初中的概率是建立在等可能性基础上的古典概率,又是统计学中概率的理想结果.由于概率知识涉及到公平性,抛掷结果的偶然性及概率问题的不确定性等因素,较易受错误直觉的误导.虽然教材通过大量重复的实验,先获得频率稳定值,再概括概率定义,让学生经历实验、观察、猜想、验证活动,获得古典概率的计算方法.但学生在处理概率问题的计算时还是容易出错.概率问题为什么颇有争议,笔者结合自己在课堂内外或听课时,碰到对概率问题发生的争议,经历对有争议的概率问题的解决过程,谈些感受.
　　
　　1 机械套用树状图
　　
　　案例1 问题1:同时抛掷两枚相同硬币一次,朝上的一面有多少种可能?
　　这是一次带徒活动中的一个学员在上一堂诊断课临近下课时的一道补充题,课题为浙教版七下第3章《事件的可能性》的第1课时《认识事件的可能性》,教师让学生思考后叫学生回答.
　　师生对话:
　　教师:做好的同学请举手.(学生纷纷举手示意,并争相发言)
　　学生A:3种,分别是:正、正,正、反,反、反.
　　学生B:4种,分别是:正、正,正、反,反、正,反、反.
　　教师:同意学生A 观点的同学请举手(学生举手,数了一下有十几个),同意学生B观点的学生请举手(学生举手,数了接近二十个,还有几个学生两次都没举手).
　　老师:到底是3种还是4种,我们可以借助树状图(教师画树状图,并根据树状图得出4种可能).同意这种观点学生再举一下手(又观察一下,有二十几个,比第一次多了几个,但还是有将近一半的学生没有举手,这时教师叫其中没举手且位置靠后的一名男生发言).
　　学生C:我觉得一正一反和一反一正还是算一种.
　　这时下课的铃声响了,同时又一个男生站了起来.
　　学生D: 如果给两枚硬币做不同的记号,一正一反就有两种情况.
　　学生C:(口气不甘示弱)那还不是一正一反吗(有部分学生发出笑声,并开始骚动)?
　　教师:(有点慌乱)根据树状图应该是4种,由于时间关系,我们讨论到此为止,下课.
　　下课后,发现学生们还在争论……
　　课后,笔者在反思为什么会出现两种不同的意见呢?
　　师生争议的疑点:
　　疑点1:“有多少种可能”与“有多少种等可能结果”意义是否相同?
　　疑点2:设两枚硬币分别为A、B,“A正B反,A反B正”与“一正一反”意义是否相同?
　　疑点3:同时抛两枚硬币能利用树状图分析么?列表呢?
　　疑点4:“两枚硬币同时抛”与“两枚一先一后抛”结果一样么?
　　疑点5:“两枚硬币同时抛”与“一枚硬币先后抛两次”一样么?
　　疑点破解:
　　对疑点1,结论显然不一样.教师给出问题1的答案是4种,他把结果理解为有多少种等可能结果.而学生理解成3种情况.为了避免歧义,笔者认为最好把问题改为有多少种等可能结果.
　　对疑点2,意义也是不同,前者是排列,后者是组合.
　　对疑点3,解决方法不能机械套用树状图.我们可以这样理解,实际生活中的树木生长它是有先后,因此,树状图它适用于事件发生有先后顺序的一类问题,但列表就没有这种限制.通过列表,得知同时抛掷两枚相同硬币一次,朝上的一面有4种等可能结果.
　　对疑点4,结果应该一样.尽管两枚硬币同时抛,实际上不可能绝对同时,总有先后.如果按照这种理解,对疑点5结论一样就显然了,这样树状图也能分析问题1.
　　综上所述,教师在课前预设时应该弄清上述问题,本人认为就本题的答案3种或4种均有道理.在学生理解有困难的情况下,为了避免歧义,教师最好把问题改为有几种等可能结果,并且最好用列表求解,机械套用树状图不妥当.因此,我们编题时一定要注意问题的严谨性与科学性,讲题时既要注意数学法则、定理的适用性,同时更要考虑学生的可接受性.有时,树状图不是“万能”的.
　　
　　2 枚举法容易出错
　　
　　案例2 问题2:口袋中有4个小球,其中2个红球,2个黄球,它们的大小、形状完全一样,从袋中一次摸两个球,求:有几种等可能的结果及摸到两球恰为同色的概率.
　　这是笔者在上浙教版七下第3章《事件的可能性》的第3课时《可能性和概率》时举的其中一个例题.先让学生独立思考,教师在教室里来回巡视,等多数学生完成得差不多时,发现下列五种不同答案,分别叫五个学生上来板演.不妨分别记为: