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引言 一个幽默讽刺的故事
这是一个并不算太新奇的数学故事。一日，教师为测学生的智商出了一题：树上有十只鸟，有人开枪打死了一只鸟，现在树上有几只鸟?学生答案之丰富，大大出乎教师的意料，从一只到十只的都有，而他们反问教师的问题也令人瞠目结舌：有没有一枪二鸟，有没有耳聋的鸟，有没有用无声手枪，有没有怀孕在肚子里的小鸟，有没有不怕死的鸟……
案例 一个发人深省的片段
在一次教学研讨活动中，一位青年教师执教五年级上《数学广角》。课堂教学的理想目标是：从邮政编码、电话号码、身份证号码等编码中，使学生认识到编码的一些特点和重要性，并学会一些简单的编码(当然还有其他的教学目标，暂且不提)。该教师把重点放在研究身份证号码的特点上，通过师生一起探究、讨论得出了身份证的前6位为地址码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码。在课的最后，教师要求学生根据刚才学的身份证号码的特点，再结合实际情况，给自己也编一个身份证号码。孩子们都动起手来，这时有个孩子站起来问：“老师，我是安徽人，地址码跟浙江绍兴的不一样吧，那我的地址码应该写什么呀?”教师说：“你现在在浙江，那就写成跟浙江的一样好了。”孩子悻悻然地坐下了……过了几秒，这个孩子又站起来问：“老师，我编的身份证号码差不多好了，可是我不知道最后一位应该是多少?”教师瞟了他一眼，皱起眉头说：“那你随便写一个数字好了。”“哦”……
分析 一个师者应懂的知识
我们暂且撇开这位教师的课堂教学艺术、教学机智等等因素不说，先来谈谈他的回答究竟是否“正确”?
1、“我是安徽人，地址码跟浙江绍兴的不一样吧，那我的地址码应该写什么呀?”
是呀，那“我”的地址码应该写什么呀?相信在这个班里这样的外地孩子不止一个。研究过教材的教师或者熟悉身份证号码特点的人都知道，前面6位数是地区代码(地址码)，其中1、2位数为各省级政府的代码，3、4位数为地、市级政府的代码，5、6位数为县、区级政府代码。在课一开始，这位教师跟学生一起研究的是一个浙江省绍兴市越城区人的身份证号码330602199604134512，33代表浙江省，06代表绍兴市，02代表越城区(当然教师亦没有在课堂上跟学生讲明这些知识点)，得出他的地址码是3306020让学生自己设计身份证号码时，提问的孩子实际上已经知道“作为安徽人的我跟浙江绍兴越城区人的地址码应该是不一样的”这一常识，而教师却回答：“你现在在浙江，那就写成跟浙江的一样好了。”也许此时教师也已经意识到安徽人的地址码跟浙江人的地址码是不一样的(课前是否知道就不得而知了)，现在这个孩子在浙江，就代表一个在浙江的安徽孩子的身份证的前6位是330602了吗?答案显然是否定的。一个安徽的孩子自然也应有他的地址码，而且还要细究到他是安徽省的哪个地、市级，哪个县、区级。身份证号码具有唯一性，并且代表了一个人的真实身份。那么，这位教师为什么会这样回答呢?
2、“我不知道身份证号码最后一位应该是多少?”
在课中，师生一起研究身份证号码特点的时候，这位教师也强调过“身份证号码的最后一位是校验码”，可一听他对于这个孩子的问题的回答，想来他是不知道“检验码”究竟为何物的。当我们不知道身份证号码的最后一个数是几的时候，真的可以随便写一个吗?答案毋庸置疑也是否定的。其实，检验码是身份证号码中的最后一位(新身份证是第18位，老身份证是第15位)，检验码分别是“0、1、2……10”共11个数字，当检验码为“10”时，为了保证公民身份证号码18位，所以用“x”表示。它是根据前面十七位数字码，按照ISO7064：1983，MOD 11-2校验码计算出来的检验码。具体计算方法为：(1)将前面的身份证号码17位数分别乘不同的系数。从第一位到第十七位的系数分别为：7、9、10、5、8、4、2、1、6、3、7、9、10、5、8、4、2i(2)将这17位数字和系数相乘的结果相加；(3)用加出来的和除以11，看余数是多少；(4)余数只可能有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这11个数字，其分别对应的最后一位身份证的号码为1、0、x、9、8、7、6、5、4、3、2；(5)通过上面得知，如果余数是2，就会在身份证的第18位数字上出现罗马数字的X。如果余数是10，身份证的最后一位号码就是2。
那么上课教师有没有研究过身份证号码的这些特点?他为什么会回答学生“你随便写一个数字好了”呢?在教师行为的背后又能看出来什么呢7课后，与该老师交流，他坦言，这些知识我也不知道!从来也没想过一张小小的身份证有这么多知识!
延伸 一段触目惊心的插曲
上面的情形引起了我的反思，使我想到了“专业素养”这个词汇。正当我想为此写点什么的时候，无独有偶，在我身边又发生了一件事。那是一张竞赛卷上的一道题：
下面是王明家去年3～5月份电表读数记录，请根据表格回答下列问题
(1)王明家四月份用电是( )度。
(2)如果每度电收费0.42元，王明家五月份要交电费( )元。
根据出卷老师的正确答案显示：
(1)王明家四月份用电是(1024)度。
(2)如果每度电收费0.42元，王明家五月份要交电费(462)元。
可是这个答案真的是标准答案吗?答案也是否定的。
反思 一场早该醒悟的梦魇
纵观新课程下的课堂，这样的事例只有这一两个吗?只有在这种情形下出现吗?我们的日常教学中就没有吗?我们常说，凡事不要钻牛角尖，可是在教育下一代时、在传道授业时、在一大群孩子闪着明亮清澈的眼睛望着他们心中最崇拜的老师时，这个牛角尖还不要钻吗?是否就该让这一切随风飘散了呢?常听老师们说这样一句话：教小学时间长了，就只有小学水平了；教低年级时间长了，就只有低年级水平了。我想这里所说的水平应该是指“数学专业水平”，即“专业素养”。一次，读六年级的表弟告诉我，他去向楼下一位教二年级的数学老师请教一道题，没想到那位老师也不会，表弟很失望。“不会解题”也从一个侧面反映了数学教师专业素养的缺失。由此，我们是否该怀疑：自己都不懂的老师怎么教懵懵懂懂的孩子?试问，我们的新课程需要的是这样的结果吗?……
专业素养，这是一个对于我们来说并不陌生的词。数学专业素养，也并不是一个刚开始研究的课题。《数学课程标准》强调数学教学是师生互动生成的过程，互动生成的课堂更呈现出丰富性、复杂性和多变性，与传统课堂相比具有更大的开放性和非预设性等特点。面对生成的课堂，需要我们教师有广而深的专业知识来恰当处理教材，有活跃的教学机智来灵活处理非预设生成，也就是需要我们教师有深厚的内涵来应对课堂中的非预设生成。可是能真正把这几个字扛在身上的又有几个?包括我自己，是否就真正具备作为一个小学数学教师的专业素养呢?反思之后我深深地自责着…… 自身理论素养的缺乏，数学专业知识的缺失，能培育好下一代吗?案例中的教师呢?当孩子的一个、两个问题抛给他时，由于对这方面的专业知识缺乏一定程度的深入，导致学生不理解、不信服。G·波利亚说：“如果对有的东西一知半解，缺乏较好的训练与培养，那么即使有良好的愿望、兴趣，有教学方法，甚至还有其他手段也无济于事，因为他连把内容讲得一清二楚这种起码的事都做不到。”因此教师采取的方法也就只能是敷衍了事了。
记得一位教研员说过这样一段话：“很少有一位小学语文老师会认为只要读懂小学语文课本就可以教好小学语文课，但有不少小学数学老师坦然承认自己初中数学知识都忘记得差不多了，并且往往不认为这对搞好小学数学教学有什么影响。”言下之意很明显：事实并非如此。数学新教材对相关知识点的调整、增删，对我们一线教师提出了更为严峻的挑战：新教材知识点多了，难了；而相反，教材新的知识点的出现却没有教师新的专业素养，有些教师对一些基本数学概念的理解较为肤浅，有时甚至仅仅停留在小学数学教材所阐述的水平上。比如，对“轴对称”的理解，就停留在“对折后左右两边互相重合”的直观操作水平，于是对直线是否是对称图形这类问题无所适从。统计概率内容、空间图形内容、几何变换内容(平移、旋转等)等，教学时，往往靠自己先阅读小学数学教材，现买现卖，比较吃力。
事实上，在实际的教学过程中，有多少教师被学生问得张口结舌?有多少教师能解读教材，重新建构教材?有多少教师能跳出教材教教材?有多少教师能创建出自己的课程?你、我、他，也许就是这多少个中的一个。对于教育，我们要感悟的有很多，可是假如“连把内容讲得一清二楚这种起码的事都做不到”，我们还能感悟什么?我们又能感悟到什么?“对于小学数学教育教学过程中最本质的东西，如果不掌握，就很难胜任小学数学教学工作。”这是一位专家说的，也是每位在实践中碰过壁的教师深切感受到的。作为小学数学教师，我们对于“数与数系的认识，随机现象的数学，几何变换的初步知识，极限、微分、积分等初步知识，离散数学的初步知识(如简单的排列组合问题)，数学思想及数学文化与数学哲学方面”等都应有一定程度的掌握和了解。
结语 一句实该自醒的话语
俗话说，要想教给学生半杯水，我们自己先要有一杯水。我们走进新课程的时候，千万别忘了我们自己是谁，别忘了我们有多少水。
这是一个并不算太新奇的数学故事。一日，教师为测学生的智商出了一题：树上有十只鸟，有人开枪打死了一只鸟，现在树上有几只鸟?学生答案之丰富，大大出乎教师的意料，从一只到十只的都有，而他们反问教师的问题也令人瞠目结舌：有没有一枪二鸟，有没有耳聋的鸟，有没有用无声手枪，有没有怀孕在肚子里的小鸟，有没有不怕死的鸟……
案例 一个发人深省的片段
在一次教学研讨活动中，一位青年教师执教五年级上《数学广角》。课堂教学的理想目标是：从邮政编码、电话号码、身份证号码等编码中，使学生认识到编码的一些特点和重要性，并学会一些简单的编码(当然还有其他的教学目标，暂且不提)。该教师把重点放在研究身份证号码的特点上，通过师生一起探究、讨论得出了身份证的前6位为地址码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码。在课的最后，教师要求学生根据刚才学的身份证号码的特点，再结合实际情况，给自己也编一个身份证号码。孩子们都动起手来，这时有个孩子站起来问：“老师，我是安徽人，地址码跟浙江绍兴的不一样吧，那我的地址码应该写什么呀?”教师说：“你现在在浙江，那就写成跟浙江的一样好了。”孩子悻悻然地坐下了……过了几秒，这个孩子又站起来问：“老师，我编的身份证号码差不多好了，可是我不知道最后一位应该是多少?”教师瞟了他一眼，皱起眉头说：“那你随便写一个数字好了。”“哦”……
分析 一个师者应懂的知识
我们暂且撇开这位教师的课堂教学艺术、教学机智等等因素不说，先来谈谈他的回答究竟是否“正确”?
1、“我是安徽人，地址码跟浙江绍兴的不一样吧，那我的地址码应该写什么呀?”
是呀，那“我”的地址码应该写什么呀?相信在这个班里这样的外地孩子不止一个。研究过教材的教师或者熟悉身份证号码特点的人都知道，前面6位数是地区代码(地址码)，其中1、2位数为各省级政府的代码，3、4位数为地、市级政府的代码，5、6位数为县、区级政府代码。在课一开始，这位教师跟学生一起研究的是一个浙江省绍兴市越城区人的身份证号码330602199604134512，33代表浙江省，06代表绍兴市，02代表越城区(当然教师亦没有在课堂上跟学生讲明这些知识点)，得出他的地址码是3306020让学生自己设计身份证号码时，提问的孩子实际上已经知道“作为安徽人的我跟浙江绍兴越城区人的地址码应该是不一样的”这一常识，而教师却回答：“你现在在浙江，那就写成跟浙江的一样好了。”也许此时教师也已经意识到安徽人的地址码跟浙江人的地址码是不一样的(课前是否知道就不得而知了)，现在这个孩子在浙江，就代表一个在浙江的安徽孩子的身份证的前6位是330602了吗?答案显然是否定的。一个安徽的孩子自然也应有他的地址码，而且还要细究到他是安徽省的哪个地、市级，哪个县、区级。身份证号码具有唯一性，并且代表了一个人的真实身份。那么，这位教师为什么会这样回答呢?
2、“我不知道身份证号码最后一位应该是多少?”
在课中，师生一起研究身份证号码特点的时候，这位教师也强调过“身份证号码的最后一位是校验码”，可一听他对于这个孩子的问题的回答，想来他是不知道“检验码”究竟为何物的。当我们不知道身份证号码的最后一个数是几的时候，真的可以随便写一个吗?答案毋庸置疑也是否定的。其实，检验码是身份证号码中的最后一位(新身份证是第18位，老身份证是第15位)，检验码分别是“0、1、2……10”共11个数字，当检验码为“10”时，为了保证公民身份证号码18位，所以用“x”表示。它是根据前面十七位数字码，按照ISO7064：1983，MOD 11-2校验码计算出来的检验码。具体计算方法为：(1)将前面的身份证号码17位数分别乘不同的系数。从第一位到第十七位的系数分别为：7、9、10、5、8、4、2、1、6、3、7、9、10、5、8、4、2i(2)将这17位数字和系数相乘的结果相加；(3)用加出来的和除以11，看余数是多少；(4)余数只可能有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这11个数字，其分别对应的最后一位身份证的号码为1、0、x、9、8、7、6、5、4、3、2；(5)通过上面得知，如果余数是2，就会在身份证的第18位数字上出现罗马数字的X。如果余数是10，身份证的最后一位号码就是2。
那么上课教师有没有研究过身份证号码的这些特点?他为什么会回答学生“你随便写一个数字好了”呢?在教师行为的背后又能看出来什么呢7课后，与该老师交流，他坦言，这些知识我也不知道!从来也没想过一张小小的身份证有这么多知识!
延伸 一段触目惊心的插曲
上面的情形引起了我的反思，使我想到了“专业素养”这个词汇。正当我想为此写点什么的时候，无独有偶，在我身边又发生了一件事。那是一张竞赛卷上的一道题：
下面是王明家去年3～5月份电表读数记录，请根据表格回答下列问题
(1)王明家四月份用电是( )度。
(2)如果每度电收费0.42元，王明家五月份要交电费( )元。
根据出卷老师的正确答案显示：
(1)王明家四月份用电是(1024)度。
(2)如果每度电收费0.42元，王明家五月份要交电费(462)元。
可是这个答案真的是标准答案吗?答案也是否定的。
反思 一场早该醒悟的梦魇
纵观新课程下的课堂，这样的事例只有这一两个吗?只有在这种情形下出现吗?我们的日常教学中就没有吗?我们常说，凡事不要钻牛角尖，可是在教育下一代时、在传道授业时、在一大群孩子闪着明亮清澈的眼睛望着他们心中最崇拜的老师时，这个牛角尖还不要钻吗?是否就该让这一切随风飘散了呢?常听老师们说这样一句话：教小学时间长了，就只有小学水平了；教低年级时间长了，就只有低年级水平了。我想这里所说的水平应该是指“数学专业水平”，即“专业素养”。一次，读六年级的表弟告诉我，他去向楼下一位教二年级的数学老师请教一道题，没想到那位老师也不会，表弟很失望。“不会解题”也从一个侧面反映了数学教师专业素养的缺失。由此，我们是否该怀疑：自己都不懂的老师怎么教懵懵懂懂的孩子?试问，我们的新课程需要的是这样的结果吗?……
专业素养，这是一个对于我们来说并不陌生的词。数学专业素养，也并不是一个刚开始研究的课题。《数学课程标准》强调数学教学是师生互动生成的过程，互动生成的课堂更呈现出丰富性、复杂性和多变性，与传统课堂相比具有更大的开放性和非预设性等特点。面对生成的课堂，需要我们教师有广而深的专业知识来恰当处理教材，有活跃的教学机智来灵活处理非预设生成，也就是需要我们教师有深厚的内涵来应对课堂中的非预设生成。可是能真正把这几个字扛在身上的又有几个?包括我自己，是否就真正具备作为一个小学数学教师的专业素养呢?反思之后我深深地自责着…… 自身理论素养的缺乏，数学专业知识的缺失，能培育好下一代吗?案例中的教师呢?当孩子的一个、两个问题抛给他时，由于对这方面的专业知识缺乏一定程度的深入，导致学生不理解、不信服。G·波利亚说：“如果对有的东西一知半解，缺乏较好的训练与培养，那么即使有良好的愿望、兴趣，有教学方法，甚至还有其他手段也无济于事，因为他连把内容讲得一清二楚这种起码的事都做不到。”因此教师采取的方法也就只能是敷衍了事了。
记得一位教研员说过这样一段话：“很少有一位小学语文老师会认为只要读懂小学语文课本就可以教好小学语文课，但有不少小学数学老师坦然承认自己初中数学知识都忘记得差不多了，并且往往不认为这对搞好小学数学教学有什么影响。”言下之意很明显：事实并非如此。数学新教材对相关知识点的调整、增删，对我们一线教师提出了更为严峻的挑战：新教材知识点多了，难了；而相反，教材新的知识点的出现却没有教师新的专业素养，有些教师对一些基本数学概念的理解较为肤浅，有时甚至仅仅停留在小学数学教材所阐述的水平上。比如，对“轴对称”的理解，就停留在“对折后左右两边互相重合”的直观操作水平，于是对直线是否是对称图形这类问题无所适从。统计概率内容、空间图形内容、几何变换内容(平移、旋转等)等，教学时，往往靠自己先阅读小学数学教材，现买现卖，比较吃力。
事实上，在实际的教学过程中，有多少教师被学生问得张口结舌?有多少教师能解读教材，重新建构教材?有多少教师能跳出教材教教材?有多少教师能创建出自己的课程?你、我、他，也许就是这多少个中的一个。对于教育，我们要感悟的有很多，可是假如“连把内容讲得一清二楚这种起码的事都做不到”，我们还能感悟什么?我们又能感悟到什么?“对于小学数学教育教学过程中最本质的东西，如果不掌握，就很难胜任小学数学教学工作。”这是一位专家说的，也是每位在实践中碰过壁的教师深切感受到的。作为小学数学教师，我们对于“数与数系的认识，随机现象的数学，几何变换的初步知识，极限、微分、积分等初步知识，离散数学的初步知识(如简单的排列组合问题)，数学思想及数学文化与数学哲学方面”等都应有一定程度的掌握和了解。
结语 一句实该自醒的话语
俗话说，要想教给学生半杯水，我们自己先要有一杯水。我们走进新课程的时候，千万别忘了我们自己是谁，别忘了我们有多少水。