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一、神奇的斐波纳契数列
人们为了纪念意大利数学家列奥纳多·斐波纳契对1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233这组特殊数列的发现，将其称为“斐波纳契数列”。这个数列含有下列数字规律：依次从2，3，5开始，每隔两个是2的倍数，每隔3个是3的倍数，每隔4个是5的倍数；除数列最初的四个数字外，相邻两项的比值会无限趋向于黄金比率1.618，如任何一个给定的数都大约等于1.618乘以它前面的数、大约等于0.618乘以它后面的数。也就是说，任何一个数字与其前面的数字比，比值都趋近于1.618，如34/21=1.619；任何一个数字与其后面的数字比，比值都接近0.618，如13/21=0.619；任何一个数字与其后面的第二个数字比，比值都趋近于0.382，如8/21=0.381；任何一个数字与其前面的第二个数字比，比值都趋近于2.618，如21/8=2.625；这些神奇数字的规律激发了人们对斐波纳契数列的研究和实际应用的热情。
二、斐波纳契数列在证券投资分析中的应用
斐波纳契数列在证券投资分析中的应用有较长历史，但对其应用的挖掘尚不够充分。目前常用的有斐波纳契时区线和波浪幅度的计算；至于斐波纳契平行线、放射线、圆弧线的用法尚待开发。
（一）已经开发的应用
关于斐波纳契数列在证券投资分析中的应用，投资者最常见的、接触最多的有两项，其一是在证券分析系统工具栏的画线项中有“斐波纳契数列”项目，它实际上是“斐波纳契数列的竖线应用”，亦称为斐波纳契时区线。
斐波纳契时区线是以斐波纳契数列为间隔所做的—系列横轴的垂直线，如图1。即这些垂直线的间隔是按1、2、3、5、8、13、21、34……等来排列的。这样，投资者可以将时区线的起点线重合在牛市行情的起点上，观察股价与时区线的吻合程度。一般说来，未来的股价会在时区线附近发生显著变化，即时区线可能是股价重要的涨跌区域。如上证指数1999年5月17日的1057点到2001年1月16日的2129点的这段牛市行情，整个上升过程中指数波段性的高低点，基本上都在时区线附近，如低点在1、2、3时区线附近，明显的高点破
位下跌在5、8附近；又如上证指数2004年4月7日的1783点到2005年9月20日的1223点的这段下跌行情，整个下跌过程中的指数波段性的高低点，也基本上都在时区线附近，如时区线1、2、3、5、8附近都是股价明显再次下跌的高点或转折点。上述两例证实了斐波纳契时区线的存在，其意义是可以为投资者提供一种预设的信号。
其二是斐波纳契数列在波浪理论涨跌幅度计算方面的应用。波浪理论中股价涨跌比例的计算是按照斐波纳契数字规律进行的。如度量1、3、5推动浪的升幅，通常用前一浪高点的0.618、1、1.618计算，如第三浪的最小涨幅应该是第一浪的1.618倍等；度量调整浪的跌幅，通常用前一浪低点的0.382、0.5、0.618、1计算，如调整浪中，C浪的调整幅度通常是A浪的0.618倍等。这样，投资者通过运用斐波纳契数列就能大体上确定一个完整的八浪循环的高低点。
（二）尚待开发的应用
1、斐波纳契数列的横线用法
斐波纳契数列的横线用法又称为平行线用法。其具体画法是：投资者首先选择一段行情的谷底和高峰；其次是经过谷底和高峰做一条连线；再次是将这条连线的高点（股价高峰）看成1，并按照斐波纳契数列画出多条与该连线相交的水平线，如于0.236、0.382、0.50、0.618、1.00等处做平行线，具体画线多寡可视需要而定。这样，斐波纳契平行线就做成了，如图2。
通过对斐波纳契平行线的观察，可以发现股价经过一个波段的上涨之后，一般来说
会有较大幅度的回落（回调或回荡），这种回落、反弹、再回落的变化多与斐波纳契平行线有关，当股价回落或反弹时极有可能在斐波纳契平行线附近获得支撑和遇到阻力。
2、斐波纳契数列的斜线用法
斐波纳契数列斜线实际上是一束放射线，其具体画法是：投资者首先选择一段行情的的谷底和高峰；其次是经过谷底和高峰做一条连线；再次是经过连线上股价的谷底处画一条横轴的平行线，同时经过连线上股价的高峰处画一条垂直于横轴的“看不见的”垂线，这样，上述三条线构成一个直角三角形；最后，按照斐波纳契数列从谷底（直角三角形的一个顶点）为起点做3条经过无形垂直线的射线，这3条射线可分别选在0.382、0.50和0.618处，这样，斐波纳契放射线就做成了，如图3。
图3斐波纳契放射线
实践证明，当股价碰到最上面的放射线时即遇到阻力，可能在未来的数天内受制于该线。但当股价有效向上突破该线时，该线又成为股价回落时的主要支撑线。
3、斐波纳契数列的弧线用法
斐波纳契弧线也是待开发利用一种工具。其具体画法是：投资者首先选择一段行情的谷底和高峰；其次是经过谷底和高峰做一条连线；再次是以连线上股价的高峰处为圆心，以斐波纳契数列为依据画三个同心圆的圆弧线，三个圆之间的距离可以分别选在0.382、0.50和0.618处，这样，斐波纳契弧线就做成了，如图4。
对斐波纳契弧线的解释是：当股价接近这些弧线时会有预期的支撑和阻力。在实用中注意这些弧线与股价交叉点的位置关系，以确定是支撑还是阻力以及其力度的大小。投资者可将其作为一种预警信号使用。
综上所述，斐波纳契数列在证券投资分析中的应用前景看好，利用斐波纳契数列所进行的画线，不论是横线、竖线、斜线、还是圆弧线，都能明显地感觉到它对股票价格支撑和阻力作用的神奇存在，因此它给出了股价未来运行的可能趋势，为投资者提供了一种有益的工具。
（作者单位:山东科技大学经管系）
人们为了纪念意大利数学家列奥纳多·斐波纳契对1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233这组特殊数列的发现，将其称为“斐波纳契数列”。这个数列含有下列数字规律：依次从2，3，5开始，每隔两个是2的倍数，每隔3个是3的倍数，每隔4个是5的倍数；除数列最初的四个数字外，相邻两项的比值会无限趋向于黄金比率1.618，如任何一个给定的数都大约等于1.618乘以它前面的数、大约等于0.618乘以它后面的数。也就是说，任何一个数字与其前面的数字比，比值都趋近于1.618，如34/21=1.619；任何一个数字与其后面的数字比，比值都接近0.618，如13/21=0.619；任何一个数字与其后面的第二个数字比，比值都趋近于0.382，如8/21=0.381；任何一个数字与其前面的第二个数字比，比值都趋近于2.618，如21/8=2.625；这些神奇数字的规律激发了人们对斐波纳契数列的研究和实际应用的热情。
二、斐波纳契数列在证券投资分析中的应用
斐波纳契数列在证券投资分析中的应用有较长历史，但对其应用的挖掘尚不够充分。目前常用的有斐波纳契时区线和波浪幅度的计算；至于斐波纳契平行线、放射线、圆弧线的用法尚待开发。
（一）已经开发的应用
关于斐波纳契数列在证券投资分析中的应用，投资者最常见的、接触最多的有两项，其一是在证券分析系统工具栏的画线项中有“斐波纳契数列”项目，它实际上是“斐波纳契数列的竖线应用”，亦称为斐波纳契时区线。
斐波纳契时区线是以斐波纳契数列为间隔所做的—系列横轴的垂直线，如图1。即这些垂直线的间隔是按1、2、3、5、8、13、21、34……等来排列的。这样，投资者可以将时区线的起点线重合在牛市行情的起点上，观察股价与时区线的吻合程度。一般说来，未来的股价会在时区线附近发生显著变化，即时区线可能是股价重要的涨跌区域。如上证指数1999年5月17日的1057点到2001年1月16日的2129点的这段牛市行情，整个上升过程中指数波段性的高低点，基本上都在时区线附近，如低点在1、2、3时区线附近，明显的高点破
位下跌在5、8附近；又如上证指数2004年4月7日的1783点到2005年9月20日的1223点的这段下跌行情，整个下跌过程中的指数波段性的高低点，也基本上都在时区线附近，如时区线1、2、3、5、8附近都是股价明显再次下跌的高点或转折点。上述两例证实了斐波纳契时区线的存在，其意义是可以为投资者提供一种预设的信号。
其二是斐波纳契数列在波浪理论涨跌幅度计算方面的应用。波浪理论中股价涨跌比例的计算是按照斐波纳契数字规律进行的。如度量1、3、5推动浪的升幅，通常用前一浪高点的0.618、1、1.618计算，如第三浪的最小涨幅应该是第一浪的1.618倍等；度量调整浪的跌幅，通常用前一浪低点的0.382、0.5、0.618、1计算，如调整浪中，C浪的调整幅度通常是A浪的0.618倍等。这样，投资者通过运用斐波纳契数列就能大体上确定一个完整的八浪循环的高低点。
（二）尚待开发的应用
1、斐波纳契数列的横线用法
斐波纳契数列的横线用法又称为平行线用法。其具体画法是：投资者首先选择一段行情的谷底和高峰；其次是经过谷底和高峰做一条连线；再次是将这条连线的高点（股价高峰）看成1，并按照斐波纳契数列画出多条与该连线相交的水平线，如于0.236、0.382、0.50、0.618、1.00等处做平行线，具体画线多寡可视需要而定。这样，斐波纳契平行线就做成了，如图2。
通过对斐波纳契平行线的观察，可以发现股价经过一个波段的上涨之后，一般来说
会有较大幅度的回落（回调或回荡），这种回落、反弹、再回落的变化多与斐波纳契平行线有关，当股价回落或反弹时极有可能在斐波纳契平行线附近获得支撑和遇到阻力。
2、斐波纳契数列的斜线用法
斐波纳契数列斜线实际上是一束放射线，其具体画法是：投资者首先选择一段行情的的谷底和高峰；其次是经过谷底和高峰做一条连线；再次是经过连线上股价的谷底处画一条横轴的平行线，同时经过连线上股价的高峰处画一条垂直于横轴的“看不见的”垂线，这样，上述三条线构成一个直角三角形；最后，按照斐波纳契数列从谷底（直角三角形的一个顶点）为起点做3条经过无形垂直线的射线，这3条射线可分别选在0.382、0.50和0.618处，这样，斐波纳契放射线就做成了，如图3。
图3斐波纳契放射线
实践证明，当股价碰到最上面的放射线时即遇到阻力，可能在未来的数天内受制于该线。但当股价有效向上突破该线时，该线又成为股价回落时的主要支撑线。
3、斐波纳契数列的弧线用法
斐波纳契弧线也是待开发利用一种工具。其具体画法是：投资者首先选择一段行情的谷底和高峰；其次是经过谷底和高峰做一条连线；再次是以连线上股价的高峰处为圆心，以斐波纳契数列为依据画三个同心圆的圆弧线，三个圆之间的距离可以分别选在0.382、0.50和0.618处，这样，斐波纳契弧线就做成了，如图4。
对斐波纳契弧线的解释是：当股价接近这些弧线时会有预期的支撑和阻力。在实用中注意这些弧线与股价交叉点的位置关系，以确定是支撑还是阻力以及其力度的大小。投资者可将其作为一种预警信号使用。
综上所述，斐波纳契数列在证券投资分析中的应用前景看好，利用斐波纳契数列所进行的画线，不论是横线、竖线、斜线、还是圆弧线，都能明显地感觉到它对股票价格支撑和阻力作用的神奇存在，因此它给出了股价未来运行的可能趋势，为投资者提供了一种有益的工具。
（作者单位:山东科技大学经管系）