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我们知道，数学因为运动才充满了“活力”，而有关“运动”的问题一直是同学们学习中的一个难点.由于这类问题涉及到的知识面广（例如常与方程、函数、解直角三角形、勾股定理、图形的面积、三角形的全等与相似等知识相联系）、信息量大、综合性强，所以在解答这样的问题时，需要学生具有较强的观察、分析、判断、发现、归纳、探究与猜想等能力.同时，这样的问题文字叙述部分比较长，解答时还要求学生具备较强的阅读理解能力.对于这样的问题，学生只有用运动和变化的眼光去审视问题，在理解的基础上，把握图形运动、变化的全过程，综合运用多方面的知识才能解决.而且学生在解答运动型问题时，还能进一步增强对分类讨论、数形结合、方程、函数等数学思想的认识和理解.正因为如此，这类问题才逐渐发展成为中考的热点问题，是中考数学试卷中的“压轴题”.
为帮助教师有针对性的加强对运动型问题的教学与研究，我们在认真分析有关运动型考题的基础上，将这方面的考题分为以下四种类型，下面结合具体题目（所选例题均为2013年各地的中考题）进行分析：
1单个点的运动
这类问题中只有一个点在运动，这个点可以沿直线运动，也可以沿曲线（双曲线、抛物线、圆弧）运动.这个点的运动将导致有关的图形发生变化，其对应的量（如线段的长度，三角形或四边形的面积等）也将发生变化.这些变化的“形或量”往往成为命题者捕捉的“对象”，也成为考查学生对有关知识掌握情况的出发点和关键点.
例1（上海市）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图1）.已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y.
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切（图2）时，求x的值；
（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值.
图1图2析解（1）观察图形1发现，x和y分别属于△APB和△MBQ，要求二者之间的函数关系式，需要证明△APB∽△MBQ，求得AP1BM=PB1BQ，因为BP=AP2+AB2=x2+25，BM=BP12=x2+2512，所以x1x2+2512=x2+251y，化简得y=25+x212x（1≤x≤13）.（2）根据两个圆外切，可以先求出圆心距PQ=AP+CQ=x+（13-y），考虑到QM是PB的垂直平分线，得到BQ=PQ=y，从而y=x+（13-y），所以y=x+1312.结合（1）中y与x的关系式，得到x+1312=25+x212x，x=25113.（3）先证明△APB∽△CQE，利用相似三角形的性质，列出得到y=65-4x15，再利用（1）中的得到y=25+x212x，设法消去y，求出x=65±1026113.经检验：当x=65-1026113（如图3）或x=65+1026113（如图4）时，都满足题意.
图3图4点评本题以一个点的运动为载体，综合考查了矩形、等腰三角形、相似三角形、勾股定理、圆与圆的位置关系、一元二次方程的解法等基础知识.第（1）问是基础，第（2）（3）问的解答都到用到第（1）问求出的y关于x的函数关系式.在解答第（2）问时，根据两个圆外切，得到PQ=AP+CQ=x+（13-y）及由QM是PB的垂直平分线，得到BQ=PQ=y是关键的一步，把两个含有x，y的等式联立，得到y=x+（13-y），结合第（1）问的结果y=25+x212x，即可求出x的值.（3）由△APB∽△CQE得到∠EQC=∠EQF，进而推出∠EQC=∠APB，并且得到△APB∽△CQE，然后利用相似三角形的性质，得到y=65-4x15，再利用（1）中的得到y与x的关系式，得到关于x的二次方程.方程有两个解，经画图检验都符合要求.
2两个点同时运动
这类问题又分为两种情况：一是这两个点在同一条直线上运动；二是这两个点在不同直线上运动.这种运动型问题常与探索型问题结合在一起，解答时要用到的知识点比较多，是学生感到比较困难的问题.
例2（济宁市）如图5，直线y=-112x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C.在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF.若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）.
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值.
图5图6析解（1）根据直线y=-112x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A、B两点的坐标.再利用EP∥BO得出EP1AP=OB1AO=112，进而求出P点的运动速度是每秒2个单位长度；（2）先求出点Q与点P重合时所需要的时间为t=813，然后分点Q在点P的左边和右边两种情况讨论：当点Q在点P的左边时（0≤t<813），如图5，可求得t=2；当点Q在点P的右边时（813 （3）根据（2）中所求出t的值得出S与t的函数关系式，利用二次函数的性质求出即可.当点Q在点P的左边时，S矩形PEFQ=QP·QF=t（8-3t）=-3t2+8t（0≤t<813），当t=-812×（-3）=413时，S矩形PEFQ的最大值为4×（-3）×0-8214×（-3）=1613.当点Q在点P的右边时，S矩形PEFQ=QP·QF=t（3t-8）=3t2-8t（813 点评本题含有两个点的运动，这两个点在同一条直线上，是一道比较繁杂的压轴题.问题的第一问是基础性问题，属于送分题；第二问考查学生利用正方形的性质解决问题的能力.由于两个点P，Q在同一条直线上运动，所以矩形PEFQ是一个随P，Q的运动而变化的图形.为此，应先求出运动到某个特殊点所用的时间，即P，Q相遇时所用的时间t=813.然后分两种情况讨论，一是当0≤t<813时所形成的图形为正方形的时间；二是当813 例3（吉林省）如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A→F→D的方向运动到点D停止；点Q沿B→C的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动.在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）.
（1）当点P运动到点F时，CQ=cm；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式.
图7图8析解（1）当点P运动到点F时，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出CQ=8cm-3cm=5cm；（2）当点P落在MQ上时，如图8，则有BQ+PF=BC，于是可得到关于x的方程x+x-3=8，求得x=1112，BQ的长度为1112×1=1112（cm）；（3）根据点P在线段FD上运动时，所求的重叠部分图形的形状的不同，故分三种情况求解.
①当3≤x<4时，重叠部分图形为平行四边形，得到y=-314x2+2114x；
②当4≤x<1112时，重叠部分为矩形，y=3[（8-x）-（x-3）]=-6x+33；
③当1112≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，y=3[（x-3）-（8-x）]=6x-33.
点评本题含有两个动点，其中一个点沿直角三角形的一直角边运动，另一个点沿折线方向运动。两个点的运动导致了平行四边形PMQN也在变化，从而使得它与固定的矩形FDEC重叠部分的面积为y也在变化，本题以此为背景，用代数的方法研究两个点的运动问题，是典型的“动点与分类讨论”相结合的题目.考查的知识主要有矩形的性质、平行四边形的性质，三角形的中位线，特殊四边形面积的计算等.是一道比较复杂的压轴题.
第一、二问比较简单，大部分同学都能解答.第三问考查学生利用三角形相似的性质解决问题的能力.根据运动的情况结合图形应分三种情况考虑，从而得到三个结果.
3简单图形的运动
这里所说的简单图形，主要是指特殊的三角形、四边形或圆等简单图形，其运动主要指平移运动、翻滚运动和旋转运动.把一个简单图形（角或三角形等）绕固定点旋转一个角度时，原来的图形将会发生变化，解答这类问题要具有较强的观察能力和空间想象能力.
图9例4（南昌市）如图9，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x（x>0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）.
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
析解（1）根据矩形性质得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得B（2，4），C（6，4），D（6，6）；（2）A、C落在反比例函数的图象上，设矩形平移后A的坐标是（2，6-x），C的坐标是（6，4-x），因为A、C落在反比例函数的图象上，所以k=2（6-x）=6（4-x），x=3，即矩形平移后A的坐标是（2，3），代入反比例函数的解析式得k=2×3=6，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=61x.
点评本题属于图形的平移问题.主要考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质等多方面的知识.
例5（湘潭市）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图10，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF.
图10图11图12（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图11，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图12，请你求出CF的长.
析解（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=112OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD=17，从而得CF=17.
点评这类问题属于图形的整体运动，本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键.第（1）问只要能根据条件判定出△AOD≌△COF即可.第（2）问作辅助线DF构造出直角三角形是解题的关键.
从以上几例可以看出，运动型问题的共同点是动点与列函数关系式相结合，这些题目具有较强的探索性，大都涉及数形结合的思想、方程思想、函数思想等，通过让学生经历观察、思考来感悟、体会图形的一些基本性质.所有的动点问题都有一定的层次，有利于考察学生对所学基础知识的掌握和综合运用知识发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.这样的问题对于培养同学们的观察能力、想象能力及判断能力都是非常有益的，分类讨论问题的解答还能养成同学们考虑问题要全面的思维习惯.所以说，运动型问题具有潜在的价值，是非常值得老师们在日常的教学中加强研究和尝试的.
为帮助教师有针对性的加强对运动型问题的教学与研究，我们在认真分析有关运动型考题的基础上，将这方面的考题分为以下四种类型，下面结合具体题目（所选例题均为2013年各地的中考题）进行分析：
1单个点的运动
这类问题中只有一个点在运动，这个点可以沿直线运动，也可以沿曲线（双曲线、抛物线、圆弧）运动.这个点的运动将导致有关的图形发生变化，其对应的量（如线段的长度，三角形或四边形的面积等）也将发生变化.这些变化的“形或量”往往成为命题者捕捉的“对象”，也成为考查学生对有关知识掌握情况的出发点和关键点.
例1（上海市）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图1）.已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y.
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切（图2）时，求x的值；
（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值.
图1图2析解（1）观察图形1发现，x和y分别属于△APB和△MBQ，要求二者之间的函数关系式，需要证明△APB∽△MBQ，求得AP1BM=PB1BQ，因为BP=AP2+AB2=x2+25，BM=BP12=x2+2512，所以x1x2+2512=x2+251y，化简得y=25+x212x（1≤x≤13）.（2）根据两个圆外切，可以先求出圆心距PQ=AP+CQ=x+（13-y），考虑到QM是PB的垂直平分线，得到BQ=PQ=y，从而y=x+（13-y），所以y=x+1312.结合（1）中y与x的关系式，得到x+1312=25+x212x，x=25113.（3）先证明△APB∽△CQE，利用相似三角形的性质，列出得到y=65-4x15，再利用（1）中的得到y=25+x212x，设法消去y，求出x=65±1026113.经检验：当x=65-1026113（如图3）或x=65+1026113（如图4）时，都满足题意.
图3图4点评本题以一个点的运动为载体，综合考查了矩形、等腰三角形、相似三角形、勾股定理、圆与圆的位置关系、一元二次方程的解法等基础知识.第（1）问是基础，第（2）（3）问的解答都到用到第（1）问求出的y关于x的函数关系式.在解答第（2）问时，根据两个圆外切，得到PQ=AP+CQ=x+（13-y）及由QM是PB的垂直平分线，得到BQ=PQ=y是关键的一步，把两个含有x，y的等式联立，得到y=x+（13-y），结合第（1）问的结果y=25+x212x，即可求出x的值.（3）由△APB∽△CQE得到∠EQC=∠EQF，进而推出∠EQC=∠APB，并且得到△APB∽△CQE，然后利用相似三角形的性质，得到y=65-4x15，再利用（1）中的得到y与x的关系式，得到关于x的二次方程.方程有两个解，经画图检验都符合要求.
2两个点同时运动
这类问题又分为两种情况：一是这两个点在同一条直线上运动；二是这两个点在不同直线上运动.这种运动型问题常与探索型问题结合在一起，解答时要用到的知识点比较多，是学生感到比较困难的问题.
例2（济宁市）如图5，直线y=-112x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C.在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF.若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）.
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值.
图5图6析解（1）根据直线y=-112x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A、B两点的坐标.再利用EP∥BO得出EP1AP=OB1AO=112，进而求出P点的运动速度是每秒2个单位长度；（2）先求出点Q与点P重合时所需要的时间为t=813，然后分点Q在点P的左边和右边两种情况讨论：当点Q在点P的左边时（0≤t<813），如图5，可求得t=2；当点Q在点P的右边时（813
（1）当点P运动到点F时，CQ=cm；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式.
图7图8析解（1）当点P运动到点F时，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出CQ=8cm-3cm=5cm；（2）当点P落在MQ上时，如图8，则有BQ+PF=BC，于是可得到关于x的方程x+x-3=8，求得x=1112，BQ的长度为1112×1=1112（cm）；（3）根据点P在线段FD上运动时，所求的重叠部分图形的形状的不同，故分三种情况求解.
①当3≤x<4时，重叠部分图形为平行四边形，得到y=-314x2+2114x；
②当4≤x<1112时，重叠部分为矩形，y=3[（8-x）-（x-3）]=-6x+33；
③当1112≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，y=3[（x-3）-（8-x）]=6x-33.
点评本题含有两个动点，其中一个点沿直角三角形的一直角边运动，另一个点沿折线方向运动。两个点的运动导致了平行四边形PMQN也在变化，从而使得它与固定的矩形FDEC重叠部分的面积为y也在变化，本题以此为背景，用代数的方法研究两个点的运动问题，是典型的“动点与分类讨论”相结合的题目.考查的知识主要有矩形的性质、平行四边形的性质，三角形的中位线，特殊四边形面积的计算等.是一道比较复杂的压轴题.
第一、二问比较简单，大部分同学都能解答.第三问考查学生利用三角形相似的性质解决问题的能力.根据运动的情况结合图形应分三种情况考虑，从而得到三个结果.
3简单图形的运动
这里所说的简单图形，主要是指特殊的三角形、四边形或圆等简单图形，其运动主要指平移运动、翻滚运动和旋转运动.把一个简单图形（角或三角形等）绕固定点旋转一个角度时，原来的图形将会发生变化，解答这类问题要具有较强的观察能力和空间想象能力.
图9例4（南昌市）如图9，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x（x>0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）.
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
析解（1）根据矩形性质得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得B（2，4），C（6，4），D（6，6）；（2）A、C落在反比例函数的图象上，设矩形平移后A的坐标是（2，6-x），C的坐标是（6，4-x），因为A、C落在反比例函数的图象上，所以k=2（6-x）=6（4-x），x=3，即矩形平移后A的坐标是（2，3），代入反比例函数的解析式得k=2×3=6，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=61x.
点评本题属于图形的平移问题.主要考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质等多方面的知识.
例5（湘潭市）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图10，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF.
图10图11图12（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图11，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图12，请你求出CF的长.
析解（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=112OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD=17，从而得CF=17.
点评这类问题属于图形的整体运动，本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键.第（1）问只要能根据条件判定出△AOD≌△COF即可.第（2）问作辅助线DF构造出直角三角形是解题的关键.
从以上几例可以看出，运动型问题的共同点是动点与列函数关系式相结合，这些题目具有较强的探索性，大都涉及数形结合的思想、方程思想、函数思想等，通过让学生经历观察、思考来感悟、体会图形的一些基本性质.所有的动点问题都有一定的层次，有利于考察学生对所学基础知识的掌握和综合运用知识发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.这样的问题对于培养同学们的观察能力、想象能力及判断能力都是非常有益的，分类讨论问题的解答还能养成同学们考虑问题要全面的思维习惯.所以说，运动型问题具有潜在的价值，是非常值得老师们在日常的教学中加强研究和尝试的.