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通过比较，教师帮助学生辨别知识之间的差异，让沉潜的数学“本质”浮出水面。学生由此深刻感悟数学知识的本源，并进一步理解、内化，创造性地解决各种数学问题。
比较是理解和思维的基础。从数学的角度来看，比较存在于思维活动之中。
一、在觀察比较中理解所学的新知
在新知识出现阶段，教师要注意揭示新知识产生与形成的过程，要善于将这一过程中包含的能够丰富思维训练的因素挖掘出来，善于引导学生感知材料，运用比较方法的使各种材料的共同点聚集拢来，同时使不相干的特点远离学生的视线。
例如，在教学“分数的意义”一节课时，为了使学生能加深理解分数的意义，可以先揭示在什么情况下产生了分数，激发学生的求知欲。再引导学生认真观察图形，动手摆学具，通过多种感官参与学习，帮助学生理解单位“1” 与平均分的意义，理解分数的意义的内涵与外延。
为了帮助学生建构准确的概念，还可以提供几组体现本质属性的图形与非本质属性的、多变的图形，让学生认真观察并指出图中阴影部分所标明是几分之几，哪些是对的，哪些是错的，并要求说出原因。然后，可以引导学生进行观察与分析，使学生在头脑中形成鲜明的表象，通过比较，在理解的基础上概括出分数这个概念的本质属性，理解分数与整体“1”的关系，掌握分数的意义，获得比较清晰而扎实的基础知识。这样，就避免了在教学中过于强调对数学概念、数学规律的灌输，避免了死记硬背的现象。通过引导学生进行观察比较，加深了他们对分数的意义的理解。
二、在变式比较中掌握知识的本质
变式就是变换概念和图形中的非本质特征，突出其本质特征的一种方式。通过变式，有助于概念的形成，有助于学生掌握概念的本质属性，同时，也有助于学生加深对图形特征的认识。
例如，在教学“直角三角形概念”时，要使学生清楚地理解这个概念的内涵与外延，必须以三角形两条边的位置关系为基本特征，即两条边相互垂直，也就是说有一个角是直角的三角形。教学时，如果只局限于采用标准图形（直角标在左下方）进行教学，那么，学生就可能把直角在左下方的看成是直角三角形的本质属性。为了让学生掌握这个概念的本质属性，排除非本质属性的干扰，加深对这个概念的理解，应该抓住三角形两条边的位置关系的特征，进行适当变式。教学时首先要出现标准图形归纳定义，然后出现三组变式图形。（如图1，图2，图3）
通过变式后的观察、比较，就能使学生不受非本质属性的干扰，更深刻地理解直角三角形的本质属性，从而获得对直角三角形特征的进一步认识，发展空间观念，培养空间想象能力。同时，学生的观察能力得到了锻炼，思维能力得到了发展。这样，既提高了学生的逻辑思维能力，又培养了学生的创造力。
三、在新旧对比中沟通知识之间的联系
学生对数学知识的理解需要经历直观的体验，特别是对于抽象化的时间概念更需要学生的感知与内化。课堂上，教师不仅是知识的呈现者，更应是知识的引领者和方法的提炼者。要引导学生通过对相关知识的对比，明确异同，把握新旧知识之间的内在联系，促进学生对新知的理解。
例如，一位教师在教学“24时计时法”一节课时有以下教学片断。
师：如果用一条线段来表示一天的时刻，我们把钟面上用24时计时法的两圈时刻都搬出来。（如图4）
师：对应的12时计时法用线段该如何表示呢？（如图5）
师：观察这两种不同的计时法，有什么相同点和不同点？
生：它们所表示时间时，前面一段的数是一样的，后面一段的数不一样。
生：24时计时法用0～24个数字来表示一天的时刻，而12时计时法只用数字0～12来表示。
生：24时计时法只用数字来表示时间，12时计时法除了数字，前面还有表示时间段的文字。
生：它们表示的意义是一样的。
师：你的意思是说它们表示的时刻一样，只是写法不一样，对吗？
生：24时计时法后面比12时计时法多出了12个小时。如晚上7：00用24时计时法就是7+12=19时。
让学生再次观察对比两种计时法的异同，明确12时计时法和24时计时法第一圈的数字相同，第二圈的数字24时计时法需增加12;24时计时法用到0～24这些数字，而12时计时法只用到0～12这些数字，为了避免混淆，使用12时计时法时必须在数字前面添上“凌晨、上午、下午、晚上”等表示时间的词。这样的对比不仅可以让学生清楚地区分12时计时法和24时计时法的特点，而且可以让学生掌握12时计时法和24时计时法的互换方法。在这一环节中，运用“化曲为直“的方法，把抽象的时间概念转化成半抽象的线段，让两种计时方法一一对应，这样就有利于学生的观察和理解。
四、在易混对比中加深对知识的理解
数学概念具有一定的抽象性，而中低年级学生在学习数学概念时，往往只注意与自己的生活联系比较密切的属性，会把表面相似而本质不同的概念加以混淆。其实，概念之间是密切联系的，若在概念教学中，充分运用比较法，就能使学生准确、牢固地掌握数学概念的内涵，进而揭示其本质属性。例如，一位教师在教学“分数的简单应用”一节课时，为了让学生充分地、直观地理解分数的意义，引导学生进行了两次对比。
对比一：份数与分母的联系。
师：这6个苹果，请你试着平均分一分、画一画，想想可以用哪个分数表示其中的1份或几份。（如图6）
师：观察这三幅图，你有什么问题？
生：为什么苹果的数量一样，可得到的分数却不一样？
师：这个问题问得好！谁来解答这个问题？
生：因为它们平均分的份数不一样，所以分母也不一样。
生：因为它们都是取其中的一份，所以分子都是1。
师：是的，同样都是6个苹果，平均分的份数不一样，它的分母就不一样。一句话，平均分成几份，分母就是几。
对比二：分数与数量的关系。
师：你能用分数表示其中的一份吗？（如图7）
师：观察这三幅图，你又有什么新的问题？
生：为什么苹果的个数都不同，每份都能用1/3来表示？
师：这个问题也很有针对性，谁来帮忙解答？
生：因为它们都是把整体平均分成3份，其中的1份当然就是总数的1/3。
师：看来分数跟平均分的份数和取的份数有关系，跟整体的数量有关吗？
师（追问）：每份的数量一样吗？各是多少？
两次关键性的对比都是让学生自己发现问题、自己提出问题、自己解决问题，教师只是适时的点拨与引导。第一次对比“为什么苹果的数量一样，可得到的分数却不一样”，第二次对比“为什么苹果的数量一样，可得到的分数却一样”，两次的对比归根结底都是进一步理解分数的含义，使学生进一步明确：得到的分数跟平均分的份数和取的份数有关，跟整体的数量无关。这样的比较，既可以突破难点，也凸显了分数的本质属性。
总之，数学知识之间既有联系又相对独立。在教学中恰当地运用比较的方法，有助于帮助学生理解知识、理清概念，把握新旧知识之间的内在联系，使学生能主动地学习，创造性地解决各种数学问题，从而提高其数学学习能力与解决问题的能力。
（责任编辑：杨强）
比较是理解和思维的基础。从数学的角度来看，比较存在于思维活动之中。
一、在觀察比较中理解所学的新知
在新知识出现阶段，教师要注意揭示新知识产生与形成的过程，要善于将这一过程中包含的能够丰富思维训练的因素挖掘出来，善于引导学生感知材料，运用比较方法的使各种材料的共同点聚集拢来，同时使不相干的特点远离学生的视线。
例如，在教学“分数的意义”一节课时，为了使学生能加深理解分数的意义，可以先揭示在什么情况下产生了分数，激发学生的求知欲。再引导学生认真观察图形，动手摆学具，通过多种感官参与学习，帮助学生理解单位“1” 与平均分的意义，理解分数的意义的内涵与外延。
为了帮助学生建构准确的概念，还可以提供几组体现本质属性的图形与非本质属性的、多变的图形，让学生认真观察并指出图中阴影部分所标明是几分之几，哪些是对的，哪些是错的，并要求说出原因。然后，可以引导学生进行观察与分析，使学生在头脑中形成鲜明的表象，通过比较，在理解的基础上概括出分数这个概念的本质属性，理解分数与整体“1”的关系，掌握分数的意义，获得比较清晰而扎实的基础知识。这样，就避免了在教学中过于强调对数学概念、数学规律的灌输，避免了死记硬背的现象。通过引导学生进行观察比较，加深了他们对分数的意义的理解。
二、在变式比较中掌握知识的本质
变式就是变换概念和图形中的非本质特征，突出其本质特征的一种方式。通过变式，有助于概念的形成，有助于学生掌握概念的本质属性，同时，也有助于学生加深对图形特征的认识。
例如，在教学“直角三角形概念”时，要使学生清楚地理解这个概念的内涵与外延，必须以三角形两条边的位置关系为基本特征，即两条边相互垂直，也就是说有一个角是直角的三角形。教学时，如果只局限于采用标准图形（直角标在左下方）进行教学，那么，学生就可能把直角在左下方的看成是直角三角形的本质属性。为了让学生掌握这个概念的本质属性，排除非本质属性的干扰，加深对这个概念的理解，应该抓住三角形两条边的位置关系的特征，进行适当变式。教学时首先要出现标准图形归纳定义，然后出现三组变式图形。（如图1，图2，图3）
通过变式后的观察、比较，就能使学生不受非本质属性的干扰，更深刻地理解直角三角形的本质属性，从而获得对直角三角形特征的进一步认识，发展空间观念，培养空间想象能力。同时，学生的观察能力得到了锻炼，思维能力得到了发展。这样，既提高了学生的逻辑思维能力，又培养了学生的创造力。
三、在新旧对比中沟通知识之间的联系
学生对数学知识的理解需要经历直观的体验，特别是对于抽象化的时间概念更需要学生的感知与内化。课堂上，教师不仅是知识的呈现者，更应是知识的引领者和方法的提炼者。要引导学生通过对相关知识的对比，明确异同，把握新旧知识之间的内在联系，促进学生对新知的理解。
例如，一位教师在教学“24时计时法”一节课时有以下教学片断。
师：如果用一条线段来表示一天的时刻，我们把钟面上用24时计时法的两圈时刻都搬出来。（如图4）
师：对应的12时计时法用线段该如何表示呢？（如图5）
师：观察这两种不同的计时法，有什么相同点和不同点？
生：它们所表示时间时，前面一段的数是一样的，后面一段的数不一样。
生：24时计时法用0～24个数字来表示一天的时刻，而12时计时法只用数字0～12来表示。
生：24时计时法只用数字来表示时间，12时计时法除了数字，前面还有表示时间段的文字。
生：它们表示的意义是一样的。
师：你的意思是说它们表示的时刻一样，只是写法不一样，对吗？
生：24时计时法后面比12时计时法多出了12个小时。如晚上7：00用24时计时法就是7+12=19时。
让学生再次观察对比两种计时法的异同，明确12时计时法和24时计时法第一圈的数字相同，第二圈的数字24时计时法需增加12;24时计时法用到0～24这些数字，而12时计时法只用到0～12这些数字，为了避免混淆，使用12时计时法时必须在数字前面添上“凌晨、上午、下午、晚上”等表示时间的词。这样的对比不仅可以让学生清楚地区分12时计时法和24时计时法的特点，而且可以让学生掌握12时计时法和24时计时法的互换方法。在这一环节中，运用“化曲为直“的方法，把抽象的时间概念转化成半抽象的线段，让两种计时方法一一对应，这样就有利于学生的观察和理解。
四、在易混对比中加深对知识的理解
数学概念具有一定的抽象性，而中低年级学生在学习数学概念时，往往只注意与自己的生活联系比较密切的属性，会把表面相似而本质不同的概念加以混淆。其实，概念之间是密切联系的，若在概念教学中，充分运用比较法，就能使学生准确、牢固地掌握数学概念的内涵，进而揭示其本质属性。例如，一位教师在教学“分数的简单应用”一节课时，为了让学生充分地、直观地理解分数的意义，引导学生进行了两次对比。
对比一：份数与分母的联系。
师：这6个苹果，请你试着平均分一分、画一画，想想可以用哪个分数表示其中的1份或几份。（如图6）
师：观察这三幅图，你有什么问题？
生：为什么苹果的数量一样，可得到的分数却不一样？
师：这个问题问得好！谁来解答这个问题？
生：因为它们平均分的份数不一样，所以分母也不一样。
生：因为它们都是取其中的一份，所以分子都是1。
师：是的，同样都是6个苹果，平均分的份数不一样，它的分母就不一样。一句话，平均分成几份，分母就是几。
对比二：分数与数量的关系。
师：你能用分数表示其中的一份吗？（如图7）
师：观察这三幅图，你又有什么新的问题？
生：为什么苹果的个数都不同，每份都能用1/3来表示？
师：这个问题也很有针对性，谁来帮忙解答？
生：因为它们都是把整体平均分成3份，其中的1份当然就是总数的1/3。
师：看来分数跟平均分的份数和取的份数有关系，跟整体的数量有关吗？
师（追问）：每份的数量一样吗？各是多少？
两次关键性的对比都是让学生自己发现问题、自己提出问题、自己解决问题，教师只是适时的点拨与引导。第一次对比“为什么苹果的数量一样，可得到的分数却不一样”，第二次对比“为什么苹果的数量一样，可得到的分数却一样”，两次的对比归根结底都是进一步理解分数的含义，使学生进一步明确：得到的分数跟平均分的份数和取的份数有关，跟整体的数量无关。这样的比较，既可以突破难点，也凸显了分数的本质属性。
总之，数学知识之间既有联系又相对独立。在教学中恰当地运用比较的方法，有助于帮助学生理解知识、理清概念，把握新旧知识之间的内在联系，使学生能主动地学习，创造性地解决各种数学问题，从而提高其数学学习能力与解决问题的能力。
（责任编辑：杨强）