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学生要对数学知识全面理解与把握，就需要通过亲身经历来实现，并且还伴随着一系列的分析、综合的方法，努力经过体验、探究、验证的过程，充分理解数学知识“是什么”“与什么有关联”“有什么用、怎样用”，也就是从最初的模糊朦胧、未分化的理解逐渐过渡到明确清晰、分化的理解。这样的数学学习才是最有效的学习，这也就是我校数学课题组进行“小学数学各学段教学有效衔接的研究”课题研究的目的所在。只有全面把握数学知识的来龙去脉，才能有效促进学生对数学知识的全面理解。
一、把握数学知识生成点，内化数学理解
数学知识具有抽象性和连续性。学生在学习和理解数学知识时，是先认识数学对象的外部特征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态体验、探究的过程中，抽取并全面理解数学知识的本质特征及规律，从而达到掌握并应用新知的最终目标。因而，教师在教授新知时应充分引领学生认知新旧知识间的内在联系与区别，把握好数学知识的生成点，即“是什么”和“为什么”，从而内化为学生对数学知识本质性的理解。
例如，“异分母分数加、减法”的教学。当教师通过对同分母分数加减法的计算方法复习之后，进一步引导学生探究：①“■+■”为何不能直接相加减？②如何转化为已学的知识解决？③我们可以有哪些方法解决这个问题？讨论后，得到以下几种解决方法：①化小数计算；②画图推导计算；③通分计算。再让学生进行比较，认识其共同点：都是把新知转化为已学过的知识和方法加以解决。同时，教师引导学生通过讨论比较得到最优方法——通分计算。让学生寻找“同分母分数加减法”和“异分母分数加减法”的本质联系——只有分数单位相同才能直接相加减。
对于“为什么只有分数单位相同才能直接相加减”这一结论，此时学生还无法真正理解其本质属性，教师与学生需要作进一步深入探究。此时，教师可将“整数、小数、分数”加减法的计算法则通过课件予以展示，让学生通过比较内化：整数加减法是相同数位对齐；小数加减法是小数点对齐；分数加减法是分母相同才能直接相加减。这三者实际上都体现了加、减法运算法则的本质特征：只有相同计数单位才能相加减。学生只有明白了数学知识的生成点在哪儿，才能真正内化为自己对数学的深刻理解。
二、找准数学知识发展点，优化数学理解
数学学习的根本在于理解。《义务教育数学课程标准（2011）》提出了“通过数学学习，学生能运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题，分析和解决问题的能力”的总目标。学生只有理解一个熟悉的问题是怎样被提出来的，一个数学概念是怎样形成的，一个数学公式或法则是怎样获得和应用的，才能让已经存在于学生头脑中的那些不成熟的数学知识和数学体验上升并发展到全新的科学结论，从而找准数学知识的衔接点与发展点——数学模型的建立，让学生进一步优化对数学知识本质属性的丰富理解。
例如，人教版四上“常见的数量关系”中“单价、数量、总价”一课。教材以“你知道单价、数量与总价之间的关系吗？”为问题，引导学生结合自己的生活经验，自主探索、总结出数量关系——单价×数量=总价。其实学生从二年级就开始学习了乘法和除法，为了体会数学知识具有延续性和发展性，教师还可以引导学生联系起来想一想：为什么“单价×数量=总价”要用乘法？而“总价÷单价=数量”“总价÷数量=单价”又是用除法呢？先分析一下：单价是单一数量下的价格，相当于每份是多少；数量相当于几份；总价就是求“几个几是多少”。
而后，引导学生回顾二年级下册教材中“一乘二除”的图示（图1），写出相应的算式。
思考：每道题写出的算式中，哪个数相当于“单价”？哪个数相当于“数量”？哪个数又相当于“总价”？从而让学生理解“单价、数量和总价”之间的关系，就是乘除法之间的关系的一种具体表现，即将众多的“一乘二除”问题归之于乘法，这就生动诠释了“乘法是一个筐，许多东西都可以往里面装”的形象。为学生的后续学习“路程、速度、时间”与“乘除法意义和各部分间的关系”奠定了良好的基础，为数学知识的进一步发展构建了“关系”模型，让学生对数学知识的理解达到最优化。
三、注重数学知识延伸点，深化数学理解
我们知道，小学数学知识是依据儿童年龄特征发展和不同阶段的认知结构水平，以螺旋上升的方式呈现出来的。不论是相同模块的同一知识，或是不同模块的不同知识，它们之间都存在着或多或少的关联。这种关联的产生，是因为每个数学知识点都有着其本身的内涵和外延，因而在数学教学中，只有找准知识间的内在联系，注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每节课的知识点都置于整体知识的体系中，处理好单一知识与整体知识的关系，引导学生感受知识的整体性，体会对于单一数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解，才能夯实学生的“四基”，增强学生的“四能”。
例如，人教版“观察物体”的教学。人教版教材将“图形与几何”模块中的“观察物体”内容，分三个阶段在不同年级进行教学。首先是二年级上册第五单元“观察物体（一）”。该单元的设计内容和目标是建立在二年级学生认知能力还很薄弱、空间想象力还不够完善，因而以“知道从不同位置观察到的物体形状可能是不同的，能辨认从不同位置看到的简单物体的形状，能辨认从不同位置看到的简单几何形体的形状”为教学目标，逐步让学生感受物体局部与整体的关系，初步形成全面看待事物的意识，为第二阶段学习“观察物体”提供了智力支持和学习延伸点，即位置不同，观察到的物体轮廓就可能不同。
其次是四下第二单元“观察物体（二）”。该单元知识是建立在二年级学习的基础上。这一阶段，学生的空间想象力得到有效提升，空间方向感有了明显增强，空间推理能力有了一定基础，因而以“能辨认从不同位置观察一个用正方体搭成的几何组合体的形状，并认识到从同一位置观察不同物体，看到的形状可能相同也可能不同”为教学目标，逐步培养学生从单一物体观察到多样物体组合观察的空间想象力和推理能力。此时学生对所观察的物体表象特征有了更明确的判断推理能力，经历了由二维图形延伸到三维图形的过程，为五年级“反推”能力的培养奠定了扎实的基础。
最后是五年级下册第一单元“观察物体（三）”。本单元内容是在前面学习了从不同角度观察实物与单个实体图形，以及几何组合体的基础上进行教学的，主要是让学生“根据给出的从一个方向或三个方向看到的形状图，用给定数量或是不确定数量的小正方体摆出相应的几何组合体，体会不同摆法和有些摆法的确定性”。这是前面两个阶段学习的延伸与提升，学生在不断经历观察、操作、想象、猜测、分析和推理的过程中，逐步积累数学活动经验，为第三学段的全立体、全方位学习三维空间图形奠定了良好的基础。
数学理解是多维度的、复杂的。学生对数学知识的理解并不是一蹴而就的事情，需要教师整体把握教材，找准各学段相关知识的有效衔接点，并给学生提供有效的学习资源和素材，给学生充足的时间和空间进行探究活动，积累丰富的数学学习经验，全面提升学生的数学核心素养。
（作者单位：福建省福州市西园中心小学）
一、把握数学知识生成点，内化数学理解
数学知识具有抽象性和连续性。学生在学习和理解数学知识时，是先认识数学对象的外部特征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态体验、探究的过程中，抽取并全面理解数学知识的本质特征及规律，从而达到掌握并应用新知的最终目标。因而，教师在教授新知时应充分引领学生认知新旧知识间的内在联系与区别，把握好数学知识的生成点，即“是什么”和“为什么”，从而内化为学生对数学知识本质性的理解。
例如，“异分母分数加、减法”的教学。当教师通过对同分母分数加减法的计算方法复习之后，进一步引导学生探究：①“■+■”为何不能直接相加减？②如何转化为已学的知识解决？③我们可以有哪些方法解决这个问题？讨论后，得到以下几种解决方法：①化小数计算；②画图推导计算；③通分计算。再让学生进行比较，认识其共同点：都是把新知转化为已学过的知识和方法加以解决。同时，教师引导学生通过讨论比较得到最优方法——通分计算。让学生寻找“同分母分数加减法”和“异分母分数加减法”的本质联系——只有分数单位相同才能直接相加减。
对于“为什么只有分数单位相同才能直接相加减”这一结论，此时学生还无法真正理解其本质属性，教师与学生需要作进一步深入探究。此时，教师可将“整数、小数、分数”加减法的计算法则通过课件予以展示，让学生通过比较内化：整数加减法是相同数位对齐；小数加减法是小数点对齐；分数加减法是分母相同才能直接相加减。这三者实际上都体现了加、减法运算法则的本质特征：只有相同计数单位才能相加减。学生只有明白了数学知识的生成点在哪儿，才能真正内化为自己对数学的深刻理解。
二、找准数学知识发展点，优化数学理解
数学学习的根本在于理解。《义务教育数学课程标准（2011）》提出了“通过数学学习，学生能运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题，分析和解决问题的能力”的总目标。学生只有理解一个熟悉的问题是怎样被提出来的，一个数学概念是怎样形成的，一个数学公式或法则是怎样获得和应用的，才能让已经存在于学生头脑中的那些不成熟的数学知识和数学体验上升并发展到全新的科学结论，从而找准数学知识的衔接点与发展点——数学模型的建立，让学生进一步优化对数学知识本质属性的丰富理解。
例如，人教版四上“常见的数量关系”中“单价、数量、总价”一课。教材以“你知道单价、数量与总价之间的关系吗？”为问题，引导学生结合自己的生活经验，自主探索、总结出数量关系——单价×数量=总价。其实学生从二年级就开始学习了乘法和除法，为了体会数学知识具有延续性和发展性，教师还可以引导学生联系起来想一想：为什么“单价×数量=总价”要用乘法？而“总价÷单价=数量”“总价÷数量=单价”又是用除法呢？先分析一下：单价是单一数量下的价格，相当于每份是多少；数量相当于几份；总价就是求“几个几是多少”。
而后，引导学生回顾二年级下册教材中“一乘二除”的图示（图1），写出相应的算式。
思考：每道题写出的算式中，哪个数相当于“单价”？哪个数相当于“数量”？哪个数又相当于“总价”？从而让学生理解“单价、数量和总价”之间的关系，就是乘除法之间的关系的一种具体表现，即将众多的“一乘二除”问题归之于乘法，这就生动诠释了“乘法是一个筐，许多东西都可以往里面装”的形象。为学生的后续学习“路程、速度、时间”与“乘除法意义和各部分间的关系”奠定了良好的基础，为数学知识的进一步发展构建了“关系”模型，让学生对数学知识的理解达到最优化。
三、注重数学知识延伸点，深化数学理解
我们知道，小学数学知识是依据儿童年龄特征发展和不同阶段的认知结构水平，以螺旋上升的方式呈现出来的。不论是相同模块的同一知识，或是不同模块的不同知识，它们之间都存在着或多或少的关联。这种关联的产生，是因为每个数学知识点都有着其本身的内涵和外延，因而在数学教学中，只有找准知识间的内在联系，注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每节课的知识点都置于整体知识的体系中，处理好单一知识与整体知识的关系，引导学生感受知识的整体性，体会对于单一数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解，才能夯实学生的“四基”，增强学生的“四能”。
例如，人教版“观察物体”的教学。人教版教材将“图形与几何”模块中的“观察物体”内容，分三个阶段在不同年级进行教学。首先是二年级上册第五单元“观察物体（一）”。该单元的设计内容和目标是建立在二年级学生认知能力还很薄弱、空间想象力还不够完善，因而以“知道从不同位置观察到的物体形状可能是不同的，能辨认从不同位置看到的简单物体的形状，能辨认从不同位置看到的简单几何形体的形状”为教学目标，逐步让学生感受物体局部与整体的关系，初步形成全面看待事物的意识，为第二阶段学习“观察物体”提供了智力支持和学习延伸点，即位置不同，观察到的物体轮廓就可能不同。
其次是四下第二单元“观察物体（二）”。该单元知识是建立在二年级学习的基础上。这一阶段，学生的空间想象力得到有效提升，空间方向感有了明显增强，空间推理能力有了一定基础，因而以“能辨认从不同位置观察一个用正方体搭成的几何组合体的形状，并认识到从同一位置观察不同物体，看到的形状可能相同也可能不同”为教学目标，逐步培养学生从单一物体观察到多样物体组合观察的空间想象力和推理能力。此时学生对所观察的物体表象特征有了更明确的判断推理能力，经历了由二维图形延伸到三维图形的过程，为五年级“反推”能力的培养奠定了扎实的基础。
最后是五年级下册第一单元“观察物体（三）”。本单元内容是在前面学习了从不同角度观察实物与单个实体图形，以及几何组合体的基础上进行教学的，主要是让学生“根据给出的从一个方向或三个方向看到的形状图，用给定数量或是不确定数量的小正方体摆出相应的几何组合体，体会不同摆法和有些摆法的确定性”。这是前面两个阶段学习的延伸与提升，学生在不断经历观察、操作、想象、猜测、分析和推理的过程中，逐步积累数学活动经验，为第三学段的全立体、全方位学习三维空间图形奠定了良好的基础。
数学理解是多维度的、复杂的。学生对数学知识的理解并不是一蹴而就的事情，需要教师整体把握教材，找准各学段相关知识的有效衔接点，并给学生提供有效的学习资源和素材，给学生充足的时间和空间进行探究活动，积累丰富的数学学习经验，全面提升学生的数学核心素养。
（作者单位：福建省福州市西园中心小学）