论文部分内容阅读
数学的审美教育可通过多种方法和途径来实现。其途径之一就是学习美学的基本常识，懂得一定的艺术规律。马克思说：“你想得到艺术的享受，你本身必须是一个有艺术修养的人。”懂得基本的美学知识，掌握数学美的特点，你才能感受美，欣赏美，从而进一步理解美的真正涵义。
审美教育的过程常伴随着主体强烈的情感活动，它能引起人们感情的激荡，造成感情上的共鸣。在数学审美教育中，这就要求有生动性、形象性、感染性。教育者对事业、对学生、对数学要充满真挚热烈的情感。教师对事业、对学生充满热爱之情就会使学生感到亲切，教师对数学拥有强烈的兴趣爱好之情就会使学生对所学的内容倾注自己的感情，产生对数学的爱。
培养数学的审美能力最重要的途径就是投身于数学的创造实践之中。创造是智慧的花朵，它需要勇气和毅力，它需要强烈的对美的追求和浓厚的数学审美意识。数学创造过程需要审美功能的全面发挥，就如从游泳池中学习游泳，从数学的创造实践中培养数学的审美能力是最有力的方法。下面举个例子具体予以剖析。
例：点M与椭圆+=1的左焦点和右焦点的距离之比为2：3，求点M的轨迹方程并画出图形。
解：设M点的坐标为（x,y），按题意得：=，化解整理得(x+13)2+y2=122。其图形如图1所示：
作完图1以后，可以发现如下两个结果：
（1）点M到两焦点的距离之比恰好为椭圆的长半轴和半焦距之差与短半轴之比。详言之，设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，有==。
（2）图1中的圆的圆心恰为长轴的左端点(-a,0)，其半径恰为椭圆的短半轴b,从图1的图形上看，若在椭圆右端再加上一个对称的圆，从而形成图2，这个图案好似望眼镜，美极了。要形成如图2所示的图案，这时，需改成如下的题目：
点M与椭圆+=1两焦点距离之比为2:3，求M的轨迹并画出图形。
由于图2的优美，促使我们把这个特殊的图形推广到一般的椭圆，对于一般的椭圆是否也能得到这种优美的图案呢?这就需要解决下面的问题：
设椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c，动点M(x,y)到两焦点的距离之比为，求点M的轨迹方程。
解：依题意，得
=（1）或者=（2）
由（1）整理得：2(c2-ac)x2+2(c2-ac)y2-2c×2(a2-ac)x+2c2(c2-ac)=0，因为c2-ac≠0，在上式中约去c2-ac，并经整理得：(x+a)2+y2=b2。同理由（2）得：(x-a)2+y2=b2，综上所述，我们得出如下一般结论：
定理1：到椭圆+=1两焦点的距离的比等于(b>a>c，c为半焦距)的动点M的轨迹是以椭圆的长半轴的端点为圆心，短半軸长为半径的两个对称圆：(x±a)2+y2=b2。
双曲线与椭圆都是圆锥曲线，且都有两条轴和两个焦点，那么，双曲线是否也应该有这样美好的结论呢？下面我们就来试探。对于双曲线，由于c>a ,为负值，如果将负变为正，也就是相应的比值取,则有下面的推论：
设双曲线-=1(a,b>0)的半焦距为c，动点M(x,y)到两焦点的距离之比为，则：=（3）或=（4） ，设双曲线的离心率为e=,则对（3）、（4）式进行化简、变形、整理得：(x±ec)2+y2=(eb)2，其轨迹也是两个对称圆，即有如下结果：
定理2：到双曲线-=1两焦点的距离的比等于(a,b>0，c为半焦距，e为离心率)的动点的轨迹是两个对称圆：
(x±ec)2+y2=(eb)2
由于双曲线的实轴在两焦点之间，故到两焦点的距离之比为任何正实数的动点M的轨迹都不会是以实轴端点为圆心的圆。为此我们将焦点和实轴的端点位置对换一下，这就是设=，或=，变形、化简、整理得：(x±c)2+y2=b2。于是我们得到如下定理：
定理3：到双曲线-=1的实轴两端点的距离的比等于(a,b,c>0,c2=a2+b2)的动点M的轨迹，是以双曲线的焦点为圆心,虚半轴长为半径的两个对称圆：(x±c)2+y2=b2。
对于椭圆，类似于上面问题的提法，我们可以得到类似如定理3所得的对称圆。也就是有如下定理。
定理4：到椭圆+=1的长轴两端点的距离的比等于(a>b>0，c为半焦距，e为离心率)的动点M的轨迹为两个对称圆：(x±)2+y2=()2。
正是从对数学对称美和统一美的追求，才发现了上述四个定理的。通过这样一个发现过程我们可以饱尝到数学创造的甘甜。数学美驱使数学家去试验、观察，从而提出猜想，然后再去证明。数学中许多定理、规律都是这样得来的。通过数学教学的再发现过程，可以有效地培养学生的数学审美能力。
（作者单位：重庆市北碚区王朴中学）
审美教育的过程常伴随着主体强烈的情感活动，它能引起人们感情的激荡，造成感情上的共鸣。在数学审美教育中，这就要求有生动性、形象性、感染性。教育者对事业、对学生、对数学要充满真挚热烈的情感。教师对事业、对学生充满热爱之情就会使学生感到亲切，教师对数学拥有强烈的兴趣爱好之情就会使学生对所学的内容倾注自己的感情，产生对数学的爱。
培养数学的审美能力最重要的途径就是投身于数学的创造实践之中。创造是智慧的花朵，它需要勇气和毅力，它需要强烈的对美的追求和浓厚的数学审美意识。数学创造过程需要审美功能的全面发挥，就如从游泳池中学习游泳，从数学的创造实践中培养数学的审美能力是最有力的方法。下面举个例子具体予以剖析。
例：点M与椭圆+=1的左焦点和右焦点的距离之比为2：3，求点M的轨迹方程并画出图形。
解：设M点的坐标为（x,y），按题意得：=，化解整理得(x+13)2+y2=122。其图形如图1所示：
作完图1以后，可以发现如下两个结果：
（1）点M到两焦点的距离之比恰好为椭圆的长半轴和半焦距之差与短半轴之比。详言之，设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，有==。
（2）图1中的圆的圆心恰为长轴的左端点(-a,0)，其半径恰为椭圆的短半轴b,从图1的图形上看，若在椭圆右端再加上一个对称的圆，从而形成图2，这个图案好似望眼镜，美极了。要形成如图2所示的图案，这时，需改成如下的题目：
点M与椭圆+=1两焦点距离之比为2:3，求M的轨迹并画出图形。
由于图2的优美，促使我们把这个特殊的图形推广到一般的椭圆，对于一般的椭圆是否也能得到这种优美的图案呢?这就需要解决下面的问题：
设椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c，动点M(x,y)到两焦点的距离之比为，求点M的轨迹方程。
解：依题意，得
=（1）或者=（2）
由（1）整理得：2(c2-ac)x2+2(c2-ac)y2-2c×2(a2-ac)x+2c2(c2-ac)=0，因为c2-ac≠0，在上式中约去c2-ac，并经整理得：(x+a)2+y2=b2。同理由（2）得：(x-a)2+y2=b2，综上所述，我们得出如下一般结论：
定理1：到椭圆+=1两焦点的距离的比等于(b>a>c，c为半焦距)的动点M的轨迹是以椭圆的长半轴的端点为圆心，短半軸长为半径的两个对称圆：(x±a)2+y2=b2。
双曲线与椭圆都是圆锥曲线，且都有两条轴和两个焦点，那么，双曲线是否也应该有这样美好的结论呢？下面我们就来试探。对于双曲线，由于c>a ,为负值，如果将负变为正，也就是相应的比值取,则有下面的推论：
设双曲线-=1(a,b>0)的半焦距为c，动点M(x,y)到两焦点的距离之比为，则：=（3）或=（4） ，设双曲线的离心率为e=,则对（3）、（4）式进行化简、变形、整理得：(x±ec)2+y2=(eb)2，其轨迹也是两个对称圆，即有如下结果：
定理2：到双曲线-=1两焦点的距离的比等于(a,b>0，c为半焦距，e为离心率)的动点的轨迹是两个对称圆：
(x±ec)2+y2=(eb)2
由于双曲线的实轴在两焦点之间，故到两焦点的距离之比为任何正实数的动点M的轨迹都不会是以实轴端点为圆心的圆。为此我们将焦点和实轴的端点位置对换一下，这就是设=，或=，变形、化简、整理得：(x±c)2+y2=b2。于是我们得到如下定理：
定理3：到双曲线-=1的实轴两端点的距离的比等于(a,b,c>0,c2=a2+b2)的动点M的轨迹，是以双曲线的焦点为圆心,虚半轴长为半径的两个对称圆：(x±c)2+y2=b2。
对于椭圆，类似于上面问题的提法，我们可以得到类似如定理3所得的对称圆。也就是有如下定理。
定理4：到椭圆+=1的长轴两端点的距离的比等于(a>b>0，c为半焦距，e为离心率)的动点M的轨迹为两个对称圆：(x±)2+y2=()2。
正是从对数学对称美和统一美的追求，才发现了上述四个定理的。通过这样一个发现过程我们可以饱尝到数学创造的甘甜。数学美驱使数学家去试验、观察，从而提出猜想，然后再去证明。数学中许多定理、规律都是这样得来的。通过数学教学的再发现过程，可以有效地培养学生的数学审美能力。
（作者单位：重庆市北碚区王朴中学）