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几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关. 在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.
考点1 与长度有关的几何概型
例1 在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 .
解析 记事件[A]为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”， 如图.
不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦. 当弦为CD时，就是等边三角形的边长.
弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，
而OF=OC·sin30°=[12]，
由几何概型公式得，[P（A）=12×22=12].
答案 [12]
点拨 （1）与线段长度有关的几何概型：利用几何概型公式求解，直接利用两线段的长度之比即可.（2）与曲线长度有关的几何概型：利用几何概型公式，求曲线的长度之比即可.（3）与时间有关的几何概型：利用几何概型公式，求时间段之比即可.（4）与不等式有关的几何概型：利用几何概型公式，求两实数间的距离之比即可.
考点2 与角度有关的几何概型
例2 如图所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高[AD=3]，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率.
解析 因为∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.
在Rt△ABD中，[AD=3]，∠B=60°，
所以[BD=ABtan60°=1]，∠BAD=30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，
则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.
由几何概型的概率公式，得[P（N）=30°75°=25].
点拨 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.
考点3 与面积有关的几何概型
例3 已知不等式组[x-y≥0，x+y≥0，x≤a（a>0）]表示平面区域[M]，若点[P（x，y）]在所给的平面区域[M]内，则点[P]落在[M]的内切圆内的概率为（ ）
A. [2-14π] B.[（3-22）π]
C.[（22-2）π] D. [2-12π]
解析 由题意知，平面区域[M]为一个三角形，且其面积为[S=a2].
设[M]的内切圆的半径为[r]，则[12（2a+2a）r=a2]，
解得[r=（2-1）a].
所以内切圆的面积S内切圆=πr2=π[（[2]-1）·a]2=（3-2）πa2.
故所求概率[P=S内切圆S=（3-22）π.]
答案 B
点拨 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清该事件对应的面积. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
考点4 与体积有关的几何概型
例4 在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S-APC的体积大于[V3]的概率是 .
解析 如图，三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.
作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，
则PM，BN分别为△APC与△ABC的高.
所以[VS-APCVS-ABC=S△APCS△ABC=PMBN].
又[PMBN=APAB]，所以[APAB>13]时，满足条件.
设[ADAB=13]，则P在BD上，所求的概率[P=BDBA=23].
答案 [23]
点拨 与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式. 因此，我们可以总结如下：一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系. 在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量的区域.
考点5 生活中的几何概型问题
例5 （1）假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，则其等车时间不超过3分钟的概率为 .
（2）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它們在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
解析 （1）要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是图中[A]包含的时间点.
[3分钟][10分钟]
故所求概率[P=A的长度S的长度=310=0.3.]
（2）设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，
则[0≤x≤24]， [0≤y≤24].
要满足[A]，则[y-x≥1]或[x-y≥2].
[∴A={（x，y）|y-x≥1]或[x-y≥2]，[y∈[0，24]}].
[A]为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.
所求概率为[P（A）=A的面积Ω的面积]
[=（24-1）2×12+（24-2）2×12242=506.5576≈0.88.]
点拨 生活中的几何概型度量区域的构造方法：
（1）审题：通过阅读题目，提炼相关信息.
（2）建模：利用相关信息的特征，建立概率模型.
（3）解模：求解建立的数学模型.
（4）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.
考点1 与长度有关的几何概型
例1 在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 .
解析 记事件[A]为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”， 如图.
不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦. 当弦为CD时，就是等边三角形的边长.
弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，
而OF=OC·sin30°=[12]，
由几何概型公式得，[P（A）=12×22=12].
答案 [12]
点拨 （1）与线段长度有关的几何概型：利用几何概型公式求解，直接利用两线段的长度之比即可.（2）与曲线长度有关的几何概型：利用几何概型公式，求曲线的长度之比即可.（3）与时间有关的几何概型：利用几何概型公式，求时间段之比即可.（4）与不等式有关的几何概型：利用几何概型公式，求两实数间的距离之比即可.
考点2 与角度有关的几何概型
例2 如图所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高[AD=3]，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率.
解析 因为∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.
在Rt△ABD中，[AD=3]，∠B=60°，
所以[BD=ABtan60°=1]，∠BAD=30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，
则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.
由几何概型的概率公式，得[P（N）=30°75°=25].
点拨 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.
考点3 与面积有关的几何概型
例3 已知不等式组[x-y≥0，x+y≥0，x≤a（a>0）]表示平面区域[M]，若点[P（x，y）]在所给的平面区域[M]内，则点[P]落在[M]的内切圆内的概率为（ ）
A. [2-14π] B.[（3-22）π]
C.[（22-2）π] D. [2-12π]
解析 由题意知，平面区域[M]为一个三角形，且其面积为[S=a2].
设[M]的内切圆的半径为[r]，则[12（2a+2a）r=a2]，
解得[r=（2-1）a].
所以内切圆的面积S内切圆=πr2=π[（[2]-1）·a]2=（3-2）πa2.
故所求概率[P=S内切圆S=（3-22）π.]
答案 B
点拨 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清该事件对应的面积. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
考点4 与体积有关的几何概型
例4 在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S-APC的体积大于[V3]的概率是 .
解析 如图，三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.
作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，
则PM，BN分别为△APC与△ABC的高.
所以[VS-APCVS-ABC=S△APCS△ABC=PMBN].
又[PMBN=APAB]，所以[APAB>13]时，满足条件.
设[ADAB=13]，则P在BD上，所求的概率[P=BDBA=23].
答案 [23]
点拨 与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式. 因此，我们可以总结如下：一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系. 在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量的区域.
考点5 生活中的几何概型问题
例5 （1）假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，则其等车时间不超过3分钟的概率为 .
（2）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它們在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
解析 （1）要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是图中[A]包含的时间点.
[3分钟][10分钟]
故所求概率[P=A的长度S的长度=310=0.3.]
（2）设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，
则[0≤x≤24]， [0≤y≤24].
要满足[A]，则[y-x≥1]或[x-y≥2].
[∴A={（x，y）|y-x≥1]或[x-y≥2]，[y∈[0，24]}].
[A]为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.
所求概率为[P（A）=A的面积Ω的面积]
[=（24-1）2×12+（24-2）2×12242=506.5576≈0.88.]
点拨 生活中的几何概型度量区域的构造方法：
（1）审题：通过阅读题目，提炼相关信息.
（2）建模：利用相关信息的特征，建立概率模型.
（3）解模：求解建立的数学模型.
（4）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.