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摘 要：高中数学教学中，课堂小结是一个重要的环节. 从当前的现状来看，课堂小结本身受到重视，但实际教学中课堂小结的时间与空间常常带有随意性. 有效的课堂小结可以凝聚学生的数学认识，培养学生的数学思维.对课堂小结有效性的认识，要从理论与实践两个方面同时入手. 江苏省教科院李善良教授的研究成果对此有启发意义.
关键词：高中数学；课堂小结；有效教学
江苏省教科院的李善良教授在《高中数学课堂小结的现状分析》一文中，以中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年组织的全国赛课活动中的94节课堂视频为研究对象，详细分析了课堂小结中的师生行为，得出了对日常高中数学教学极为有益的指导性观点. 无独有偶，笔者在近年的教学中，也十分重视课堂的小结，发现自己的某些发现与文中的观点高度接近，因此也就有了一种总结与表达的愿望.
笔者对课堂小结的研究动机完全来源于教学实际的需要. 笔者发现，课堂小结作为课堂教学的重要组成部分，在实际课堂教学中常常在时间和空间两个方面被任意调整，也就说实际上并没有充分体现出其重要作用. 就笔者自身的教学以及所接触的一些教研课而言，课堂小结所用的时间以及所用的方式都存在着较大的随意性，相对于课堂引入及教学过程而言，课堂小结常常只是“虎头”后的“蛇尾”. 但也正如李善良教授所言，课堂小结在促进学生形成良好的认知结构，掌握数学方法，感受数学思想等方面其实起着重要的作用. 每每在走出课堂之后，笔者总会习惯性地思考：学生能否提纲挈领式地总结本课的知识，从而将知识纳入他们的记忆？而随着这个问题而来的就是本课的课堂小结最好应当在什么时候开始，以什么样的方式进行？于是，关于课堂小结的有效性乃至于整个数学教学的有效性就成为笔者思考的问题.
[?] 课堂小结现状带来的思考
从笔者的角度来看，课堂小结的随意性，使得学生的学习常常缺少一个有效的总结，从而又让所学到的数学知识处于离散状态. 这既不利于刚学知识的有效组织，也无助于下面将要学习知识的有效衔接. 而李善良教授则从学术的角度，就课堂小结的引导用语进行了细致的分析，比如说其通过总结发现课堂小结一般可以分成四种情况：从回顾知识角度小结；从谈个人收获角度小结；从总结研究过程角度小结；以及没有明确引导思路的小结. 而这四种情况对应的学生学习结果则是：当教师引导学生回顾知识时，学生就能够主动回顾与梳理所学知识；当谈个人收获时，学生还会提及数学思想与方法；当从研究过程角度小结时，学生就会梳理学习过程，整理学习结果；而当教师的小结漫无目的时，学生就会顾左右而言他.
应当说这样的总结是非常符合实际的，这也说明教师的引导对学生的小结起到了决定性的作用. 笔者以为其背后的原因有二：一是高中学生虽然说年龄达到了独立思考的层次，但是在学习中还是以教师的态度为学习的指引；二是高中数学本身抽象复杂，学生一般难以进行有效的小结，更多的还是依靠教师的引导.
这样的现状提醒所有的高中数学教师：要从课堂教学的完整性，更要从学生思维的完整性角度去看待课堂小结，要将课堂小结那种提纲挈领的作用真正发挥出来，让学生能够以小结内容为载体，有效地对所学知识进行有效的记忆. 笔者查阅了关于学习记忆的相关理论，结果发现有效的课堂小结其实可以起到将所学的知识进行组块的作用，这样就可以减小学生的记忆负担，从而让新知识在学生的记忆中更好地存在着. 而一旦这样的教学预期成为现实，我们就认为这样的课堂小结是有效的.
[?] 有效课堂小结的理论探究
虽然笔者的研究并不是学术性的，但先从理论上对课堂小结的有效性进行探究仍然是必要的.
课堂小结无非是对所学知识进行总结，总结的过程中既需要回顾知识生成的过程，又需要高度关注数学概念与规律的内容.现以“正弦定理”（苏教版，必修5）的课堂小结为例，谈谈笔者的探究结果.
正弦定理这一部分包括正弦定理的得出过程、正弦定理的内容、正弦定理的运用等内容.再分析教材又可以发现，本知识是从直角三角形引入的（教学引入的作用在于给全节知识的学习提供一个好的情境），基于直角三角形提出的问题是：==是否适用于一般三角形？在小结中有必要让学生认识到这一个问题的提出，实际上是数学上从特殊到一般的思维，除了在正弦定理的学习中有所应用之外，在数学学习的其他领域也有着普遍的应用. 而从特殊到一般的转化，在教材中则是通过转化直角三角形中的边角关系、建立直角坐标系并利用三角函数、通过三角形的外接圆以将任意三角形问题转化为直角三角形问题，然后利用向量的投影或者向量的数量积以产生三角函数来实现的. 从数学知识生成的角度来看，这是数学方法所起到的作用. 引导学生在小结过程中用精练的语言描述出这一思想方法，也是促进学生有效学习与记忆的手段.
而从课堂小结本身这一过程来看，则需要建立学习心理学角度的视角，要认识到小结的过程就是一个学生感官受到刺激的过程，而这种刺激又以听觉和视觉刺激为主. 研究表明，学生的学习过程中听觉刺激的作用比视觉刺激的作用更大——这一点可能与常规的认识有所不同，不少人认为看的比听的有效.而这一结论与实际情况是吻合的，无论是在学生的学习中，还是在学生的生活中，大多数信息都是通过听觉输入的，即使有其他的信息输入方式，往往听觉刺激也是不可或缺的. 这提醒我们，无论采用多先进的教学手段，刺激学生的听觉通道是必须的.
[?] 基于有效小结的教学实践
在以上理论探究的基础上，笔者在教学实践中对课堂小结进行了细致的分析与实践，感觉有所收获，现将自己的收获呈现出来与同行分享. 笔者结合李善良教授的观点，尝试从以下几个方面进行阐述：
第一，导语设计. 导语是打开课堂小结的钥匙，是打开学生小结思维的钥匙，需要精心设计. 常用的“本课大家学到了什么”“请大家回顾一下今天的学习过程”这样的导语往往会让学生的思维失之于空洞，而且如果这样的语言一旦程式化，那日常教学中学生的课堂小结就有可能形式化（这一点事实上在李教授的文中也得到了证实）. 笔者在正弦定理的教学中是这样运用导语的：大家回忆一下，正弦定理的得出，经历了一个什么样的过程呢？事实证明，这样的导语可以将学生的思维一下子引导到正弦定理的得出过程上来，也让学生认识到正弦定理的得出过程蕴含着丰富的数学知识. 第二，问题设计. 除了面向知识掌握的问题之外，课堂小结中的问题设计更要面向数学思维，在余弦定理的小结中，数学思维体现的地方很多，就如上面提到的将直角三角形发散到一般三角形的过程中所用到的四个步骤，既是从特殊到一般的思维，也是数学上的分析思维，问题可以设计成：从直角三角形到一般三角形，正弦定理的关系是如何得到演绎的？这样的数学思想与方法有没有在其他场合用到过？在最后还可以提出问题：有没有其他方式可以证明对于一般三角形而言正弦定理的成立？这是一个发散性的问题，将学生的思维从课内延伸到课外，可以拓展部分数学基础较好的学生的思维空间.
第三，小结方式. 尽管我们强调“听”是常见刺激，也是最为有效的刺激，但纯粹的师讲生听，或者这个学生讲其他学生听的小结方式却是不可取的. 小结方式一般不对数学知识的梳理与记忆产生直接作用，但其有助于从非智力因素的角度改善学生的学习状态，从而让学生的注意力更好地集中于数学知识的小结上.李善良教授提出活动方式“应突出学生为主的探究、展示活动，设计学生互动的建构活动，突出学生感悟的点拨活动”，从笔者的角度来看是适切的，但一线教师需要根据自己所教学生的实际，将这些教学理念变成可操作的教学实践，尤其需要注意的是，课堂小结一般只有五分钟左右的时间，一个活动怎样小巧且有用，是值得认真探究的问题.笔者在组织正弦定理知识小结的时候，设计的是类似于思维导图的形式，让学生在自己的纸上用自己的语言简洁地描述出正弦定理得出的几个重要环节，然后跟其他学生用语言交流. 通过这种方式，学生的语言表达就有了一个思维基础，耗时不多，却可以让学生的思路更加清晰，从而使得知识的脉络也就更加清晰，掌握情况自然也就更好.
第四，注重学生的数学体验. 这是教师角度需要关注的问题，数学体验原本就应当是数学学习的一个重要组成部分，其属于情感态度价值观的目标范畴，同时又指向学生在数学学习过程中的心理活动. 真正有效的数学学习活动，一定是伴随着有效的数学体验的. 而在学生小结的过程中，数学体验有效与否的判断，关键在于教师的教学观察，学生在小结过程中语言是否流利，表情是否自信，往往就是判断数学体验存在与否的重要途径.
以上四个方面是笔者从自身学习与实践中撷取而出的，应当说基本涵盖了课堂小结的主要因素，具有一定的对比借鉴意义.
[?] 从有效的课堂小结到有效的数学教学
课堂小结是一节课的收官之作，是凝聚学生数学思维的关键所在，关注课堂小结更主要的不是关注小结的形式，而是关注小结的有效性，这种效不仅是基于数学知识的，更是基于学生的数学知识建构的，有效的本义是指学生总结的过程有效，其后才是结果的有效.
由此回望课堂小结之前的数学学习过程，有效教学往往更是指学生在小结之前的知识建构过程，其有效性又与哪些因素有关呢？如果基于课堂小结而分析便可以发现，其与教师的教学设计（尤其是导语设计、过渡语设计、问题设计）等密切相关，也与课堂组织形式（主要有讲授式和探究式两种）密切相关，当然也与学生的学习所得到的评价（判断性评价和非判断性评价）密切相关.有效的教学一定是基于有效的设计、组织与评价的.因此，无论是教学过程，还是教学小结，空谈有效这一概念是没有用的，结果的有效一定来自于过程的有效.
关键词：高中数学；课堂小结；有效教学
江苏省教科院的李善良教授在《高中数学课堂小结的现状分析》一文中，以中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年组织的全国赛课活动中的94节课堂视频为研究对象，详细分析了课堂小结中的师生行为，得出了对日常高中数学教学极为有益的指导性观点. 无独有偶，笔者在近年的教学中，也十分重视课堂的小结，发现自己的某些发现与文中的观点高度接近，因此也就有了一种总结与表达的愿望.
笔者对课堂小结的研究动机完全来源于教学实际的需要. 笔者发现，课堂小结作为课堂教学的重要组成部分，在实际课堂教学中常常在时间和空间两个方面被任意调整，也就说实际上并没有充分体现出其重要作用. 就笔者自身的教学以及所接触的一些教研课而言，课堂小结所用的时间以及所用的方式都存在着较大的随意性，相对于课堂引入及教学过程而言，课堂小结常常只是“虎头”后的“蛇尾”. 但也正如李善良教授所言，课堂小结在促进学生形成良好的认知结构，掌握数学方法，感受数学思想等方面其实起着重要的作用. 每每在走出课堂之后，笔者总会习惯性地思考：学生能否提纲挈领式地总结本课的知识，从而将知识纳入他们的记忆？而随着这个问题而来的就是本课的课堂小结最好应当在什么时候开始，以什么样的方式进行？于是，关于课堂小结的有效性乃至于整个数学教学的有效性就成为笔者思考的问题.
[?] 课堂小结现状带来的思考
从笔者的角度来看，课堂小结的随意性，使得学生的学习常常缺少一个有效的总结，从而又让所学到的数学知识处于离散状态. 这既不利于刚学知识的有效组织，也无助于下面将要学习知识的有效衔接. 而李善良教授则从学术的角度，就课堂小结的引导用语进行了细致的分析，比如说其通过总结发现课堂小结一般可以分成四种情况：从回顾知识角度小结；从谈个人收获角度小结；从总结研究过程角度小结；以及没有明确引导思路的小结. 而这四种情况对应的学生学习结果则是：当教师引导学生回顾知识时，学生就能够主动回顾与梳理所学知识；当谈个人收获时，学生还会提及数学思想与方法；当从研究过程角度小结时，学生就会梳理学习过程，整理学习结果；而当教师的小结漫无目的时，学生就会顾左右而言他.
应当说这样的总结是非常符合实际的，这也说明教师的引导对学生的小结起到了决定性的作用. 笔者以为其背后的原因有二：一是高中学生虽然说年龄达到了独立思考的层次，但是在学习中还是以教师的态度为学习的指引；二是高中数学本身抽象复杂，学生一般难以进行有效的小结，更多的还是依靠教师的引导.
这样的现状提醒所有的高中数学教师：要从课堂教学的完整性，更要从学生思维的完整性角度去看待课堂小结，要将课堂小结那种提纲挈领的作用真正发挥出来，让学生能够以小结内容为载体，有效地对所学知识进行有效的记忆. 笔者查阅了关于学习记忆的相关理论，结果发现有效的课堂小结其实可以起到将所学的知识进行组块的作用，这样就可以减小学生的记忆负担，从而让新知识在学生的记忆中更好地存在着. 而一旦这样的教学预期成为现实，我们就认为这样的课堂小结是有效的.
[?] 有效课堂小结的理论探究
虽然笔者的研究并不是学术性的，但先从理论上对课堂小结的有效性进行探究仍然是必要的.
课堂小结无非是对所学知识进行总结，总结的过程中既需要回顾知识生成的过程，又需要高度关注数学概念与规律的内容.现以“正弦定理”（苏教版，必修5）的课堂小结为例，谈谈笔者的探究结果.
正弦定理这一部分包括正弦定理的得出过程、正弦定理的内容、正弦定理的运用等内容.再分析教材又可以发现，本知识是从直角三角形引入的（教学引入的作用在于给全节知识的学习提供一个好的情境），基于直角三角形提出的问题是：==是否适用于一般三角形？在小结中有必要让学生认识到这一个问题的提出，实际上是数学上从特殊到一般的思维，除了在正弦定理的学习中有所应用之外，在数学学习的其他领域也有着普遍的应用. 而从特殊到一般的转化，在教材中则是通过转化直角三角形中的边角关系、建立直角坐标系并利用三角函数、通过三角形的外接圆以将任意三角形问题转化为直角三角形问题，然后利用向量的投影或者向量的数量积以产生三角函数来实现的. 从数学知识生成的角度来看，这是数学方法所起到的作用. 引导学生在小结过程中用精练的语言描述出这一思想方法，也是促进学生有效学习与记忆的手段.
而从课堂小结本身这一过程来看，则需要建立学习心理学角度的视角，要认识到小结的过程就是一个学生感官受到刺激的过程，而这种刺激又以听觉和视觉刺激为主. 研究表明，学生的学习过程中听觉刺激的作用比视觉刺激的作用更大——这一点可能与常规的认识有所不同，不少人认为看的比听的有效.而这一结论与实际情况是吻合的，无论是在学生的学习中，还是在学生的生活中，大多数信息都是通过听觉输入的，即使有其他的信息输入方式，往往听觉刺激也是不可或缺的. 这提醒我们，无论采用多先进的教学手段，刺激学生的听觉通道是必须的.
[?] 基于有效小结的教学实践
在以上理论探究的基础上，笔者在教学实践中对课堂小结进行了细致的分析与实践，感觉有所收获，现将自己的收获呈现出来与同行分享. 笔者结合李善良教授的观点，尝试从以下几个方面进行阐述：
第一，导语设计. 导语是打开课堂小结的钥匙，是打开学生小结思维的钥匙，需要精心设计. 常用的“本课大家学到了什么”“请大家回顾一下今天的学习过程”这样的导语往往会让学生的思维失之于空洞，而且如果这样的语言一旦程式化，那日常教学中学生的课堂小结就有可能形式化（这一点事实上在李教授的文中也得到了证实）. 笔者在正弦定理的教学中是这样运用导语的：大家回忆一下，正弦定理的得出，经历了一个什么样的过程呢？事实证明，这样的导语可以将学生的思维一下子引导到正弦定理的得出过程上来，也让学生认识到正弦定理的得出过程蕴含着丰富的数学知识. 第二，问题设计. 除了面向知识掌握的问题之外，课堂小结中的问题设计更要面向数学思维，在余弦定理的小结中，数学思维体现的地方很多，就如上面提到的将直角三角形发散到一般三角形的过程中所用到的四个步骤，既是从特殊到一般的思维，也是数学上的分析思维，问题可以设计成：从直角三角形到一般三角形，正弦定理的关系是如何得到演绎的？这样的数学思想与方法有没有在其他场合用到过？在最后还可以提出问题：有没有其他方式可以证明对于一般三角形而言正弦定理的成立？这是一个发散性的问题，将学生的思维从课内延伸到课外，可以拓展部分数学基础较好的学生的思维空间.
第三，小结方式. 尽管我们强调“听”是常见刺激，也是最为有效的刺激，但纯粹的师讲生听，或者这个学生讲其他学生听的小结方式却是不可取的. 小结方式一般不对数学知识的梳理与记忆产生直接作用，但其有助于从非智力因素的角度改善学生的学习状态，从而让学生的注意力更好地集中于数学知识的小结上.李善良教授提出活动方式“应突出学生为主的探究、展示活动，设计学生互动的建构活动，突出学生感悟的点拨活动”，从笔者的角度来看是适切的，但一线教师需要根据自己所教学生的实际，将这些教学理念变成可操作的教学实践，尤其需要注意的是，课堂小结一般只有五分钟左右的时间，一个活动怎样小巧且有用，是值得认真探究的问题.笔者在组织正弦定理知识小结的时候，设计的是类似于思维导图的形式，让学生在自己的纸上用自己的语言简洁地描述出正弦定理得出的几个重要环节，然后跟其他学生用语言交流. 通过这种方式，学生的语言表达就有了一个思维基础，耗时不多，却可以让学生的思路更加清晰，从而使得知识的脉络也就更加清晰，掌握情况自然也就更好.
第四，注重学生的数学体验. 这是教师角度需要关注的问题，数学体验原本就应当是数学学习的一个重要组成部分，其属于情感态度价值观的目标范畴，同时又指向学生在数学学习过程中的心理活动. 真正有效的数学学习活动，一定是伴随着有效的数学体验的. 而在学生小结的过程中，数学体验有效与否的判断，关键在于教师的教学观察，学生在小结过程中语言是否流利，表情是否自信，往往就是判断数学体验存在与否的重要途径.
以上四个方面是笔者从自身学习与实践中撷取而出的，应当说基本涵盖了课堂小结的主要因素，具有一定的对比借鉴意义.
[?] 从有效的课堂小结到有效的数学教学
课堂小结是一节课的收官之作，是凝聚学生数学思维的关键所在，关注课堂小结更主要的不是关注小结的形式，而是关注小结的有效性，这种效不仅是基于数学知识的，更是基于学生的数学知识建构的，有效的本义是指学生总结的过程有效，其后才是结果的有效.
由此回望课堂小结之前的数学学习过程，有效教学往往更是指学生在小结之前的知识建构过程，其有效性又与哪些因素有关呢？如果基于课堂小结而分析便可以发现，其与教师的教学设计（尤其是导语设计、过渡语设计、问题设计）等密切相关，也与课堂组织形式（主要有讲授式和探究式两种）密切相关，当然也与学生的学习所得到的评价（判断性评价和非判断性评价）密切相关.有效的教学一定是基于有效的设计、组织与评价的.因此，无论是教学过程，还是教学小结，空谈有效这一概念是没有用的，结果的有效一定来自于过程的有效.