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牛献礼 中学高级教师，小学数学特级教师，现任教于北京亦庄实验小学。
曾于1999年荣获全国小学数学第四届评优课一等奖：多节录像课由中央电教馆、河南省电教馆、北京市电教馆等单位发行;2012年12月，在中国教育学会小学数学专业委员会第十五届年会上执教观摩课;在省级以上教育刊物上发表教学论文、案例等100多篇，40余篇论文获省、市级以上奖励，参与编著《名师如何观察课堂》、《名师课堂DNA解码》（小学数学卷）、《可以这样教数学》（数学名师的教学智慧）等多本教育书籍，主持的5项教育科研成果获省级一、二等奖。
【摘要】在以往“比的认识”教学中，教师关注更多的是“比”概念的形式化解读，教学设计一般是通过表示两个数之间的相除关系引入比，造成学生在课堂学习中被动应答，不能深刻理解“比”的本质内涵。笔者基于对“比”本源性的思考重新设计教学，从元概念“份”“倍数”出发，让学生体会“变量中的函数关系”，揭示“比”的本质意义。既实现了概念之间的关系沟通，也营造了主动探索的氛围。再通过对一系列结构化材料的辨析，进一步丰富了学生对比的内涵和外延的认识。
【关键词】比的认识 倍数关系 函数思想 自主建构
教学内容：人教版数学六年级上册“认识比”
教学思考：
“比”是一个重要的数学概念。在以往教学“比的认识”时，教师关注更多的是“比”概念的形式化解读，教学设计一般是通过表示两个数之间的相除关系引入比，即先是两个同类量的比的教学（如某班男、女生的人数），再是两个不同类量的比的教学（如路程与时间），然后引导学生观察、概括，着重说明上面的例了.都是通过除法来表示两个数量间的关系.都可以用比来表示，在此基础上概括出比的意义——两个数相除又叫作两个数的比。接着，引导学生比较“比”与除法的区别，说明除法是一种求两个数相除的商的运算，而“比”则表示两个数之间的相除关系。然后，提供正例和反例（如球赛中的比分），进一步加深学生对“比”概念的理解。这种设计突出了比与除法的联系，但是，比的独特性和优越性却体现不够，学生对两者的区别印象不深。另外，综观整个教学过程，教师提供信息、发出指令、解释意义，学生读取信息、回应教师、建构理解，在高效传递知识的同时，学生被置于被动应答的状态，缺乏积极参与、主动探索的热情。显然，这样的形式化学习并不能让学生深刻理解“比”概念的本质。
那么“比”概念的本质究竟是什么？如何改变学生被动应答的局面，营造主动探索的氛围呢？笔者从“比”概念的本源出发来思考，对“比”形成了如下认识：
（1）比表示的是两个数之间的一种关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才是除法。如3：2只是一种状态，表示两个变量之间的不变关系，而3÷2则是一种运算，二者在意义上不一样。
（2）比为比例的学习做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”。这就是说，小学里“比”的学习，不等于重学一遍除法。
（3）“比”原本是同类最的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形。不过，不同类量的比，不宜作为“比”的主要情境引入。这是因为，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。区别源流，分清主次，是概念教学的要义。比如：路程除以时间等于速度，明明是计算速度的除法问题，并没有比较路程与时间大小的含义在内。若用不同类量作为主要引例，就会颠倒了源流关系，增加了学生理解的难度。
基于上述思考，笔者进行了如下教学设计与实践：
教学过程：
一、对接经验，认识倍数关系的“比”
师：（板书课题：比的认識）大家在哪儿听说过比？
生1：金龙鱼广告1：1：1。
生2：足球比赛2：1。
师：看一看，这里会是谁和谁的比？
生：面粉和水。（板书）
师：做馒头时，面粉和水的比是2：1。（板书：2：1）
师：大家知道2：1的意思吗？
生：“2”就是放2份面粉，“1”就是放l份水。
师：如果面粉放100克，水应该放几克？
生：50克。
师：如果面粉放200克，水应该放几克？
生：100克。
师：如果面粉放500克，水应该放几克？
生：250克。
师：如果水放了500克，面粉应该放几克？
生：1000克。
师：观察黑板上这些数据，你有什么发现？
生：我发现面粉扩大几倍，水也扩大几倍。
师：面粉和水在不断地发生变化，但不管怎么变化，有没有不变的？
生：我发现面粉一直是水的2倍，水永远是面粉的二分之一。
师：说得真好！“比”由三部分组成，中间的“：”叫作比号，比号前面的数叫作前项，比号后面的数叫作后项。前项和后项可以不断发生变化，但它们的倍数关系是不变的。
【思考】“比较两个同类量的关系时，如果以b为单位来度量“，称为a：b”，这是关于比的概念的本质描述。如何让学生体会这一本质？笔者以“面粉与水的比是2：1”为例，引导学生理解“面粉是2份，水是l份”“面粉的质量是水的2倍”……从元概念“份”“倍数”出发，迁移归纳，揭示“比”的本质意义。学生充分经历了概念同化的过程，自然地将新知纳入已有认知结构，实现了概念之间的关系沟通。同时，引导学生思考：面粉1OO克，水应该几克？面粉200克，水应该几克？你有什么发现？……让学生体会“变量中的函数关系”。显然，函数思想的渗透还原了“比”的本质。 二、辨析比较，深化对“比”的认识
师：刚才我们认识了“和面中的比”具有“前项和后项的倍数关系不变”的特点，老师还收集了一些比。
课件出示：
l.天安门图片长和宽的比是4：3。（图1）
2.一场足球比赛的比分是2：1。
3.搅拌混凝土，水泥、沙子和石子的比是2：3：0。
师：这些比有没有这样的变化特点呢？
（学生先独立思考，然后小组交流，最后全班汇报）
生：照片中的比跟和面的2：1一样，是有倍数关系的。如果长变成8，那么宽就变成6。
课件出示：在方格纸上显示把照片放大，长：宽=8：6。（图2）
师：如果长变成了8格，宽不变，会怎么样？
生：照片就变形了，形状会不一样。（图3）
課件显示：印证学生的想法。
生：搅拌混凝土2：3：5也有这个特点，2：3：5可以是2吨、3吨、5吨，也可以是4吨、6吨、10吨。
师：你们同意吗？还可以怎样配混凝土原料的质量？
生继续举例。
师：混凝土一共是10份，水泥、沙子、石子各占2份、3份、5份。想一想：如果不按这样的关系搅拌混凝土，会发生什么情况？
生：会不牢固。
师：是呀！这样的工程就会不安全。想一想，比在这里起到什么作用？
生：这个比就像是一个标准，按这个标准来搅拌混凝土，就会牢固。
师：说得好！比，就像是一把尺子。大家再看一下，这个比有3个数，你怎么看出倍数关系？（引导看出有3组倍数关系）像这样的比，称为连比（板书）。
师：还剩下比赛中的比分，有倍数关系吗？
（学生之间有分歧）
生：我觉得没有倍数关系，本来2：1是相差一个球，4：2就相差2个球了，不公平。
师：我有点听懂你的意思了，如果能这样变化，那比分是不是可以变成20：lO？
生：比分是不能这样变化的，不公平。
师：比分的变化是没有规律的，没有倍数关系。另外，比赛的比分中可以出现O吗？
生：可以。
师：比如足球比赛的比分是2：0，但和面中的面粉和水能是O吗？
生：不能。如果面粉是O，那就只有水了;如果水是O，那就只有面粉了。没法和成面了。
师：看来，比分只是比赛得分记录而已（板书：得分记录），并不是数学上要研究的有倍数关系的比。学习到这里，你觉得人们为什么喜欢用比来表示数量之间的倍数关系呢？好处在哪里？
生l：用比表示倍数关系比较简单。
生2：用比表示比较清楚，一看就知道是多少。
【思考】概念教学既要求教师准确把握新知的本质和来龙去脉，又要求教师洞悉学生的疑惑之处，参透学生建构新知的路径与障碍。在上述教学中，教师通过用比赛中的比分来去伪存真，把学生带入到埘“比”更深刻的思考，从而更为有效地沟通比和除法的关系;借助长方形图片的长与宽的变化让学生感悟“比源于度量”;而石子、沙子和水泥的关系从两个量拓展到三个量，也就沟通了两个量的比和三个量的比的关系，拓展了对比的意义的本质理解，也提升了学生对数学概念理解的深度。
三、适时拓展，丰富对“比”的认识
课件出示：下面情境中的数量能用比来表示吗？如果能，请你写出来。
（l）婴儿的头长约占身高的1/4。
（2）小亮身高155cm，小明身高Im。
（3）从北京到上海的铁路长约1500km.需要行驶5小时。
学生独立思考、写比，然后全班交流。
生：婴儿的身高是4份，头长占l份，所以，婴儿的头长和身高的比是l：4。
师：以头长作为标准，头长是l份，身高就有这样的4份，头长和身高的比就是1：4。
生1：小亮和小明身高的比是155：1。
生2：不对，单位要统一，应该是1.55：1或者是155：100。
师：是的，用比来表示数量关系时，数量的单位要统一。
生l：第（3）个不能写，因为单位不一样了，1300km和5小时，这样比出来不是倍数关系。
生2：我认为能写，因为1500km需要行驶5小时，就相当于300km需要行驶1小时。（板书：1500：5.300：1）
师：这个比的前项是什么？后项是什么？
生：前项是路程，后项是速度。
师：这个比表示的确实不是倍数关系。路程：时间（板书：1500：5=300）得出的是一个新的量——速度，速度是300km/h。以前我们说“路程÷时间=速度”，今天学了比，我们还可以说“速度就是路程和时间的比”（板书）。请大家再推想一下，l小时行300km，会是什么交通工具？
生：高铁。
师：速度是路程和时间的比，可以用比来帮助判断。
【思考】好材料、好任务驱动学生自主建构。婴儿头长占身高的1/4 ——实现了“比”与“分数”概念之间的关系沟通，自然将新知纳入已有认知结构，实现知识的贯通理解;小亮身高l55cm.小明Im——实现了从“同单位”到“不同单位”的变化.自主形成单位统一的认识;从北京到上海全程l50Okm.行驶5小时——实现了从“同类量”到“不同类量”的变式，丰富了“比的类型”，由“倍数关系”扩展为“相除关系”，进一步丰富了学生对比的内涵和外延的认识。
四、回顾反思，课堂总结
通过这节课的学习，你对“比”有了哪些新的认识？
曾于1999年荣获全国小学数学第四届评优课一等奖：多节录像课由中央电教馆、河南省电教馆、北京市电教馆等单位发行;2012年12月，在中国教育学会小学数学专业委员会第十五届年会上执教观摩课;在省级以上教育刊物上发表教学论文、案例等100多篇，40余篇论文获省、市级以上奖励，参与编著《名师如何观察课堂》、《名师课堂DNA解码》（小学数学卷）、《可以这样教数学》（数学名师的教学智慧）等多本教育书籍，主持的5项教育科研成果获省级一、二等奖。
【摘要】在以往“比的认识”教学中，教师关注更多的是“比”概念的形式化解读，教学设计一般是通过表示两个数之间的相除关系引入比，造成学生在课堂学习中被动应答，不能深刻理解“比”的本质内涵。笔者基于对“比”本源性的思考重新设计教学，从元概念“份”“倍数”出发，让学生体会“变量中的函数关系”，揭示“比”的本质意义。既实现了概念之间的关系沟通，也营造了主动探索的氛围。再通过对一系列结构化材料的辨析，进一步丰富了学生对比的内涵和外延的认识。
【关键词】比的认识 倍数关系 函数思想 自主建构
教学内容：人教版数学六年级上册“认识比”
教学思考：
“比”是一个重要的数学概念。在以往教学“比的认识”时，教师关注更多的是“比”概念的形式化解读，教学设计一般是通过表示两个数之间的相除关系引入比，即先是两个同类量的比的教学（如某班男、女生的人数），再是两个不同类量的比的教学（如路程与时间），然后引导学生观察、概括，着重说明上面的例了.都是通过除法来表示两个数量间的关系.都可以用比来表示，在此基础上概括出比的意义——两个数相除又叫作两个数的比。接着，引导学生比较“比”与除法的区别，说明除法是一种求两个数相除的商的运算，而“比”则表示两个数之间的相除关系。然后，提供正例和反例（如球赛中的比分），进一步加深学生对“比”概念的理解。这种设计突出了比与除法的联系，但是，比的独特性和优越性却体现不够，学生对两者的区别印象不深。另外，综观整个教学过程，教师提供信息、发出指令、解释意义，学生读取信息、回应教师、建构理解，在高效传递知识的同时，学生被置于被动应答的状态，缺乏积极参与、主动探索的热情。显然，这样的形式化学习并不能让学生深刻理解“比”概念的本质。
那么“比”概念的本质究竟是什么？如何改变学生被动应答的局面，营造主动探索的氛围呢？笔者从“比”概念的本源出发来思考，对“比”形成了如下认识：
（1）比表示的是两个数之间的一种关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才是除法。如3：2只是一种状态，表示两个变量之间的不变关系，而3÷2则是一种运算，二者在意义上不一样。
（2）比为比例的学习做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”。这就是说，小学里“比”的学习，不等于重学一遍除法。
（3）“比”原本是同类最的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形。不过，不同类量的比，不宜作为“比”的主要情境引入。这是因为，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。区别源流，分清主次，是概念教学的要义。比如：路程除以时间等于速度，明明是计算速度的除法问题，并没有比较路程与时间大小的含义在内。若用不同类量作为主要引例，就会颠倒了源流关系，增加了学生理解的难度。
基于上述思考，笔者进行了如下教学设计与实践：
教学过程：
一、对接经验，认识倍数关系的“比”
师：（板书课题：比的认識）大家在哪儿听说过比？
生1：金龙鱼广告1：1：1。
生2：足球比赛2：1。
师：看一看，这里会是谁和谁的比？
生：面粉和水。（板书）
师：做馒头时，面粉和水的比是2：1。（板书：2：1）
师：大家知道2：1的意思吗？
生：“2”就是放2份面粉，“1”就是放l份水。
师：如果面粉放100克，水应该放几克？
生：50克。
师：如果面粉放200克，水应该放几克？
生：100克。
师：如果面粉放500克，水应该放几克？
生：250克。
师：如果水放了500克，面粉应该放几克？
生：1000克。
师：观察黑板上这些数据，你有什么发现？
生：我发现面粉扩大几倍，水也扩大几倍。
师：面粉和水在不断地发生变化，但不管怎么变化，有没有不变的？
生：我发现面粉一直是水的2倍，水永远是面粉的二分之一。
师：说得真好！“比”由三部分组成，中间的“：”叫作比号，比号前面的数叫作前项，比号后面的数叫作后项。前项和后项可以不断发生变化，但它们的倍数关系是不变的。
【思考】“比较两个同类量的关系时，如果以b为单位来度量“，称为a：b”，这是关于比的概念的本质描述。如何让学生体会这一本质？笔者以“面粉与水的比是2：1”为例，引导学生理解“面粉是2份，水是l份”“面粉的质量是水的2倍”……从元概念“份”“倍数”出发，迁移归纳，揭示“比”的本质意义。学生充分经历了概念同化的过程，自然地将新知纳入已有认知结构，实现了概念之间的关系沟通。同时，引导学生思考：面粉1OO克，水应该几克？面粉200克，水应该几克？你有什么发现？……让学生体会“变量中的函数关系”。显然，函数思想的渗透还原了“比”的本质。 二、辨析比较，深化对“比”的认识
师：刚才我们认识了“和面中的比”具有“前项和后项的倍数关系不变”的特点，老师还收集了一些比。
课件出示：
l.天安门图片长和宽的比是4：3。（图1）
2.一场足球比赛的比分是2：1。
3.搅拌混凝土，水泥、沙子和石子的比是2：3：0。
师：这些比有没有这样的变化特点呢？
（学生先独立思考，然后小组交流，最后全班汇报）
生：照片中的比跟和面的2：1一样，是有倍数关系的。如果长变成8，那么宽就变成6。
课件出示：在方格纸上显示把照片放大，长：宽=8：6。（图2）
师：如果长变成了8格，宽不变，会怎么样？
生：照片就变形了，形状会不一样。（图3）
課件显示：印证学生的想法。
生：搅拌混凝土2：3：5也有这个特点，2：3：5可以是2吨、3吨、5吨，也可以是4吨、6吨、10吨。
师：你们同意吗？还可以怎样配混凝土原料的质量？
生继续举例。
师：混凝土一共是10份，水泥、沙子、石子各占2份、3份、5份。想一想：如果不按这样的关系搅拌混凝土，会发生什么情况？
生：会不牢固。
师：是呀！这样的工程就会不安全。想一想，比在这里起到什么作用？
生：这个比就像是一个标准，按这个标准来搅拌混凝土，就会牢固。
师：说得好！比，就像是一把尺子。大家再看一下，这个比有3个数，你怎么看出倍数关系？（引导看出有3组倍数关系）像这样的比，称为连比（板书）。
师：还剩下比赛中的比分，有倍数关系吗？
（学生之间有分歧）
生：我觉得没有倍数关系，本来2：1是相差一个球，4：2就相差2个球了，不公平。
师：我有点听懂你的意思了，如果能这样变化，那比分是不是可以变成20：lO？
生：比分是不能这样变化的，不公平。
师：比分的变化是没有规律的，没有倍数关系。另外，比赛的比分中可以出现O吗？
生：可以。
师：比如足球比赛的比分是2：0，但和面中的面粉和水能是O吗？
生：不能。如果面粉是O，那就只有水了;如果水是O，那就只有面粉了。没法和成面了。
师：看来，比分只是比赛得分记录而已（板书：得分记录），并不是数学上要研究的有倍数关系的比。学习到这里，你觉得人们为什么喜欢用比来表示数量之间的倍数关系呢？好处在哪里？
生l：用比表示倍数关系比较简单。
生2：用比表示比较清楚，一看就知道是多少。
【思考】概念教学既要求教师准确把握新知的本质和来龙去脉，又要求教师洞悉学生的疑惑之处，参透学生建构新知的路径与障碍。在上述教学中，教师通过用比赛中的比分来去伪存真，把学生带入到埘“比”更深刻的思考，从而更为有效地沟通比和除法的关系;借助长方形图片的长与宽的变化让学生感悟“比源于度量”;而石子、沙子和水泥的关系从两个量拓展到三个量，也就沟通了两个量的比和三个量的比的关系，拓展了对比的意义的本质理解，也提升了学生对数学概念理解的深度。
三、适时拓展，丰富对“比”的认识
课件出示：下面情境中的数量能用比来表示吗？如果能，请你写出来。
（l）婴儿的头长约占身高的1/4。
（2）小亮身高155cm，小明身高Im。
（3）从北京到上海的铁路长约1500km.需要行驶5小时。
学生独立思考、写比，然后全班交流。
生：婴儿的身高是4份，头长占l份，所以，婴儿的头长和身高的比是l：4。
师：以头长作为标准，头长是l份，身高就有这样的4份，头长和身高的比就是1：4。
生1：小亮和小明身高的比是155：1。
生2：不对，单位要统一，应该是1.55：1或者是155：100。
师：是的，用比来表示数量关系时，数量的单位要统一。
生l：第（3）个不能写，因为单位不一样了，1300km和5小时，这样比出来不是倍数关系。
生2：我认为能写，因为1500km需要行驶5小时，就相当于300km需要行驶1小时。（板书：1500：5.300：1）
师：这个比的前项是什么？后项是什么？
生：前项是路程，后项是速度。
师：这个比表示的确实不是倍数关系。路程：时间（板书：1500：5=300）得出的是一个新的量——速度，速度是300km/h。以前我们说“路程÷时间=速度”，今天学了比，我们还可以说“速度就是路程和时间的比”（板书）。请大家再推想一下，l小时行300km，会是什么交通工具？
生：高铁。
师：速度是路程和时间的比，可以用比来帮助判断。
【思考】好材料、好任务驱动学生自主建构。婴儿头长占身高的1/4 ——实现了“比”与“分数”概念之间的关系沟通，自然将新知纳入已有认知结构，实现知识的贯通理解;小亮身高l55cm.小明Im——实现了从“同单位”到“不同单位”的变化.自主形成单位统一的认识;从北京到上海全程l50Okm.行驶5小时——实现了从“同类量”到“不同类量”的变式，丰富了“比的类型”，由“倍数关系”扩展为“相除关系”，进一步丰富了学生对比的内涵和外延的认识。
四、回顾反思，课堂总结
通过这节课的学习，你对“比”有了哪些新的认识？