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我们在解决数学问题过程中，经常会遇到不能用一种标准、同一种运算、或同一个类型、或同一个定理、或同一种方法去解决的问题，因而会出现多种情况，需要分成若干个局部的问题去解决，这就是分类讨论的思想．分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．
从某种意义上讲，分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”，达到运用知识合理解决问题的思想方法．那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则，才能使分类科学、严谨，从而正确、合理地解题，分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则．
同一性、互斥性、层次性是分类讨论的三原则解题中,分类讨论一般分为四步：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准,合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论.
分类讨论的大致原因：（1）由数学概念而引起的分类讨论；（2）由数学运算要求而引起的分类讨论；（3）由定理、公式的限制而引起的分类讨论；（4）由图形的不确定性而引起的分类讨论；（5）由参数的变化而引起的分类讨论．
◆考向1 由概念引起的分类讨论
由概念引发的分类讨论有很多，常见类型有：绝对值：|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况；直线的斜率：倾斜角θ≠90°，斜率k存在，倾斜角θ=90°，斜率k不存在；对数、指数函数：y=loga x与y=ax，可分为a>1、0 例1 已知函数f(x)=logm+2［mx2+(m+2)x+m+2］存在最值，试求实数m的取值范围．
思路点拨：由于函数f(x)是由函数y=logm+2g(x)和函数g(x)=mx2+(m+2)x+m+2复合而成的，所以应对底数m+2的取值以及g(x)的最值情况分别进行讨论.
解答：（1）当m+2>1即m>－1时，函数y=log(m+2)x是增函数，因此：
①要使函数f(x)有最大值，需满足
m+2>1,m<0,Δ=(m+2)2－4m(m+2)>0,
解得m>－1,m<0,－2 即－1 ②要使函数f(x)有最小值，
需满足m+2>1,m＞0,Δ=(m+2)2－4m(m+2)<0,
解得m>－1,m>0,m>23或m<－2,
即m>23；
（2）当0 ①要使函数f(x)有最大值，需满足
00,Δ=(m+2)2－4m(m+2)<0,
解得－20,m>23或m<－2,
因此m无解；
②要使函数f(x)有最小值，需满足
00,
解得－2 即－2 综上所述，要使函数f(x)有最值，实数m的取值范围是－223．
◆考向2 由运算引起的分类讨论
分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的，比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同除以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根号大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题，差值比较中的差的正负的讨论；有有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．
例2 已知函数f(x)=x+1x,x∈［－2,－1）,－2,x∈［－1,12),x－1x,x∈［12,2］.
（1）求f(x)的值域；
（2）设函数g(x)=ax－2，x∈［－2,2］，若对于任意x1∈［－2,2］，总存在x0，使得g(x0)=f(x1)成立，求实数a的取值范围．
思路点拨：（1）分段求值域，然后求并集；（2）分a>0，a=0和a<0三种情况讨论．
解答：（1）当x∈［－2,-1)时，f(x)=x+1x在［－2,-1)上是增函数，此时f(x)∈－52,－2；
当x∈－1,12时，f(x)=－2；
当x∈12,2时，f(x)=x－1x在12,2上是增函数，此时f(x)∈－32,32．
∴f(x)的值域为－52,－2∪－32,32．
（2）当a=0时，g(x)=－2，对于任意x1∈［－2,2］，f(x1)∈［－52,－2）∪［－32,32］，不存在x0∈［－2,2］，使得g(x0)=f(x1)成立；
当a>0时，g(x)=ax－2在［－2,2］上是增函数，g(x)∈［－2a－2,2a－2］，任给x1∈［－2,2］，f(x1)∈［－52,－2］∪［－32,32］，
若存在x0∈［－2,2］，使得g(x0)=f(x1)成立，则［－52,－2）∪［－32,32］［－2a－2,2a－2］，
∴－2a－2≤－522a－2≥32，∴a≥74；
当a<0时，g(x)=ax－2在［－2,2］上是减函数，g(x)∈［2a－2,－2a－2］，
同理可得－2a－2≥322a－2≤－52，∴a≤－74．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞,－74］∪［74,+∞)．
◆考向3 由定理、公式引起的分类讨论
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．
例3 已知等比数列{an}中，a1=1，Sn是其前n项和，且ak+1，ak+3，ak+2(k∈N)成等差数列．
（1）求数列{an}的公比；
（2）试判断Sk+1，Sk+3，Sk+2(k∈N)是否构成等差数列，并说明理由．
思路点拨：在利用等比数列的前n项和公式时，要注意对公比q是否为１进行分类讨论．
解答：（1）设等比数列{an}的公比为q(q≠0).
依题意得2qk+2=qk+qk+1，由于qk≠0，所以2q2－q－1=0，解得q=1或q=－12．
（2）当q=1时，Sk+1=(k+1)a1=k+1，Sk+3=k+3，Sk+2=k+2，显然Sk+1+Sk+2=k+1+k+2=2k+3≠2Sk+3，故Sk+1，Sk+3，Sk+2不能构成等差数列；
当q=－12时，Sk+1=1－(－12)k+11－(－12)=23［1－(－12)k+1］，
同理可得Sk+2=23［1－(－12)k+2］，Sk+3=23［1－(－12)k+3］，
于是Sk+1+Sk+2=23［1－(－12)k+1］+23［1－(－12)k+2］=23［2－(－12)k+1－(－12)k+2］
=43［1－(－12)k+3］=2Sk+3，所以Sk+1，Sk+3，Sk+2能构成等差数列．
综上所述：当q=1时，Sk+1，Sk+3，Sk+2不能构成等差数列；当q=－12时，Sk+1，Sk+3，Sk+2能构成等差数列．
◆考向4 由图形的变动引起的分类讨论
在解题过程中，有些几何问题的图形位置或形状不能确定，如果解题时进行统一处理，将会遇到较大困难，这时就必须把问题分成几类或几部分来处理，采用分而治之的方法来各个击破．
例4 长方形ABCD中，|AB|=4，|BC|=8，在BC边上取一点P，使|BP|=t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q、R时，用t表示|QR|．
思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q、R的坐标，利用两点间的距离公式建模．
解答：如图，分别以BC、AB所在边为x，y轴建立坐标系，
∵kAP=－4t，∴kQR=t4，又AP的中点的坐标为t2,2，
∴QR所在的直线方程为y－2=t4x－t2……①
由于t的取值范围的不同会导致Q、R落在长方形ABCD的不同边上，故需要分类讨论：
当|PD|=|AD|=8时，|PC|=|PD|2－|DC|2=43，
∴当0≤t≤8－43时，Q、R两点分别在AB、CD上，
对方程①，分别令x=0和x=8，可得Q0,2－t28，R8,2+2t－t28，
这时|QR|=216+t2；
当8－43 对方程①，分别令x=0和y=4，可得Q0,2－t28，R8t+t2,4，
这时|QR|=(8t+t2)2+(2+t28)2；
当4 对方程①，分别令y=0和y=4，可得Q(t2－8t,0)，R(8t+t2,4)，
这时|QR|=4t2+16t，
综上所述：当0≤t≤8－43时，|QR|=216+t2；当8－43 ◆考向5 由参数的变化引起的分类讨论
题目中含有参数的问题（含参型），主要包括：（1）含有参数的不等式的求解；（2）含有参数的方程的求解；（3）对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；（4）二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，讨论时应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当的运用数形结合思想．
例5 已知函数f(x)=ax3－32x2+1(x∈R)，其中a>0.
（1）若a=1，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
（2）若在区间－12,12上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.
思路点拨：本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.
解答：（1）当a=1时，f(x)=x3－32x2+1，f(2)=3；f′(x)=3x2－3x,f′(2)=6．所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y－3=6(x－2)，即6x－y－9=0．
（2）f′(x)=3ax2－3x=3x(ax－1)．令f′(x)=0，解得x=0或x=1a，
以下分两种情况讨论：
①若0
x－12，000，12
f′(x)正0负
f(x)增极大值减
当x∈－12,12时，f(x)>0等价于f(－12)>0,f(12)>0,即5－a8>0,5+a8>0.解得－5 ②若a>2，则0<1a<12．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x－12，000,1a1a1a,12
f′(x)正0负0正
f(x)增极大值减极小值增
当x∈［－12,12］时，f(x)>0等价于f(－12)>0,f(1a)>0,即5－a8>0,1－12a2>0.，解得22 综上所述，a的取值范围为0 总而言之，分类讨论思想的本质是逻辑划分，可以用集合的观点依据同一性、互斥性、层次性正确分类，并依据一定步骤合理地进行分类讨论，分类讨论既是一种思想，又是一种策略，还是一种方法，它广泛应用于中学数学的解题中．
（作者：项冠炜，江苏省苏州第十中学）
从某种意义上讲，分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”，达到运用知识合理解决问题的思想方法．那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则，才能使分类科学、严谨，从而正确、合理地解题，分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则．
同一性、互斥性、层次性是分类讨论的三原则解题中,分类讨论一般分为四步：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准,合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论.
分类讨论的大致原因：（1）由数学概念而引起的分类讨论；（2）由数学运算要求而引起的分类讨论；（3）由定理、公式的限制而引起的分类讨论；（4）由图形的不确定性而引起的分类讨论；（5）由参数的变化而引起的分类讨论．
◆考向1 由概念引起的分类讨论
由概念引发的分类讨论有很多，常见类型有：绝对值：|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况；直线的斜率：倾斜角θ≠90°，斜率k存在，倾斜角θ=90°，斜率k不存在；对数、指数函数：y=loga x与y=ax，可分为a>1、0
思路点拨：由于函数f(x)是由函数y=logm+2g(x)和函数g(x)=mx2+(m+2)x+m+2复合而成的，所以应对底数m+2的取值以及g(x)的最值情况分别进行讨论.
解答：（1）当m+2>1即m>－1时，函数y=log(m+2)x是增函数，因此：
①要使函数f(x)有最大值，需满足
m+2>1,m<0,Δ=(m+2)2－4m(m+2)>0,
解得m>－1,m<0,－2
需满足m+2>1,m＞0,Δ=(m+2)2－4m(m+2)<0,
解得m>－1,m>0,m>23或m<－2,
即m>23；
（2）当0
0
解得－2
因此m无解；
②要使函数f(x)有最小值，需满足
0
解得－2
◆考向2 由运算引起的分类讨论
分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的，比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同除以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根号大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题，差值比较中的差的正负的讨论；有有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．
例2 已知函数f(x)=x+1x,x∈［－2,－1）,－2,x∈［－1,12),x－1x,x∈［12,2］.
（1）求f(x)的值域；
（2）设函数g(x)=ax－2，x∈［－2,2］，若对于任意x1∈［－2,2］，总存在x0，使得g(x0)=f(x1)成立，求实数a的取值范围．
思路点拨：（1）分段求值域，然后求并集；（2）分a>0，a=0和a<0三种情况讨论．
解答：（1）当x∈［－2,-1)时，f(x)=x+1x在［－2,-1)上是增函数，此时f(x)∈－52,－2；
当x∈－1,12时，f(x)=－2；
当x∈12,2时，f(x)=x－1x在12,2上是增函数，此时f(x)∈－32,32．
∴f(x)的值域为－52,－2∪－32,32．
（2）当a=0时，g(x)=－2，对于任意x1∈［－2,2］，f(x1)∈［－52,－2）∪［－32,32］，不存在x0∈［－2,2］，使得g(x0)=f(x1)成立；
当a>0时，g(x)=ax－2在［－2,2］上是增函数，g(x)∈［－2a－2,2a－2］，任给x1∈［－2,2］，f(x1)∈［－52,－2］∪［－32,32］，
若存在x0∈［－2,2］，使得g(x0)=f(x1)成立，则［－52,－2）∪［－32,32］［－2a－2,2a－2］，
∴－2a－2≤－522a－2≥32，∴a≥74；
当a<0时，g(x)=ax－2在［－2,2］上是减函数，g(x)∈［2a－2,－2a－2］，
同理可得－2a－2≥322a－2≤－52，∴a≤－74．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞,－74］∪［74,+∞)．
◆考向3 由定理、公式引起的分类讨论
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．
例3 已知等比数列{an}中，a1=1，Sn是其前n项和，且ak+1，ak+3，ak+2(k∈N)成等差数列．
（1）求数列{an}的公比；
（2）试判断Sk+1，Sk+3，Sk+2(k∈N)是否构成等差数列，并说明理由．
思路点拨：在利用等比数列的前n项和公式时，要注意对公比q是否为１进行分类讨论．
解答：（1）设等比数列{an}的公比为q(q≠0).
依题意得2qk+2=qk+qk+1，由于qk≠0，所以2q2－q－1=0，解得q=1或q=－12．
（2）当q=1时，Sk+1=(k+1)a1=k+1，Sk+3=k+3，Sk+2=k+2，显然Sk+1+Sk+2=k+1+k+2=2k+3≠2Sk+3，故Sk+1，Sk+3，Sk+2不能构成等差数列；
当q=－12时，Sk+1=1－(－12)k+11－(－12)=23［1－(－12)k+1］，
同理可得Sk+2=23［1－(－12)k+2］，Sk+3=23［1－(－12)k+3］，
于是Sk+1+Sk+2=23［1－(－12)k+1］+23［1－(－12)k+2］=23［2－(－12)k+1－(－12)k+2］
=43［1－(－12)k+3］=2Sk+3，所以Sk+1，Sk+3，Sk+2能构成等差数列．
综上所述：当q=1时，Sk+1，Sk+3，Sk+2不能构成等差数列；当q=－12时，Sk+1，Sk+3，Sk+2能构成等差数列．
◆考向4 由图形的变动引起的分类讨论
在解题过程中，有些几何问题的图形位置或形状不能确定，如果解题时进行统一处理，将会遇到较大困难，这时就必须把问题分成几类或几部分来处理，采用分而治之的方法来各个击破．
例4 长方形ABCD中，|AB|=4，|BC|=8，在BC边上取一点P，使|BP|=t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q、R时，用t表示|QR|．
思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q、R的坐标，利用两点间的距离公式建模．
解答：如图，分别以BC、AB所在边为x，y轴建立坐标系，
∵kAP=－4t，∴kQR=t4，又AP的中点的坐标为t2,2，
∴QR所在的直线方程为y－2=t4x－t2……①
由于t的取值范围的不同会导致Q、R落在长方形ABCD的不同边上，故需要分类讨论：
当|PD|=|AD|=8时，|PC|=|PD|2－|DC|2=43，
∴当0≤t≤8－43时，Q、R两点分别在AB、CD上，
对方程①，分别令x=0和x=8，可得Q0,2－t28，R8,2+2t－t28，
这时|QR|=216+t2；
当8－43
这时|QR|=(8t+t2)2+(2+t28)2；
当4
这时|QR|=4t2+16t，
综上所述：当0≤t≤8－43时，|QR|=216+t2；当8－43
题目中含有参数的问题（含参型），主要包括：（1）含有参数的不等式的求解；（2）含有参数的方程的求解；（3）对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；（4）二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，讨论时应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当的运用数形结合思想．
例5 已知函数f(x)=ax3－32x2+1(x∈R)，其中a>0.
（1）若a=1，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
（2）若在区间－12,12上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.
思路点拨：本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.
解答：（1）当a=1时，f(x)=x3－32x2+1，f(2)=3；f′(x)=3x2－3x,f′(2)=6．所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y－3=6(x－2)，即6x－y－9=0．
（2）f′(x)=3ax2－3x=3x(ax－1)．令f′(x)=0，解得x=0或x=1a，
以下分两种情况讨论：
①若0
x－12，000，12
f′(x)正0负
f(x)增极大值减
当x∈－12,12时，f(x)>0等价于f(－12)>0,f(12)>0,即5－a8>0,5+a8>0.解得－5
x－12，000,1a1a1a,12
f′(x)正0负0正
f(x)增极大值减极小值增
当x∈［－12,12］时，f(x)>0等价于f(－12)>0,f(1a)>0,即5－a8>0,1－12a2>0.，解得22
（作者：项冠炜，江苏省苏州第十中学）