）由已知可得点A（-6，0），F（0，4） 设点P（x，y），则AP〖DD（〗uuu〖DD）〗=（x+6，y），FP〖TX→*8〗=（x-4，y），
由已知可得〖JB（{〗x236+y220=1（x+6）（x-4）+y2=0〖JB）〗 则2x2+9x-18=0，解得x=32或x=-6.
由于y>0，只能x=32，于是y=5〖KF（〗3〖KF）〗2. ∴点P的坐标是（32，5〖KF（〗3〖KF）〗2）
（2） 直线AP的方程是x-〖KF（〗3〖KF）〗y+6=0. 设点M（m，0），则M到直线AP的距离是|m+6|2.
于是|m+6|2=|m+6|，又-6≤m≤6，解得m=2. 椭圆上的点（x，y）到点M的距离d有
d2=（x-2）2+y2=x-4x2+4+20-59x2=49 （x-92 ）2+15，由于-6≤m≤6， ∴当x=92时，d取得最小值〖KF（〗15〖KF）〗
点评：本题涉及向量和最值的知识点，通过联立方程求解交点，利用距离公式及m的范围求解最小值。
例2：（2006上海）在平面直角坐标系xOy中，直线 与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA〖TX→*8〗·OB〖TX→*8〗=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
解：（1）设过点T（3，0）的直线 交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）.
当直线l的钭率不存在时，直线 的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，〖KF（〗6〖KF）〗）、B（3，-〖KF（〗6〖KF）〗）.
∴OA〖TX→*8〗·OB〖TX→*8〗=3；
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，
由〖JB（{〗y2=2xy=k（x-3）〖JB）〗得ky2-2y-6k=0y1y2=-6
又 ∵x1=12y21，x2=12y22∴OA〖DD（〗uuu〖DD）〗gOB〖DD（〗uuu〖DD）〗=x1x2+y1y2=14（y1y2）2+y1y2=3
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么OA〖TX→*8〗·OB〖TX→*8〗=3”是真命题；
（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果OA〖TX→*8〗·OB〖TX→*8〗=3，那么该直线过点T（3，0）.
该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（12，1），此时OA〖DD（〗uuu〖DD）〗gOB〖DD（〗uuu〖DD）〗=3，
直线AB的方程为：y=23（x+1），而T（3，0）不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A （x1，y1）、B （x2，y2） 满足OA〖DD（〗uuu〖DD）〗gOB〖DD（〗uuu〖DD）〗=3，可得y1y2=-6，或y1y2=2，
如果y1y2=-6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（-1，0），而不过点（3，0）.
点评：用逻辑命题的形式来表现题目，实际上是通过向量等数学工具解决直线与圆锥曲线的交点问题。
例3：（2008上海）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点.
（1）已知a=1，b=2，p=2求点Q的坐标；
（2）已知点P（a，b）（ab≠0）在椭圆x24+y2=1上，p=12ab.求证：点Q落在双曲线4x2-4y2=1上；
（3）已知动点P（a，b）满足ab≠0，p=12ab，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪条双曲线上，并说明理由。
解：（1）当当a=1，b=2，p=2时，解方程组〖JB（{〗x2=4yy=2x〖JB）〗得〖JB（{〗x=8y=16〖JB）〗即点Q的坐标为（8，16）
（2）证明：由方程组〖JB（{〗x2=1abyy=bx〖JB）〗得〖JB（{〗x=1ay=ba〖JB）〗即点Q的坐标为（1a，ba）
∵P时椭圆上的点，即a24+b2=1
∴4（1a）2-4（ba）2=4a2（1-b2）=1，因此点Q落在双曲线4x2-4y2=1上
（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x-c），q≠0
将Q（1a，ba）代入方程，得b2a2=2q（1a-c），即b2=2qa-2qca2 当qc=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
当qc=12时，（a-12c）2+b2=14c2，此时点P的轨迹落在圆上；
当qc>0且qc≠12时，（a-12c）214c2+b2q2c=1，此时点 的轨迹落在椭圆上；
当qc<0时（a-12c）214c2-b2q-2c=1，此时点 的轨迹落在双曲线上；
点评：考查了圆锥曲线定义。
例4：（2009上海）21.（倒3）已知双曲线c：x22-y2=1，设过点A（-3〖KF（〗2〖KF）〗，0）的直线l的方向向量e〖DD（〗v〖DD）〗=（1，k）
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当k>〖KF（〗2〖KF）〗2时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为〖KF（〗6〖KF）〗。
解：（1）双曲线C的渐近线m：x〖KF（〗2〖KF）〗±y=0，即x±〖KF（〗2〖KF）〗y=0 ∴直线l的方程x±〖KF（〗2〖KF）〗y+3〖KF（〗2〖KF）〗=0
∴直线l与m的距离d=3〖KF（〗2〖KF）〗〖KF（〗1+2〖KF）〗=〖KF（〗6〖KF）〗
（2）证明：设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0则直线l与b的距离d=3〖KF（〗2〖KF）〗|k|〖KF（〗1+k2〖KF）〗，
当k>〖KF（〗2〖KF）〗2时，d>6。又双曲线C的渐近线为x±〖KF（〗2〖KF）〗y=0，
双曲线C的右支在直线 的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于〖KF（〗6〖KF）〗。
故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为〖KF（〗6〖KF）〗
点评：与直线有关的开放性问题，需要利用左右支上点的范围和距离公式，解决探索性问题。
解决直线与圆锥曲线的位置关系的综合题，应寻找量与量间的关系灵活转化，充分挖掘题目的隐含条件，紧抓性质，可优化解题思维。
【参考文献】
[1] 直线与圆锥曲线问题中绕过“求交点”方法举例 肖远亮 《考试周刊》 2012年第85期 76-78页
[2] 一道高考题引出的圆锥曲线的一个性质 黄俊峰 袁方程 《河北理科教学研究》 2013年第3期 12-13
[3] 高考数学解析几何类压轴题盘点 丁大江 《高考金刊：理科版》 2013年第10期 47-49
[4] “异侧和最小”在圆锥曲线中的应用 施杰英 出处：《新课程学习：学科研究》 2011年第8期 100页
收稿日期：2013-12-15
【关键词】 直线；圆锥曲线；位置关系；综合
直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的核心内容之一。直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等。在此罗列几个基本题型：
例1：（2005上海）点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点 点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。
解：（1）由已知可得点A（-6，0），F（0，4） 设点P（x，y），则AP〖DD（〗uuu〖DD）〗=（x+6，y），FP〖TX→*8〗=（x-4，y），
由已知可得〖JB（{〗x236+y220=1（x+6）（x-4）+y2=0〖JB）〗 则2x2+9x-18=0，解得x=32或x=-6.
由于y>0，只能x=32，于是y=5〖KF（〗3〖KF）〗2. ∴点P的坐标是（32，5〖KF（〗3〖KF）〗2）
（2） 直线AP的方程是x-〖KF（〗3〖KF）〗y+6=0. 设点M（m，0），则M到直线AP的距离是|m+6|2.
于是|m+6|2=|m+6|，又-6≤m≤6，解得m=2. 椭圆上的点（x，y）到点M的距离d有
d2=（x-2）2+y2=x-4x2+4+20-59x2=49 （x-92 ）2+15，由于-6≤m≤6， ∴当x=92时，d取得最小值〖KF（〗15〖KF）〗
点评：本题涉及向量和最值的知识点，通过联立方程求解交点，利用距离公式及m的范围求解最小值。
例2：（2006上海）在平面直角坐标系xOy中，直线 与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA〖TX→*8〗·OB〖TX→*8〗=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
解：（1）设过点T（3，0）的直线 交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）.
当直线l的钭率不存在时，直线 的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，〖KF（〗6〖KF）〗）、B（3，-〖KF（〗6〖KF）〗）.
∴OA〖TX→*8〗·OB〖TX→*8〗=3；
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，
由〖JB（{〗y2=2xy=k（x-3）〖JB）〗得ky2-2y-6k=0y1y2=-6
又 ∵x1=12y21，x2=12y22∴OA〖DD（〗uuu〖DD）〗gOB〖DD（〗uuu〖DD）〗=x1x2+y1y2=14（y1y2）2+y1y2=3
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么OA〖TX→*8〗·OB〖TX→*8〗=3”是真命题；
（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果OA〖TX→*8〗·OB〖TX→*8〗=3，那么该直线过点T（3，0）.
该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（12，1），此时OA〖DD（〗uuu〖DD）〗gOB〖DD（〗uuu〖DD）〗=3，
直线AB的方程为：y=23（x+1），而T（3，0）不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A （x1，y1）、B （x2，y2） 满足OA〖DD（〗uuu〖DD）〗gOB〖DD（〗uuu〖DD）〗=3，可得y1y2=-6，或y1y2=2，
如果y1y2=-6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（-1，0），而不过点（3，0）.
点评：用逻辑命题的形式来表现题目，实际上是通过向量等数学工具解决直线与圆锥曲线的交点问题。
例3：（2008上海）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点.
（1）已知a=1，b=2，p=2求点Q的坐标；
（2）已知点P（a，b）（ab≠0）在椭圆x24+y2=1上，p=12ab.求证：点Q落在双曲线4x2-4y2=1上；
（3）已知动点P（a，b）满足ab≠0，p=12ab，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪条双曲线上，并说明理由。
解：（1）当当a=1，b=2，p=2时，解方程组〖JB（{〗x2=4yy=2x〖JB）〗得〖JB（{〗x=8y=16〖JB）〗即点Q的坐标为（8，16）
（2）证明：由方程组〖JB（{〗x2=1abyy=bx〖JB）〗得〖JB（{〗x=1ay=ba〖JB）〗即点Q的坐标为（1a，ba）
∵P时椭圆上的点，即a24+b2=1
∴4（1a）2-4（ba）2=4a2（1-b2）=1，因此点Q落在双曲线4x2-4y2=1上
（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x-c），q≠0
将Q（1a，ba）代入方程，得b2a2=2q（1a-c），即b2=2qa-2qca2 当qc=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
当qc=12时，（a-12c）2+b2=14c2，此时点P的轨迹落在圆上；
当qc>0且qc≠12时，（a-12c）214c2+b2q2c=1，此时点 的轨迹落在椭圆上；
当qc<0时（a-12c）214c2-b2q-2c=1，此时点 的轨迹落在双曲线上；
点评：考查了圆锥曲线定义。
例4：（2009上海）21.（倒3）已知双曲线c：x22-y2=1，设过点A（-3〖KF（〗2〖KF）〗，0）的直线l的方向向量e〖DD（〗v〖DD）〗=（1，k）
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当k>〖KF（〗2〖KF）〗2时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为〖KF（〗6〖KF）〗。
解：（1）双曲线C的渐近线m：x〖KF（〗2〖KF）〗±y=0，即x±〖KF（〗2〖KF）〗y=0 ∴直线l的方程x±〖KF（〗2〖KF）〗y+3〖KF（〗2〖KF）〗=0
∴直线l与m的距离d=3〖KF（〗2〖KF）〗〖KF（〗1+2〖KF）〗=〖KF（〗6〖KF）〗
（2）证明：设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0则直线l与b的距离d=3〖KF（〗2〖KF）〗|k|〖KF（〗1+k2〖KF）〗，
当k>〖KF（〗2〖KF）〗2时，d>6。又双曲线C的渐近线为x±〖KF（〗2〖KF）〗y=0，
双曲线C的右支在直线 的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于〖KF（〗6〖KF）〗。
故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为〖KF（〗6〖KF）〗
点评：与直线有关的开放性问题，需要利用左右支上点的范围和距离公式，解决探索性问题。
解决直线与圆锥曲线的位置关系的综合题，应寻找量与量间的关系灵活转化，充分挖掘题目的隐含条件，紧抓性质，可优化解题思维。
【参考文献】
[1] 直线与圆锥曲线问题中绕过“求交点”方法举例 肖远亮 《考试周刊》 2012年第85期 76-78页
[2] 一道高考题引出的圆锥曲线的一个性质 黄俊峰 袁方程 《河北理科教学研究》 2013年第3期 12-13
[3] 高考数学解析几何类压轴题盘点 丁大江 《高考金刊：理科版》 2013年第10期 47-49
[4] “异侧和最小”在圆锥曲线中的应用 施杰英 出处：《新课程学习：学科研究》 2011年第8期 100页
收稿日期：2013-12-15