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【摘要】 GCT数学考试时间紧张,要求应试者要有敏捷的思维,拿到一个题目能迅速找准切入点,采取有效的解题策略来提高解题速度. 针对不同类型的题目,可采取特殊值､模型化､直观推断､数形结合以及逆向转化等方法.
【关键词】GCT考试 数学解题 数形结合 逆向转化
GCT数学考试25道选择题,答题时间45分钟,时间紧张.GCT数学考的是基础知识和基本方法,重点考查思维能力,体现在考查思维敏捷性和解题速度上,平均来看针对一道题要求应试者能够在不到2分钟的时间内迅速找准求解的切入点,采取有效的思维策略和解题方法正确作出解答.
1. 特殊值法
通过选取合适的特殊值,将正确选项找出来.
例1 设a,b,m均为正数,且b > a,则与谁大?
A.前者B. 后者 C. 两者一样大 D. 无法确定
思路 令a = 1,b = 2,m = 1,知>,选项A正确. 这里不是讨论规范解题,而是讨论因为考试时间有限而应采取的一些解题策略.
例2 不等式|x + b|•(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - },则b的取值范围是 ( ).
A.,+∞ B. - ,+∞
C.,+∞ D. - ,+∞
思路 用数形结合法按b >,b =,b <三种情况分别考查f(x) = |x + b|•(2x + 1)的图像,推演时思维很不顺畅.实际上,求解此题的关键是考查x = -b这个点.因为当x = -b时,不等式|x + b|•(2x + 1) ≤ 0是成立的,而不等式|x + b|•(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - },故-b应是集合{x|x ≤ - }的一个元素,从而-b ≤ - ,即b ≥.
若题目改为“不等式|x + b|•(2x + 1) < 0的解集是{x|x ≤ - },求b的取值范围”,则由于x = -b这个点使不等式|x + b|•(2x + 1) < 0不成立,故-b应在集合{x|x < - }的补集中,于是-b ≥ - ,即b ≤.
比较这两个问题的结论:(1)若不等式|x + b|•(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - },则b的取值范围是{b|b ≤};(2)若不等式|x + b|•(2x + 1) < 0的解集是{x|x ≤ - },则b的取值范围是{b|b ≤}.这看起来有点不可思议.
2. 模型化
应试者如果有一些题型的模型储备,解答时便能节省时间.
例3 已知数列{an}中,a1 = 2,an+1 = ( - 1)(an + 2),n = 1,2,3,…,则{an}的通项公式是 ().
A. an =[( +1)n + 1]
B. an =[( +1)n - 1]
C. an =[( -1)n + 1]
D. an =[( -1)n - 1]
思路本题把n = 1代入各选项,可知选项A和选项D均不正确,但如何取舍选项B和选项C呢?
事实上,根据递推式an + 1 = pan + q(p≠1),可以如下推出数列的通项an.
令an+1 - α = p(an - α),则an+1 = pan + α(1 - p),此式与题目中所给递推式比较,可得α = .
令bn = an - α,则bn+1 = pbn,从而bn = b1pn-1=a1 -pn-1,故an = α + bn =+a1- pn-1.
对于本题,a1 = 2,p = - 1,q = 2( -1),代入上式,有α = = =,an = + (2 -)(- 1)n-1 =[(- 1)n + 1].
故选项C正确.
例4 一个容积为b升的量杯盛满纯酒精,第一次倒出a(a < b)升酒精后,用水将量杯注满并摇匀,第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满并摇匀,第三次还是倒出a升溶液后再用水将量杯注满并摇匀,此时量杯中的酒精溶液浓度为12.5 %,则每次的倒出量 为()升.
A. 0.4b B. 0.5b C. 0.6b D. 0.7b
思路 第一次倒出a升酒精,量杯中还剩酒精b - a升,用水将量杯注满,溶液浓度变为 ;
第二次倒出a升酒精溶液,量杯中还剩酒精(b - a) -•a = (b - a)1-=升,再用水将量杯注满,溶液浓度变为 ;
第三次倒出a升酒精溶液,量杯中还剩酒精- •a =(b - a) =升,再用水将量杯注满,溶液浓度变为 ;
依此类推,第n次倒出a升酒精溶液,量杯中还剩酒精 升,再用水将量杯注,满溶液浓度变为 .
据此可知,每次倒出a升后再用水将量杯注满,溶液的浓度分别为: , 2 , 3,…, n,这是一个公比为 的等比数列.
对于上述题目,n = 3,从而 3=12.5 %,解得a = 0.5b.
3. 直观推断
GCT数学考试中,有部分题目凭借直观图也能较快地作出正确选择,当然这里的“直观”是有根据的直观.
例5 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动质点落在(3,0)(允许重复过此点 )处,则质点不同的运动路线有()种.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
思路 画一个数轴,如右图,试验质点怎样按要求经过5次跳动落在C点.
(1) O→A→O→A→B→C;
(2) O→A→B→A→B→C;
(3) O→A→B→C→B→C;
(4) O→A→B→C→D→C;
(5) O→E→O→A→B→C.
仅此5种.经过E点左边的整数点跳5次落不到C点.
例6 如右图所示,在正方形ABCD中,BE = 2EC, △AOB的面积是9 cm2 ,则阴影部分的面积为( )cm2.
A. 36 B. 30 C. 21 D.12
思路 本题通过口算即可得出正确答案. △AOB的面积是整个正方形面积的 ,由于△AOB的面积是9 cm2,可知正方形面积是36 cm2,从而△BCD的面积是18 cm2. △DBE与△DEC二者的高相同,由已知BE = 2EC,△DBE的底是△DEC 的2倍,故△DBE的面积是 ×18 = 12 cm2,从而阴影部分的面积为:S△AOB + S△DBE = 9 + 12 = 21 cm2.
从整体上把握图形,借助其中的等量关系和比例关系不用求正方形的边长就算出了阴影部分的面积,节约了时间,而且不易出错.
例7 已知双曲线C:x2 - = 1.过点(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个交点,满足这个条件的直线l 共有( )条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
思路 GCT考试中遇到这样的题目最好通过画图从几何直观入手,由于时间紧迫,过长的推导容易出错,且用时较多,作图时要尽量画得准确些.如右图所示, l1,l2是过点A(1,1)分别平行于两条渐近线的两条直线,l3是过A点垂直于x轴的直线,它与双曲线相交于双曲线的右顶点(1,0),l4 是过A点的双曲线的一条切线.因此,满足条件的直线l共有4条.
4. 逆向转化
有一类题目如果用正向思维去求解会相当困难,特别是在GCT考试时间相对紧张的情况下更不能算是好的策略.这类题用逆向思维思考常常事半功倍,而且往往是正向解决越困难,逆向解决就越容易.
例8 若二次函数f(x) = 4x2 - 2(p - 2)x + 1 - 2p2 - p在闭区间[-1,1]内至少存在一个点C(c,0),使得f(c) > 0,求实数p的取值范围.
A.{p|p ≥ 1或p ≤ - } B. {p|p ≥或p ≤ -3}
C. {p|1 ≤ p ≤或-3 ≤ p≤ - }
D. {p|-3 < p < }
思路 “f(x)在闭区间[-1,1]内至少存在一个点C(c,0),使得f(c) > 0”这个命题的非命题为:对于闭区间[-1,1]内的任意一个实数x,都有f(x) ≤ 0.如果我们能求出满足后一个命题的实数p的取值范围,那么题目中所求实数p的取值范围应是它的补集.而求解后一个问题则相当容易.
在闭区间[-1,1]内f(x) ≤ 0所应满足的条件是(如右图所示):f(-1) ≤ 0,f(1) ≤ 0.从而有2p2 - p - 1 ≥ 02p2 + 3p - 9 ≥ 0?圯p ≥ 1或p ≤ - p ≥或p ≤ -3?圯 p ≥或p ≤ -3.
于是,题目中要求的实数p的取值范围是-3,. 逆向转化法常常用于求解概率问题.
5. 数形结合
数形结合就是将题目与题目中所涉及的函数对应的图形结合起来,根据图中透露的信息,寻找解题的途径.数形结合法是求解数学问题的一种常用而且重要的方法,这在前面所举的几个例子中就能看到,它常常和其他方法结合起来使用.
例9 若关于x的不等式|x - 2| + |x + 1| < b的解集是?准,则b的取值范围是 ().
A. (3,+∞) B. [3,+∞)
C. (-∞,3] D. (-∞,3)
思路 令f(x) = |x - 2| + |x + 1|,只须画出f(x)的图像,上述不等式中b的取值范围便一目了然.
f(x) = -2x + 1,x∈(-∞,-1],3,x ∈ (-1,2],2x - 1,x∈(2,+∞).其图像如下:
由图可知f(x)在(-∞,+∞)上的最小值是3,故不等式|x - 2| + |x + 1| < b的解集是?准时b的取值范围是 (-∞,3].
例10 求不等式log2(-x) < x + 1的解集.
思路 只需在同一坐标系内分别画出f(x) = log2(-x)与g(x) = x + 1的图像即可.
f(x)的定义域是(-∞,0),其图像与h(x) = log2x的图像关于y轴对称; g(x)的图像是一条斜率为1 的直线,如图所示:很明显,不等式log2(-x)< x + 1
的解集是开区间(-1,0) .
【参考文献】
[1] 刘庆华主编.GCT数学模拟试题与解析[M].北京:清华大学出版社,2008.5.
[2] 陶兴模.数学复习课的基本策略[J].数学通报,2005(4):33-34.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键词】GCT考试 数学解题 数形结合 逆向转化
GCT数学考试25道选择题,答题时间45分钟,时间紧张.GCT数学考的是基础知识和基本方法,重点考查思维能力,体现在考查思维敏捷性和解题速度上,平均来看针对一道题要求应试者能够在不到2分钟的时间内迅速找准求解的切入点,采取有效的思维策略和解题方法正确作出解答.
1. 特殊值法
通过选取合适的特殊值,将正确选项找出来.
例1 设a,b,m均为正数,且b > a,则与谁大?
A.前者B. 后者 C. 两者一样大 D. 无法确定
思路 令a = 1,b = 2,m = 1,知>,选项A正确. 这里不是讨论规范解题,而是讨论因为考试时间有限而应采取的一些解题策略.
例2 不等式|x + b|•(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - },则b的取值范围是 ( ).
A.,+∞ B. - ,+∞
C.,+∞ D. - ,+∞
思路 用数形结合法按b >,b =,b <三种情况分别考查f(x) = |x + b|•(2x + 1)的图像,推演时思维很不顺畅.实际上,求解此题的关键是考查x = -b这个点.因为当x = -b时,不等式|x + b|•(2x + 1) ≤ 0是成立的,而不等式|x + b|•(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - },故-b应是集合{x|x ≤ - }的一个元素,从而-b ≤ - ,即b ≥.
若题目改为“不等式|x + b|•(2x + 1) < 0的解集是{x|x ≤ - },求b的取值范围”,则由于x = -b这个点使不等式|x + b|•(2x + 1) < 0不成立,故-b应在集合{x|x < - }的补集中,于是-b ≥ - ,即b ≤.
比较这两个问题的结论:(1)若不等式|x + b|•(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - },则b的取值范围是{b|b ≤};(2)若不等式|x + b|•(2x + 1) < 0的解集是{x|x ≤ - },则b的取值范围是{b|b ≤}.这看起来有点不可思议.
2. 模型化
应试者如果有一些题型的模型储备,解答时便能节省时间.
例3 已知数列{an}中,a1 = 2,an+1 = ( - 1)(an + 2),n = 1,2,3,…,则{an}的通项公式是 ().
A. an =[( +1)n + 1]
B. an =[( +1)n - 1]
C. an =[( -1)n + 1]
D. an =[( -1)n - 1]
思路本题把n = 1代入各选项,可知选项A和选项D均不正确,但如何取舍选项B和选项C呢?
事实上,根据递推式an + 1 = pan + q(p≠1),可以如下推出数列的通项an.
令an+1 - α = p(an - α),则an+1 = pan + α(1 - p),此式与题目中所给递推式比较,可得α = .
令bn = an - α,则bn+1 = pbn,从而bn = b1pn-1=a1 -pn-1,故an = α + bn =+a1- pn-1.
对于本题,a1 = 2,p = - 1,q = 2( -1),代入上式,有α = = =,an = + (2 -)(- 1)n-1 =[(- 1)n + 1].
故选项C正确.
例4 一个容积为b升的量杯盛满纯酒精,第一次倒出a(a < b)升酒精后,用水将量杯注满并摇匀,第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满并摇匀,第三次还是倒出a升溶液后再用水将量杯注满并摇匀,此时量杯中的酒精溶液浓度为12.5 %,则每次的倒出量 为()升.
A. 0.4b B. 0.5b C. 0.6b D. 0.7b
思路 第一次倒出a升酒精,量杯中还剩酒精b - a升,用水将量杯注满,溶液浓度变为 ;
第二次倒出a升酒精溶液,量杯中还剩酒精(b - a) -•a = (b - a)1-=升,再用水将量杯注满,溶液浓度变为 ;
第三次倒出a升酒精溶液,量杯中还剩酒精- •a =(b - a) =升,再用水将量杯注满,溶液浓度变为 ;
依此类推,第n次倒出a升酒精溶液,量杯中还剩酒精 升,再用水将量杯注,满溶液浓度变为 .
据此可知,每次倒出a升后再用水将量杯注满,溶液的浓度分别为: , 2 , 3,…, n,这是一个公比为 的等比数列.
对于上述题目,n = 3,从而 3=12.5 %,解得a = 0.5b.
3. 直观推断
GCT数学考试中,有部分题目凭借直观图也能较快地作出正确选择,当然这里的“直观”是有根据的直观.
例5 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动质点落在(3,0)(允许重复过此点 )处,则质点不同的运动路线有()种.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
思路 画一个数轴,如右图,试验质点怎样按要求经过5次跳动落在C点.
(1) O→A→O→A→B→C;
(2) O→A→B→A→B→C;
(3) O→A→B→C→B→C;
(4) O→A→B→C→D→C;
(5) O→E→O→A→B→C.
仅此5种.经过E点左边的整数点跳5次落不到C点.
例6 如右图所示,在正方形ABCD中,BE = 2EC, △AOB的面积是9 cm2 ,则阴影部分的面积为( )cm2.
A. 36 B. 30 C. 21 D.12
思路 本题通过口算即可得出正确答案. △AOB的面积是整个正方形面积的 ,由于△AOB的面积是9 cm2,可知正方形面积是36 cm2,从而△BCD的面积是18 cm2. △DBE与△DEC二者的高相同,由已知BE = 2EC,△DBE的底是△DEC 的2倍,故△DBE的面积是 ×18 = 12 cm2,从而阴影部分的面积为:S△AOB + S△DBE = 9 + 12 = 21 cm2.
从整体上把握图形,借助其中的等量关系和比例关系不用求正方形的边长就算出了阴影部分的面积,节约了时间,而且不易出错.
例7 已知双曲线C:x2 - = 1.过点(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个交点,满足这个条件的直线l 共有( )条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
思路 GCT考试中遇到这样的题目最好通过画图从几何直观入手,由于时间紧迫,过长的推导容易出错,且用时较多,作图时要尽量画得准确些.如右图所示, l1,l2是过点A(1,1)分别平行于两条渐近线的两条直线,l3是过A点垂直于x轴的直线,它与双曲线相交于双曲线的右顶点(1,0),l4 是过A点的双曲线的一条切线.因此,满足条件的直线l共有4条.
4. 逆向转化
有一类题目如果用正向思维去求解会相当困难,特别是在GCT考试时间相对紧张的情况下更不能算是好的策略.这类题用逆向思维思考常常事半功倍,而且往往是正向解决越困难,逆向解决就越容易.
例8 若二次函数f(x) = 4x2 - 2(p - 2)x + 1 - 2p2 - p在闭区间[-1,1]内至少存在一个点C(c,0),使得f(c) > 0,求实数p的取值范围.
A.{p|p ≥ 1或p ≤ - } B. {p|p ≥或p ≤ -3}
C. {p|1 ≤ p ≤或-3 ≤ p≤ - }
D. {p|-3 < p < }
思路 “f(x)在闭区间[-1,1]内至少存在一个点C(c,0),使得f(c) > 0”这个命题的非命题为:对于闭区间[-1,1]内的任意一个实数x,都有f(x) ≤ 0.如果我们能求出满足后一个命题的实数p的取值范围,那么题目中所求实数p的取值范围应是它的补集.而求解后一个问题则相当容易.
在闭区间[-1,1]内f(x) ≤ 0所应满足的条件是(如右图所示):f(-1) ≤ 0,f(1) ≤ 0.从而有2p2 - p - 1 ≥ 02p2 + 3p - 9 ≥ 0?圯p ≥ 1或p ≤ - p ≥或p ≤ -3?圯 p ≥或p ≤ -3.
于是,题目中要求的实数p的取值范围是-3,. 逆向转化法常常用于求解概率问题.
5. 数形结合
数形结合就是将题目与题目中所涉及的函数对应的图形结合起来,根据图中透露的信息,寻找解题的途径.数形结合法是求解数学问题的一种常用而且重要的方法,这在前面所举的几个例子中就能看到,它常常和其他方法结合起来使用.
例9 若关于x的不等式|x - 2| + |x + 1| < b的解集是?准,则b的取值范围是 ().
A. (3,+∞) B. [3,+∞)
C. (-∞,3] D. (-∞,3)
思路 令f(x) = |x - 2| + |x + 1|,只须画出f(x)的图像,上述不等式中b的取值范围便一目了然.
f(x) = -2x + 1,x∈(-∞,-1],3,x ∈ (-1,2],2x - 1,x∈(2,+∞).其图像如下:
由图可知f(x)在(-∞,+∞)上的最小值是3,故不等式|x - 2| + |x + 1| < b的解集是?准时b的取值范围是 (-∞,3].
例10 求不等式log2(-x) < x + 1的解集.
思路 只需在同一坐标系内分别画出f(x) = log2(-x)与g(x) = x + 1的图像即可.
f(x)的定义域是(-∞,0),其图像与h(x) = log2x的图像关于y轴对称; g(x)的图像是一条斜率为1 的直线,如图所示:很明显,不等式log2(-x)< x + 1
的解集是开区间(-1,0) .
【参考文献】
[1] 刘庆华主编.GCT数学模拟试题与解析[M].北京:清华大学出版社,2008.5.
[2] 陶兴模.数学复习课的基本策略[J].数学通报,2005(4):33-34.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”