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摘要：线性规划在实际生活中有着广泛的应用，新教材中增加了线性规划的内容，体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识. 由于实际背景所限，所求的问题可能会在整数的前提条件下才有实际意义，本文为笔者在教学实践和研究中归纳的解决这类问题的两种行之有效的方法，供大家参阅.
关键词：线性规划；整点问题；格点微调；最值微调
线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用. 新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识. 常见的类型有二类：第一类，给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大；第二类，给定一项任务，问怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、物力资源最小. 由于实际背景所限，所求的问题会在整数的前提条件下才有实际意义，笔者在教学中经过多次的教学实践和研究，找到了解决这类问题的方法，以下是笔者在教学实践和研究中归纳的行之有效的方法，供大家参考参阅.
【问题】两类药片有效成份如下：
■
若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打，28 mg可待因，两类药片的最小总数是多少？怎样搭配价格最低？
【解法一】 （格点微调法）
经分析，假设A，B类药片分别使用x，y片.用药的总数为P片，价格总数为Q元，则线性约束条件为2x+y≥12，5x+7y≥70，x+6y≥28，x，y∈N■*. 线性目标函数为P=x+y，Q=0.1x+0.2y.
我们可根据以上线性约束条件画出如下的可行域：
对于线性目标函数P=x+y，我们的目标是求P的最小值，我们将线性目标函数作一变形得y=－x+P，此时的P代表的是斜截式直线方程y=kx+b中的参数b，即直线在纵轴上的截距，显然要求P的最小值，只要求直线y=－x+P在纵轴上的截距的最小值即可.
为了作图的方便，我们可以先令P=0，得到线性目标函数的初始状态线P0，然后将初始状态线P0逐步向可行域平行移动，直到得到线性目标函数线满足题意为止，我们将此时的位置称为理论理想位置.我们发现此时线性目标函数在点A■，■处取得理论最小值，但显然此时的理论最小值并不符合题意（整点）的要求，故要将目标函数线继续向可行域的右上方移动. 我们可以从图形上发现，最靠近A■，■点的整点有B（1，10），C（2，9），D（3，8）等，而且我们发现线性目标函数在此三点处同时取得实际最小值11，从而我们就找到了三个最优解B（1，10），C（2，9），D（3，8）.
【解法二】 （最值微调法）
仿照解法一，我们可以根据线性约束条件画出可行域，同时我们发现线性目标函数在点A■，■处取得理论最小值P=x+y=■+■=■，因题中要求x，y∈N*，故此时的理论最小值显然没有实际意义，故我们应该在此理论最小值的基础之上通过微调找到实际最小值，显然实际最小值应该比理论最小值要大一点，故可取比理论最小值稍大一点的最小整数作为可能的实际最小值，此处我们可取P=x+y=11，将其变形得y=11－x，重新回代入线性约束条件可得2x+（11－x）≥12，5x+7（11－x）≥70，x+6（11－x）≥28，x，（11－x）∈N*， ?圯x≥1，x≤■，x≤■，x，（11－x）∈N*， ?圯1≤x≤■，x∈N*. ，故x可取的值有三个：1，2，3.
即满足题意的最优解为B（1，10），C（2，9），D（3，8）.
读者可以仿照以上解法解答第二小问. 当然第二小问的目标函数应该变形为Q=0.1（x+2y）后在微调（真正起决定性作用的是因式x+2y）
在遇到线性规划的整点问题时，我们通常的处理办法就是上面的两种. 对于解法一，因找整点画网格线比较麻烦又不够精确，所以我们只在格点较少、网格线易画的前提条件下才会采用. 对于解法二，必须理解两个最值：理论最值和实际最值，当所求的最值为最大值时，如果得到的理论最大值没有实际意义，则应该适当调小理论最大值得到可能的实际最大值；同理当所求的最值为最小值时，如果得到的理论最小值没有实际意义，则应该适当调大理论最小值得到可能的实际最小值. 在可能的实际最小（大）值的基础之上还应将线性目标函数回代入线性约束条件验证求解，如找不到最优解，则再次调大（小）可能实际最小（大）值后再回代，直到找到符合题意的实际最值为止.
关键词：线性规划；整点问题；格点微调；最值微调
线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用. 新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识. 常见的类型有二类：第一类，给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大；第二类，给定一项任务，问怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、物力资源最小. 由于实际背景所限，所求的问题会在整数的前提条件下才有实际意义，笔者在教学中经过多次的教学实践和研究，找到了解决这类问题的方法，以下是笔者在教学实践和研究中归纳的行之有效的方法，供大家参考参阅.
【问题】两类药片有效成份如下：
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若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打，28 mg可待因，两类药片的最小总数是多少？怎样搭配价格最低？
【解法一】 （格点微调法）
经分析，假设A，B类药片分别使用x，y片.用药的总数为P片，价格总数为Q元，则线性约束条件为2x+y≥12，5x+7y≥70，x+6y≥28，x，y∈N■*. 线性目标函数为P=x+y，Q=0.1x+0.2y.
我们可根据以上线性约束条件画出如下的可行域：
对于线性目标函数P=x+y，我们的目标是求P的最小值，我们将线性目标函数作一变形得y=－x+P，此时的P代表的是斜截式直线方程y=kx+b中的参数b，即直线在纵轴上的截距，显然要求P的最小值，只要求直线y=－x+P在纵轴上的截距的最小值即可.
为了作图的方便，我们可以先令P=0，得到线性目标函数的初始状态线P0，然后将初始状态线P0逐步向可行域平行移动，直到得到线性目标函数线满足题意为止，我们将此时的位置称为理论理想位置.我们发现此时线性目标函数在点A■，■处取得理论最小值，但显然此时的理论最小值并不符合题意（整点）的要求，故要将目标函数线继续向可行域的右上方移动. 我们可以从图形上发现，最靠近A■，■点的整点有B（1，10），C（2，9），D（3，8）等，而且我们发现线性目标函数在此三点处同时取得实际最小值11，从而我们就找到了三个最优解B（1，10），C（2，9），D（3，8）.
【解法二】 （最值微调法）
仿照解法一，我们可以根据线性约束条件画出可行域，同时我们发现线性目标函数在点A■，■处取得理论最小值P=x+y=■+■=■，因题中要求x，y∈N*，故此时的理论最小值显然没有实际意义，故我们应该在此理论最小值的基础之上通过微调找到实际最小值，显然实际最小值应该比理论最小值要大一点，故可取比理论最小值稍大一点的最小整数作为可能的实际最小值，此处我们可取P=x+y=11，将其变形得y=11－x，重新回代入线性约束条件可得2x+（11－x）≥12，5x+7（11－x）≥70，x+6（11－x）≥28，x，（11－x）∈N*， ?圯x≥1，x≤■，x≤■，x，（11－x）∈N*， ?圯1≤x≤■，x∈N*. ，故x可取的值有三个：1，2，3.
即满足题意的最优解为B（1，10），C（2，9），D（3，8）.
读者可以仿照以上解法解答第二小问. 当然第二小问的目标函数应该变形为Q=0.1（x+2y）后在微调（真正起决定性作用的是因式x+2y）
在遇到线性规划的整点问题时，我们通常的处理办法就是上面的两种. 对于解法一，因找整点画网格线比较麻烦又不够精确，所以我们只在格点较少、网格线易画的前提条件下才会采用. 对于解法二，必须理解两个最值：理论最值和实际最值，当所求的最值为最大值时，如果得到的理论最大值没有实际意义，则应该适当调小理论最大值得到可能的实际最大值；同理当所求的最值为最小值时，如果得到的理论最小值没有实际意义，则应该适当调大理论最小值得到可能的实际最小值. 在可能的实际最小（大）值的基础之上还应将线性目标函数回代入线性约束条件验证求解，如找不到最优解，则再次调大（小）可能实际最小（大）值后再回代，直到找到符合题意的实际最值为止.