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摘 要：高中学生在处理数学问题时要具备一种反向的思维能力，这种思维可以让学生在更加宏观的层面考虑问题. 本文据此认识依次探讨了定义反向思维训练、正难则反训练、整体意识训练等几方面的内容.
关键词：高中数学；教学方法；反向思维
数学是一门对思维要求非常高的学科，同时也是开启学习者智力的基本工具. 在高中数学学习过程中，学生经常会遇到这样或者那样的困难，当困难无法依靠传统的正向思维模式解决时，便可以采取不同角度与不同方向的新型思维方式，也就是从反向思维对问题进行探讨. 这种思维方式与普通的正向思维方式也就是按照条件得到结论的方式通常相对，它从果得到因，再从因得到其他果. 毫无疑问，正向思维是常规状态，而反向思维的培养则利于学生解决偏题，同时还可以起到启发学生心智的作用.
[?] 对公式定理的反向应用是思维的基础
1. 定义的反向应用
在高中数学教材里面，出现了数量巨大的公式，教师要求学生对公式熟读成诵是必要的，但却并非是唯一的教学手段. 此外，教师还应当要求学生透彻理解并掌握公式，熟悉公式的各种变形. 公式的反向应用能够培养学生以更加敏捷的思维状态应对问题，提升其解题技巧. 定义的应用也是如此，在高中阶段，学生处理数学问题时，非常容易用到定义法，但学生普遍对定义的反向应用觉得陌生，实际上反向应用定义恰恰可以让问题的解决思路顺利浮出水面.
例1 若将1-x-x-4予以化简，便能够得到2x-5，则求x的取值范围.
分析：从题意中我们可以知道1-x-x-4=2x-5，而如果再走入绝对值这一概念的反向思路之中，便能够得到下述条件，即1-x≤0，x-4≤0，解不等式组后，可以得到1≤x≤4，这就是未知数x的取值范围.
2. 定理的反向应用
某一个定理的逆命题，是否正确并不一定. 然而在高中阶段的数学教学过程中，教师还应带领学生对某一个定理的逆命题进行验证，这不失为一种有效的教学方法，它能够很好地激发学生学习数学的兴趣，并且让定理与解题能力相结合的思维水平得到迅速提升.
例2 实数l，m，n能够满足条件m-n=8，并且mn l2 16=0，现求证：m n l=0.
分析：借助正向思维，直接以顺推法得到三个实数之值，虽然不必绕弯，但是运算量特大，同时还易于发生结果错误，而借助反向应用韦达定理的办法则相对简单.
证明：从m-n=8，能够得到m （-n）= 8，接下来从mn l2 16=0可以知道m（-n）=l2 16，那么很明显x2-8x l2 16=0的两个根即为m和-n. 同时，m和-n都是实数，因此，Δ=（-8）2-4（l2 16）≥0，可以解得 -4l2≥0，即l=0. 因此，x2-8x 16=0的两个根同样为m和-n，这样可以得到m=-n=4，这样m n l=0必然成立.
[?] 对问题条件的反向思考是思维的必然
在解答高中数学问题时，学生一般会在现有条件基础上按部就班地推出必要条件，从而完成结论探寻的目标. 但是这样的方法，却并非对所有问题都适用，有些问题若从条件着手思考，解题者往往没有着手之处. 既然已经能够认识到公式、定理等都具有反向应用的作用，那么对于任何一个数学难题来讲，不妨带领学生从反向进行研究，也就是指导其站在问题的结论处，一步一步地反向推理到结论的充分条件，最终得出和既有条件相关的结论，这种问题处理策略是符合“正难则反、奇正结合”原则的. 通常情况下，反向思考对于不等式成立的证明、立体几何里面的论证等极为有效，而在其他类型的问题中也有较广泛的应用.
例3 已知和x有关的方程：
（1）x2-2mx m2-m=0；
（2）x2-（4m 1）x 4m2 m=0；
（3）（m2 1）x2-（2m 1）x 1=0.
在上述方程中至少存在一个带实数根的方程，那么m的取值范围为多少？
分析：如果解题者将思维局限在正向角度，会出现多种不同的情况：假若一个方程有实数根，有三种情况；假设两个方程有实数根，也有三种情况；三个方程有实数根时还有一种情况. 如果一一给予处理，过程必然极其烦琐. 而如果解题者能够秉承“正难则反、奇正结合”的原则，站在不同方向思考：与“至少有一个”相反的思路是“全都没有”，那么就只有一种情况，问题的解决就变得非常容易了.
解：求出三方程皆没有实根时m的取值范围，假若这几个方程都没有实根，则有：
Δ1=4m2-4（m2-m）=4m<0，从而得出m<0；
Δ2=（4m 1）2-4（4m2 m）=4m 1<0，从而解得m<-；
Δ3=（2m 1）2-4（m2 1）=4m-3<0，从而解得m<，
因此，m<-.
因为在m<-的情况下，三方程皆没有实根，所以在m≥-时，至少存在一个带实数根的方程.
[?] 将正向思考和反向思考置于整体意识之内
有的问题，从局部的正向思考考虑难以索解，而又没有明确的相反方向，这时教师需要带领学生站在整体高度考虑问题，将整体功能充分发挥出来，使学生意识到：无论是正向思考还是反向思考，其实都是整体思路的组成部分，而无须机械地加以分割. 这样解决问题的思路，其实是对反向思考方式的科学解读.
比如关于反面求证的问题，这是反向思考的一种突出表现形式，在高中数学中应用极广. 反证法是从待证问题给出的结论反面开始着手，也就是先假设结论反面为正确的，再根据题目中给出的条件，进行一系列逻辑推理从而引出一个全新的结论，但是该新结论同本题条件相矛盾，或者是同定理、公理等不相符合，从而明确原命题结论反面为错误的.
比如下面几个问题：
例4 若f（x）=4x-2x 1（x≥0），则求f-1（0）.
分析：按照常规解法，首先思考原有函数是否有反函数，若有，则先写出反函数，再求解，这无疑会让解题过程变得稍显复杂. 此时如果教师能够指导学生将思路放宽，站在整体高度来考虑问题，不是求出反函数，而是依靠原有函数同反函数间的关系，就可得到下面的判断，即：求f-1（0）的值，实际上也就等同于求让f（x）=0时x的值，使4x-2x 1=0. 再通过具体计算，得到x=1的结果，从而得出f-1（0）=1.
例5 扇形面积公式S=，若已经知道扇形半径同扇形所对圆心角n，则将其直接代入到扇形面积公式之中即可得出其面积. 而反过来提问：如果已经知道扇形面积S及半径R，那么如何去得到n值呢？此时学生即应明确三个数值之间的关系，在头脑中形成整体意识，明确公式的正用与反用，无非是整体映照下的差异化方法，即可顺利得到n=，R=，从而让问题得到顺利解决.
例6 给出实数a，且a≠0，a≠1，现假设函数y=，其中x∈R，x≠，现请证明：经过该函数图象中任意两个相异点的直线同x轴不相平行.
经过分析，决定以反证法的思路处理该问题，不相平行的反面是相互平行，因此可以据此做出假设.
我们先设M1（x1，y1），M2（x2，y2）为函数上的两个任意点，x1≠x2. 接下来假设M1，M2两点同x轴平行，那么即有y1=y2，也就是=，通过整理能够得到a（x1-x2）=x1-x2.
因为x1≠x2，所以a=1，该结论与题目的已知条件a≠1并不一致，所以假设不成立，所以原结论成立.
关键词：高中数学；教学方法；反向思维
数学是一门对思维要求非常高的学科，同时也是开启学习者智力的基本工具. 在高中数学学习过程中，学生经常会遇到这样或者那样的困难，当困难无法依靠传统的正向思维模式解决时，便可以采取不同角度与不同方向的新型思维方式，也就是从反向思维对问题进行探讨. 这种思维方式与普通的正向思维方式也就是按照条件得到结论的方式通常相对，它从果得到因，再从因得到其他果. 毫无疑问，正向思维是常规状态，而反向思维的培养则利于学生解决偏题，同时还可以起到启发学生心智的作用.
[?] 对公式定理的反向应用是思维的基础
1. 定义的反向应用
在高中数学教材里面，出现了数量巨大的公式，教师要求学生对公式熟读成诵是必要的，但却并非是唯一的教学手段. 此外，教师还应当要求学生透彻理解并掌握公式，熟悉公式的各种变形. 公式的反向应用能够培养学生以更加敏捷的思维状态应对问题，提升其解题技巧. 定义的应用也是如此，在高中阶段，学生处理数学问题时，非常容易用到定义法，但学生普遍对定义的反向应用觉得陌生，实际上反向应用定义恰恰可以让问题的解决思路顺利浮出水面.
例1 若将1-x-x-4予以化简，便能够得到2x-5，则求x的取值范围.
分析：从题意中我们可以知道1-x-x-4=2x-5，而如果再走入绝对值这一概念的反向思路之中，便能够得到下述条件，即1-x≤0，x-4≤0，解不等式组后，可以得到1≤x≤4，这就是未知数x的取值范围.
2. 定理的反向应用
某一个定理的逆命题，是否正确并不一定. 然而在高中阶段的数学教学过程中，教师还应带领学生对某一个定理的逆命题进行验证，这不失为一种有效的教学方法，它能够很好地激发学生学习数学的兴趣，并且让定理与解题能力相结合的思维水平得到迅速提升.
例2 实数l，m，n能够满足条件m-n=8，并且mn l2 16=0，现求证：m n l=0.
分析：借助正向思维，直接以顺推法得到三个实数之值，虽然不必绕弯，但是运算量特大，同时还易于发生结果错误，而借助反向应用韦达定理的办法则相对简单.
证明：从m-n=8，能够得到m （-n）= 8，接下来从mn l2 16=0可以知道m（-n）=l2 16，那么很明显x2-8x l2 16=0的两个根即为m和-n. 同时，m和-n都是实数，因此，Δ=（-8）2-4（l2 16）≥0，可以解得 -4l2≥0，即l=0. 因此，x2-8x 16=0的两个根同样为m和-n，这样可以得到m=-n=4，这样m n l=0必然成立.
[?] 对问题条件的反向思考是思维的必然
在解答高中数学问题时，学生一般会在现有条件基础上按部就班地推出必要条件，从而完成结论探寻的目标. 但是这样的方法，却并非对所有问题都适用，有些问题若从条件着手思考，解题者往往没有着手之处. 既然已经能够认识到公式、定理等都具有反向应用的作用，那么对于任何一个数学难题来讲，不妨带领学生从反向进行研究，也就是指导其站在问题的结论处，一步一步地反向推理到结论的充分条件，最终得出和既有条件相关的结论，这种问题处理策略是符合“正难则反、奇正结合”原则的. 通常情况下，反向思考对于不等式成立的证明、立体几何里面的论证等极为有效，而在其他类型的问题中也有较广泛的应用.
例3 已知和x有关的方程：
（1）x2-2mx m2-m=0；
（2）x2-（4m 1）x 4m2 m=0；
（3）（m2 1）x2-（2m 1）x 1=0.
在上述方程中至少存在一个带实数根的方程，那么m的取值范围为多少？
分析：如果解题者将思维局限在正向角度，会出现多种不同的情况：假若一个方程有实数根，有三种情况；假设两个方程有实数根，也有三种情况；三个方程有实数根时还有一种情况. 如果一一给予处理，过程必然极其烦琐. 而如果解题者能够秉承“正难则反、奇正结合”的原则，站在不同方向思考：与“至少有一个”相反的思路是“全都没有”，那么就只有一种情况，问题的解决就变得非常容易了.
解：求出三方程皆没有实根时m的取值范围，假若这几个方程都没有实根，则有：
Δ1=4m2-4（m2-m）=4m<0，从而得出m<0；
Δ2=（4m 1）2-4（4m2 m）=4m 1<0，从而解得m<-；
Δ3=（2m 1）2-4（m2 1）=4m-3<0，从而解得m<，
因此，m<-.
因为在m<-的情况下，三方程皆没有实根，所以在m≥-时，至少存在一个带实数根的方程.
[?] 将正向思考和反向思考置于整体意识之内
有的问题，从局部的正向思考考虑难以索解，而又没有明确的相反方向，这时教师需要带领学生站在整体高度考虑问题，将整体功能充分发挥出来，使学生意识到：无论是正向思考还是反向思考，其实都是整体思路的组成部分，而无须机械地加以分割. 这样解决问题的思路，其实是对反向思考方式的科学解读.
比如关于反面求证的问题，这是反向思考的一种突出表现形式，在高中数学中应用极广. 反证法是从待证问题给出的结论反面开始着手，也就是先假设结论反面为正确的，再根据题目中给出的条件，进行一系列逻辑推理从而引出一个全新的结论，但是该新结论同本题条件相矛盾，或者是同定理、公理等不相符合，从而明确原命题结论反面为错误的.
比如下面几个问题：
例4 若f（x）=4x-2x 1（x≥0），则求f-1（0）.
分析：按照常规解法，首先思考原有函数是否有反函数，若有，则先写出反函数，再求解，这无疑会让解题过程变得稍显复杂. 此时如果教师能够指导学生将思路放宽，站在整体高度来考虑问题，不是求出反函数，而是依靠原有函数同反函数间的关系，就可得到下面的判断，即：求f-1（0）的值，实际上也就等同于求让f（x）=0时x的值，使4x-2x 1=0. 再通过具体计算，得到x=1的结果，从而得出f-1（0）=1.
例5 扇形面积公式S=，若已经知道扇形半径同扇形所对圆心角n，则将其直接代入到扇形面积公式之中即可得出其面积. 而反过来提问：如果已经知道扇形面积S及半径R，那么如何去得到n值呢？此时学生即应明确三个数值之间的关系，在头脑中形成整体意识，明确公式的正用与反用，无非是整体映照下的差异化方法，即可顺利得到n=，R=，从而让问题得到顺利解决.
例6 给出实数a，且a≠0，a≠1，现假设函数y=，其中x∈R，x≠，现请证明：经过该函数图象中任意两个相异点的直线同x轴不相平行.
经过分析，决定以反证法的思路处理该问题，不相平行的反面是相互平行，因此可以据此做出假设.
我们先设M1（x1，y1），M2（x2，y2）为函数上的两个任意点，x1≠x2. 接下来假设M1，M2两点同x轴平行，那么即有y1=y2，也就是=，通过整理能够得到a（x1-x2）=x1-x2.
因为x1≠x2，所以a=1，该结论与题目的已知条件a≠1并不一致，所以假设不成立，所以原结论成立.