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学习复数代数形式的四则运算时，重点理解四则运算法则、运算律以及复数加减法的几何意义. 下面就我们学习中的常见问题加以分析.
1. 理解复数的加减运算
掌握好两个知识点：运算法则和运算律.
例1 已知[Z1=-3-4i,Z2=5+2i,]复数[Z]满足[Z-Z1=Z2].求[Z].
解析 [∵][Z-Z1=Z2]，
[∴][Z=Z1+Z2=-3-4i+5+2i=2-2i].
点拨 （1）复数加法与减法是互为逆运算的. （2）复数加法满足结合律、交换律，其运算类似实数的加减. （3）把i看成字母，可类比多项式中的合并同类项. （4）可以推广到若干个复数进行连续加减.
2．复数代数形式加减运算的几何意义
理解掌握:(1)复数[Z]与复平面内的以原点为起点的向量[OZ]一一对应，复数的加减等价转化为向量加减.（2）若复平面内的任意两点[Z1、Z2]所对应的复数分别是[z1、z2],则[z1-z2=z1z2]表示[Z1、Z2]两点间距离.（3）复数加减的几何意义在于：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中;二是对于一些复数的运算也可以给予几何解释.
例2 已知平行四边形[OABC]，顶点[O、A、C]分别表示[0,3＋2i, -2＋4i]，试求：
（1）[AO]所表示的复数， [BC]所表示的复数；
（2）对角线[CA]所表示的复数；
（3）对角线[OB]所表示的复数及[OB]的长度．
解析 如图所示，
（1）∵[AO]＝－[OA]，
∴[AO]所表示的复数为－3－2i.
∵[BC]＝[AO]，
∴[BC]所表示的复数为－3－2i.
（2）∵[CA]＝[OA]－[OC]，
∴[CA]所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
（3）对角线[OB]＝[OA]＋[AB]＝[OA]＋[OC]＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
[|OB|=12+62=37].
点拨 （1）画出图形，作出相应的向量借用向量加减法求复数；（2）要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点，或者利用相等向量．
3. 复数代数形式的乘除法运算
例3 计算：[(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i.]
解析 [(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i=5-3i+2+4i3+4i]
[=7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)]
[=21-28i+3i+425][=25-25i25=1-i.]
点拨 复数乘法与多项式乘多项式类似,注意[i2=-1]. 注意复数集内的一些不成立的结论，如：（1）[z∈R]时，[z2=z2].当[z∈C]时,[z2∈R],而[z2∈C, ∴z2≠z2]; (2)当[z1、z2∈R]时,[z12+z22=][0⇔z1=0]且[z2=0];当[z1、z2∈C]时，[z12+z22=0]不能推出[z1=0]且[z2=0],但[z1=0]且[z2=0]能推出[z12+z22=0]！
例4 设[z]是复数[z]的共轭复数，若[z+z=4,][zz=8,]求[zz]的值.
解析 设[z=2+bi(b∈R),]
[∵z+z=4]，又[zz=z2=8]，
[∴4+b2=8,∴b2=4]，[∴b=±2.]
[∴z=2±2i,z=2∓2i,∴zz=±i.]
点拨 （1）理解运用共轭复数的性质：a.在复平面内，共轭复数所对应的点关于实轴对称；b.若[z1]、[z2]是共轭复数，则[z1z2]是一个实数且有[z1⋅z2=z12=z22]；c.实数的共轭复数是它本身，即[z=z⇔z∈R].利用这个性质，可证明一个复数是实数.（2）要注意复数问题实数化和方程思想的应用.
4. 虚数单位[i]的性质
例5 求[1+2i+3i2+…+2012i2011]的值.
解 设[s=1+2i+3i2+…+2012i2011].
则[si=i+2i2+3i3+⋯+2012i2012].
错位相减整理得，
[s=-20121-i=-2012(1+i)2=-1006-1006i.]
点拨 对[in(n∈N*)]来说有如下性质：[i4n=1],[i4n+1=1],[i4n+2=-1],[i4n+3=-1],在此基础上有[i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0].
5. 几个特殊结论
例6 [i]是虚数单位，[(1+i1-i)4]等于（ ）
A. [i] B. –[i] C. 1 D. -1
解析 [(1+i1-i)4=(1+i)224=i4=1]，故选C.
点拨 （1）此题先化简内部，再利用特殊结论，可以快捷解题. (2)建议记住几个特殊结论：[(1±i)2=±2i]，[1+i1-i=i]，[1-i1+i=-i]；若[ω=-12+32i]，则[ω=-12-32i]，[ω3n+2=ω,ω3n=1,ω3n+1=ω,1+ω+ω2=0(n∈N*)]（[ω=-12+32i]是[x2+x+1=0]的一个根）.
1. [i]为虚数单位，[1i+1i3+1i5+1i7=]（ ）
A．0 B．[-i]
C．[1+i] D．[1-i]
2. [i]为虚数单位，若复数[z=1+i]，则[(1+z)z=]（ ）
A．[1+3i] B．[3+3i]
C．[3-i] D．3
3. 若复数[z=1-2i]（[i]为虚数单位），则[z⋅z+z=] .
4. 已知复数[z1]满足[(z1-2)(1+i)=1-i]（[i]为虚数单位），复数[z2]的虚部为２，且[z1⋅z2]是实数，求[z2].
5．已知[z=-12+32i]，求[z⋅z3+3z2+3z+9]的值.
1. A
2. A
3. [6-2i]
4. [4+2i]
5. [112+32i]
1. 理解复数的加减运算
掌握好两个知识点：运算法则和运算律.
例1 已知[Z1=-3-4i,Z2=5+2i,]复数[Z]满足[Z-Z1=Z2].求[Z].
解析 [∵][Z-Z1=Z2]，
[∴][Z=Z1+Z2=-3-4i+5+2i=2-2i].
点拨 （1）复数加法与减法是互为逆运算的. （2）复数加法满足结合律、交换律，其运算类似实数的加减. （3）把i看成字母，可类比多项式中的合并同类项. （4）可以推广到若干个复数进行连续加减.
2．复数代数形式加减运算的几何意义
理解掌握:(1)复数[Z]与复平面内的以原点为起点的向量[OZ]一一对应，复数的加减等价转化为向量加减.（2）若复平面内的任意两点[Z1、Z2]所对应的复数分别是[z1、z2],则[z1-z2=z1z2]表示[Z1、Z2]两点间距离.（3）复数加减的几何意义在于：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中;二是对于一些复数的运算也可以给予几何解释.
例2 已知平行四边形[OABC]，顶点[O、A、C]分别表示[0,3＋2i, -2＋4i]，试求：
（1）[AO]所表示的复数， [BC]所表示的复数；
（2）对角线[CA]所表示的复数；
（3）对角线[OB]所表示的复数及[OB]的长度．
解析 如图所示，
（1）∵[AO]＝－[OA]，
∴[AO]所表示的复数为－3－2i.
∵[BC]＝[AO]，
∴[BC]所表示的复数为－3－2i.
（2）∵[CA]＝[OA]－[OC]，
∴[CA]所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
（3）对角线[OB]＝[OA]＋[AB]＝[OA]＋[OC]＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
[|OB|=12+62=37].
点拨 （1）画出图形，作出相应的向量借用向量加减法求复数；（2）要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点，或者利用相等向量．
3. 复数代数形式的乘除法运算
例3 计算：[(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i.]
解析 [(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i=5-3i+2+4i3+4i]
[=7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)]
[=21-28i+3i+425][=25-25i25=1-i.]
点拨 复数乘法与多项式乘多项式类似,注意[i2=-1]. 注意复数集内的一些不成立的结论，如：（1）[z∈R]时，[z2=z2].当[z∈C]时,[z2∈R],而[z2∈C, ∴z2≠z2]; (2)当[z1、z2∈R]时,[z12+z22=][0⇔z1=0]且[z2=0];当[z1、z2∈C]时，[z12+z22=0]不能推出[z1=0]且[z2=0],但[z1=0]且[z2=0]能推出[z12+z22=0]！
例4 设[z]是复数[z]的共轭复数，若[z+z=4,][zz=8,]求[zz]的值.
解析 设[z=2+bi(b∈R),]
[∵z+z=4]，又[zz=z2=8]，
[∴4+b2=8,∴b2=4]，[∴b=±2.]
[∴z=2±2i,z=2∓2i,∴zz=±i.]
点拨 （1）理解运用共轭复数的性质：a.在复平面内，共轭复数所对应的点关于实轴对称；b.若[z1]、[z2]是共轭复数，则[z1z2]是一个实数且有[z1⋅z2=z12=z22]；c.实数的共轭复数是它本身，即[z=z⇔z∈R].利用这个性质，可证明一个复数是实数.（2）要注意复数问题实数化和方程思想的应用.
4. 虚数单位[i]的性质
例5 求[1+2i+3i2+…+2012i2011]的值.
解 设[s=1+2i+3i2+…+2012i2011].
则[si=i+2i2+3i3+⋯+2012i2012].
错位相减整理得，
[s=-20121-i=-2012(1+i)2=-1006-1006i.]
点拨 对[in(n∈N*)]来说有如下性质：[i4n=1],[i4n+1=1],[i4n+2=-1],[i4n+3=-1],在此基础上有[i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0].
5. 几个特殊结论
例6 [i]是虚数单位，[(1+i1-i)4]等于（ ）
A. [i] B. –[i] C. 1 D. -1
解析 [(1+i1-i)4=(1+i)224=i4=1]，故选C.
点拨 （1）此题先化简内部，再利用特殊结论，可以快捷解题. (2)建议记住几个特殊结论：[(1±i)2=±2i]，[1+i1-i=i]，[1-i1+i=-i]；若[ω=-12+32i]，则[ω=-12-32i]，[ω3n+2=ω,ω3n=1,ω3n+1=ω,1+ω+ω2=0(n∈N*)]（[ω=-12+32i]是[x2+x+1=0]的一个根）.
1. [i]为虚数单位，[1i+1i3+1i5+1i7=]（ ）
A．0 B．[-i]
C．[1+i] D．[1-i]
2. [i]为虚数单位，若复数[z=1+i]，则[(1+z)z=]（ ）
A．[1+3i] B．[3+3i]
C．[3-i] D．3
3. 若复数[z=1-2i]（[i]为虚数单位），则[z⋅z+z=] .
4. 已知复数[z1]满足[(z1-2)(1+i)=1-i]（[i]为虚数单位），复数[z2]的虚部为２，且[z1⋅z2]是实数，求[z2].
5．已知[z=-12+32i]，求[z⋅z3+3z2+3z+9]的值.
1. A
2. A
3. [6-2i]
4. [4+2i]
5. [112+32i]