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最值问题是数学中的典型问题，解最值问题的基本方法一般有两种：几何法、代数法。具体可利用直接法、二次函数法、函数的单调性、重要不等式、数形结合、三角函数有界性等方法，还可以利用向量、导数等。圆锥曲线中最值问题和数学中其他最值问题一样，解法灵活，综合性较强。解圆锥曲线中最值问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合运用代数、平几、三角等相关知识。
一、 利用圆锥曲线的定义求最值
有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。
【例1】 已知椭圆x225+y29=1，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：
（1） 54|PA|+|PB|的最小值；
（2） |PA|+|PB|的最小值和最大值.
分析 用代数的方法表示出所求后，再求最值，很烦琐，
故可考虑用几何的方法解答。
解 （1） A为椭圆的右焦点.作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义|PA||PQ|=e=45，
∴54|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和到右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174.
点拨 从椭圆的定义出发，结合图形思考，可利用几何法将问题转化为平面中的问题：三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。用几何方法求最值的解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。
二、 利用圆锥曲线的参数方程求最值
利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
【例2】 在x2+4y2=36上求一点，使其到直线y=－12x+4的距离最大，并求最大距离.
分析一 设与y=－12x+4平行的方程为y=－12x+b，可将点到直线的距离转化为两平行线间的距离。
解 设与y=－12x+4平行的椭圆的切线方程为y=－12x+b，
点拨 讨论曲线上的点与直线的最大、最小距离时，经常利用此法，答案的取舍可借助图形来判断。
三、 利用二次函数最值的求法
将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法、均值不等式或判别式等方法求解。
【例3】 已知一曲线y2=2x，（１） 设点A的坐标为23,0，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（２） 设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上任意一点到点A距离的最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式.
分析 将|PA|用点P的坐标表示出来，可转化成点P的横坐标x的二次函数。
解 （1） 设M（x,y）是曲线上任意一点，则y2=2x(x≥0)，
|MA|2=x－232+y2=x－232+2x=x+132+13.
∵x≥0,|MA|2min=49,∴所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是|PA|=23.
（2） 设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有|MA|2=(x－a)2+y2=(x－a)2+2x=［x－(a－1)］2+(2a－1),x≥0，
综上所述，有d=2a－1(当a≥1时)，|a|(当a<1时).
点拨 将所求的量转化成二次函数，或其他函数，再用函数求最值的方法求圆锥曲线中的最值问题，是用代数方法求最值的一个重要手段。
四、 不等式法
列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。
【例4】 过椭圆2x2+y2=2的焦点的直线交椭圆于A,B两点，求△AOB面积的最大值.
分析 由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。
解 椭圆的焦点(0,±1)，设过焦点(0,1)，直线方程为y=kx+1与2x2+y2=2联立，消去y,得(2+k2)x2+2kx－
点拨 利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：(1) 每一项要取正值；(2) 不等式的一边为常数；(3) 等号能够成立。其中正确应用“等号成立”的条件是这种方法的关键。
总结 解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活、合理地运用函数与方程、转化与化归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含条件，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。
牛刀小试
1. 已知抛物线y2=4x，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值，并求其最小值.
2. 在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短.
3. 椭圆x2a2+y2b2=1的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OAB的最小面积.
4. 已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，求|PF|+|PA|的最小值.
【参考答案】
1. 如图，∵y2=4x,∴P=2,焦点F(1,0).由点A引准线x=-1的垂线，垂足为Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值.(|AP|+|PF|)min=4.
由y2=4x
y=1,得P14,1为所求点.
2. 设抛物线上的点P(t,4t2)，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离d=|4t2－4t+5|17=4t－122+417,
当t=12时，dmin=417，故所求点为12,1.
3. 设切点为P(acosθ,bsinθ)，则切线方程为cosθax+sinθby=1.
令y=0,得切线与x轴交点Aacosθ,0；
令x=0,得切线与y轴交点B0,bsinθ.
∴S△AOB=12|OA|•|OB|=ab2sinθcosθ
=absin2θ≥ab.∴Smin=ab.
4. 注意到A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),
于是由双曲线性质|PF|－|PF′|＝2a＝4，
而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立.
|PF|+|PA|的最小值为9.
(作者：金明祥，镇江第一中学）
一、 利用圆锥曲线的定义求最值
有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。
【例1】 已知椭圆x225+y29=1，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：
（1） 54|PA|+|PB|的最小值；
（2） |PA|+|PB|的最小值和最大值.
分析 用代数的方法表示出所求后，再求最值，很烦琐，
故可考虑用几何的方法解答。
解 （1） A为椭圆的右焦点.作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义|PA||PQ|=e=45，
∴54|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和到右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174.
点拨 从椭圆的定义出发，结合图形思考，可利用几何法将问题转化为平面中的问题：三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。用几何方法求最值的解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。
二、 利用圆锥曲线的参数方程求最值
利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
【例2】 在x2+4y2=36上求一点，使其到直线y=－12x+4的距离最大，并求最大距离.
分析一 设与y=－12x+4平行的方程为y=－12x+b，可将点到直线的距离转化为两平行线间的距离。
解 设与y=－12x+4平行的椭圆的切线方程为y=－12x+b，
点拨 讨论曲线上的点与直线的最大、最小距离时，经常利用此法，答案的取舍可借助图形来判断。
三、 利用二次函数最值的求法
将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法、均值不等式或判别式等方法求解。
【例3】 已知一曲线y2=2x，（１） 设点A的坐标为23,0，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（２） 设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上任意一点到点A距离的最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式.
分析 将|PA|用点P的坐标表示出来，可转化成点P的横坐标x的二次函数。
解 （1） 设M（x,y）是曲线上任意一点，则y2=2x(x≥0)，
|MA|2=x－232+y2=x－232+2x=x+132+13.
∵x≥0,|MA|2min=49,∴所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是|PA|=23.
（2） 设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有|MA|2=(x－a)2+y2=(x－a)2+2x=［x－(a－1)］2+(2a－1),x≥0，
综上所述，有d=2a－1(当a≥1时)，|a|(当a<1时).
点拨 将所求的量转化成二次函数，或其他函数，再用函数求最值的方法求圆锥曲线中的最值问题，是用代数方法求最值的一个重要手段。
四、 不等式法
列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。
【例4】 过椭圆2x2+y2=2的焦点的直线交椭圆于A,B两点，求△AOB面积的最大值.
分析 由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。
解 椭圆的焦点(0,±1)，设过焦点(0,1)，直线方程为y=kx+1与2x2+y2=2联立，消去y,得(2+k2)x2+2kx－
点拨 利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：(1) 每一项要取正值；(2) 不等式的一边为常数；(3) 等号能够成立。其中正确应用“等号成立”的条件是这种方法的关键。
总结 解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活、合理地运用函数与方程、转化与化归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含条件，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。
牛刀小试
1. 已知抛物线y2=4x，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值，并求其最小值.
2. 在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短.
3. 椭圆x2a2+y2b2=1的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OAB的最小面积.
4. 已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，求|PF|+|PA|的最小值.
【参考答案】
1. 如图，∵y2=4x,∴P=2,焦点F(1,0).由点A引准线x=-1的垂线，垂足为Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值.(|AP|+|PF|)min=4.
由y2=4x
y=1,得P14,1为所求点.
2. 设抛物线上的点P(t,4t2)，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离d=|4t2－4t+5|17=4t－122+417,
当t=12时，dmin=417，故所求点为12,1.
3. 设切点为P(acosθ,bsinθ)，则切线方程为cosθax+sinθby=1.
令y=0,得切线与x轴交点Aacosθ,0；
令x=0,得切线与y轴交点B0,bsinθ.
∴S△AOB=12|OA|•|OB|=ab2sinθcosθ
=absin2θ≥ab.∴Smin=ab.
4. 注意到A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),
于是由双曲线性质|PF|－|PF′|＝2a＝4，
而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立.
|PF|+|PA|的最小值为9.
(作者：金明祥，镇江第一中学）