论文部分内容阅读
【摘要】：不等式问题一直是高考命题中的一个热点与难点，对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定势，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。针对这种情况，本文就结合教学中的实例谈谈不等式问题的优化策略。
【关键词】： 不等式；优化策略
[Abstract]: inequality problem has always been a hot and difficult to solve in the college entrance examination, some inequalities, often have students due to inflexible or thinking, lead to termination or abandoned by calculation operation is too numerous and confused. In view of this situation, the optimization strategy with examples about inequality problems in teaching.
[keyword]: inequality; optimization strategy
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定势，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。针对这种情况，本文就结合教学中的实例谈谈不等式问题的优化策略。
1.逆向思考，执果索因
例1.已知适合不等式的的最大值为3,求的值.
解析:按先去绝对值后解不等式再求最值的常规方法,势必很繁琐.由的最大值为3注意到“3”是不等式解的一个端点值,利用不等式的性质得“3”是对应方程的一个解,代入得或.
当时,不等式为,因为
所以,或满足题意.
当时,不等式为 .
易知5是不等式的解,故不等式有大于3的解,不满足题意.
所以
注意:先待定后验证,解法令人“拍案叫绝”。
2．挖掘隐含条件，避开复杂讨论
例2．已知二次函数，是否存在使的定义域和
值域分别为和？说明理由。
解析：若就函数的对称轴和区间的相對位置来讨论，势必很繁。注意到函数，从而由，即，又可知在区间上函数为增函数，根据已知条件得,因为，解得。
3．积零为整，各异特征总体说明
例3．已知函数，若不等式在上恒成立，求整数的取值范围。
解析：将代入得，不等式在上恒成立，整理后即:对上恒成立。
设。
因为，只须证时即可，的最大值的讨论要考虑到与区间的关系，此时不妨放缓讨论，总体分析其特征，注意到，故问题的解只需，解得。
注：本题的解答实际上是一种“化整为零”分析，“积零为整”解决的解题方法。
4．构建函数，实现高次问题的常规处理
例4．问是否存在，使得成立？
解析：从高次不等式出发显然无法完成解答，不妨转换视角从函数的角度、利用函数的性质来解决。
设，考虑在上的单调性。
因为，显然当时，
所以为单调减函数。
又因为，
所以存在，使得成立。
注：避开高次不等式，运用导数来研究函数性质是一种新解。
5．等价转化、回避参数
例5．已知且，求证：
解析：对于本题，很多人都会按先去绝对值符号，后按和 进行分类讨论来解，事实上，正因为有绝对值利用换底公式即可得到解答与参数无关。
,
因为，所以，
所以。
所以。
6．避重就轻，巧用性质
例6．设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围。
分析：函数的单调区间为和，那么在某个区间内还是分别在两个区间内？如果就此展开讨论将比较复杂而且不易完整，巧用偶函数的性质，就大可不必讨论变量可能所在的区间了。
解：因为已知为偶函数，所以，
由，得，
根据单调性得。
7．转换视角、变更主元
例7．若在时恒为正数，求实数的取值范围。
分析：本题如果当成是关于的二次函数，这样就等于走进了一个讨论的大圈子，而且很难顺利地走出来。变更主元把原函数当成是关于的一个函数，则问题的解决就仅与两个端点有关了。
解析：设关于的函数
当时恒成立。
即。
不等式问题的解法还有很多，我们在解决不等式的问题时要善于观察，勤于思考，能够把复杂问题简单化，从而有效的提高解题的速度和准确率。
【关键词】： 不等式；优化策略
[Abstract]: inequality problem has always been a hot and difficult to solve in the college entrance examination, some inequalities, often have students due to inflexible or thinking, lead to termination or abandoned by calculation operation is too numerous and confused. In view of this situation, the optimization strategy with examples about inequality problems in teaching.
[keyword]: inequality; optimization strategy
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定势，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。针对这种情况，本文就结合教学中的实例谈谈不等式问题的优化策略。
1.逆向思考，执果索因
例1.已知适合不等式的的最大值为3,求的值.
解析:按先去绝对值后解不等式再求最值的常规方法,势必很繁琐.由的最大值为3注意到“3”是不等式解的一个端点值,利用不等式的性质得“3”是对应方程的一个解,代入得或.
当时,不等式为,因为
所以,或满足题意.
当时,不等式为 .
易知5是不等式的解,故不等式有大于3的解,不满足题意.
所以
注意:先待定后验证,解法令人“拍案叫绝”。
2．挖掘隐含条件，避开复杂讨论
例2．已知二次函数，是否存在使的定义域和
值域分别为和？说明理由。
解析：若就函数的对称轴和区间的相對位置来讨论，势必很繁。注意到函数，从而由，即，又可知在区间上函数为增函数，根据已知条件得,因为，解得。
3．积零为整，各异特征总体说明
例3．已知函数，若不等式在上恒成立，求整数的取值范围。
解析：将代入得，不等式在上恒成立，整理后即:对上恒成立。
设。
因为，只须证时即可，的最大值的讨论要考虑到与区间的关系，此时不妨放缓讨论，总体分析其特征，注意到，故问题的解只需，解得。
注：本题的解答实际上是一种“化整为零”分析，“积零为整”解决的解题方法。
4．构建函数，实现高次问题的常规处理
例4．问是否存在，使得成立？
解析：从高次不等式出发显然无法完成解答，不妨转换视角从函数的角度、利用函数的性质来解决。
设，考虑在上的单调性。
因为，显然当时，
所以为单调减函数。
又因为，
所以存在，使得成立。
注：避开高次不等式，运用导数来研究函数性质是一种新解。
5．等价转化、回避参数
例5．已知且，求证：
解析：对于本题，很多人都会按先去绝对值符号，后按和 进行分类讨论来解，事实上，正因为有绝对值利用换底公式即可得到解答与参数无关。
,
因为，所以，
所以。
所以。
6．避重就轻，巧用性质
例6．设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围。
分析：函数的单调区间为和，那么在某个区间内还是分别在两个区间内？如果就此展开讨论将比较复杂而且不易完整，巧用偶函数的性质，就大可不必讨论变量可能所在的区间了。
解：因为已知为偶函数，所以，
由，得，
根据单调性得。
7．转换视角、变更主元
例7．若在时恒为正数，求实数的取值范围。
分析：本题如果当成是关于的二次函数，这样就等于走进了一个讨论的大圈子，而且很难顺利地走出来。变更主元把原函数当成是关于的一个函数，则问题的解决就仅与两个端点有关了。
解析：设关于的函数
当时恒成立。
即。
不等式问题的解法还有很多，我们在解决不等式的问题时要善于观察，勤于思考，能够把复杂问题简单化，从而有效的提高解题的速度和准确率。