论文部分内容阅读
在一次下乡教育督导中，听了一位一年级女教师教学“加减法关系”的复习课。课堂教学中出示如下板书：
听到这，我为之一振：这不是一堂单纯的加减法复习课，其中包含的信息量太大了，既再现了加法与减法的产生过程，也让一年级学生初步感受加法与减法的依存关系，更让他们在朦胧中悟到了一些连自己都说不清楚的东西，那就是数学思想。也许，授课教师压根儿就没有从这个高度去思考她的设计理念与教学流程，但在这看似简单的板书中能找到十多种数学思想的印记，如组合思想、符号化思想、抽象思想、对应思想、分类思想、穷举思想、模型思想、类比思想、方程思想、可逆思想、变中抓不变思想、函数思想等。
自修订后的课程标准将“双基”变为“四基”，基本的数学思想越来越受到一线教师的青睐。那么，上述案例如何体现蕴含的数学思想呢？如授课教师问学生：“8是由哪两个数组成的？”学生说由1和7、2和6、3和5、4和4、0和8组成，这里就渗透了组合思想在里面，虽然没有严格意义上组合思想的定义，但对低年级的学生来说，有这样一个雏形就足够了。随着知识的积累，这将和排列一起形成初等数学中排列组合的重要内容，又将涉及更多的数学思想与方法。
上述案例中，两根小棒和六根小棒分别用“2”与“6”来表示，这是抽象思想的再现。抽象思想是最基本的数学思想之一，它是在学生大量感知实物、数量的基础上建立的一种对应关系，用数量来刻画事物，再从数量抽象为数，最后又返回去感知数量的多少和数的大小，使学生不断感悟数量、数及其抽象的特点，逐步形成的一种思想。有了数的抽象这个过程，学生就会将这种感悟、实践经验、思维活动经验迁移到点、线、角或其他量的定义上去，形成认识数学的基本特征之一。同时，“2”和“6”本来就是一种表示数的符号，符号是数学存在的具体化身。学生就在这种无形感知中接受符号、运用符号，体验符号所带来的无穷魅力，符号化思想就会在他们的脑海里根深蒂固。
通过“2”和“6”两个符号，可以写出上述板书中的两个加法与两个减法算式，当教师问“加法算式还有吗？减法算式能写几个”时，学生头脑中的印记与数学客观事实告诉他们，库存的答案没有了，穷举的思想在这里崭露头角。列举关于“2”和“6”的加法算式与减法算式后，学生会自然地将加法归为一类，将减法归为一类，以至于后面关于1和7的算式又归为一大类等，这里学生于无形之中又涉及分类的思想。数学中的分类思想是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类进行研究，从而解决问题的一种数学思想。它贯穿于整个小学数学教学之中，可以说无处不在，既有概念的分类，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等的分类，又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式等，还有几何中图形位置关系不确定的分类，如相似三角形的不确定等。分类必须有一个标准，否则就会导致解题时出现错误或漏解。同时，分类思想也会延伸到生活与其他学科之中，不仅仅只限于数学领域。可以说，它是一个广义的、公共的思想范畴。
当学生看到2、6、8这三个数字时，头脑中就会想到2 6=8、6 2=8两个加法算式和8-2=6、8-6=2两个减法算式，这里根本不需要教师过多的提醒与暗示，说明加法与减法的模型在学生头脑中已初步建立，模型思想的渗透已初见效果。模型思想是数学的基本思想之一，它是学生体会和理解数学与外面世界联系的基本途径。小学阶段的基本数学模型主要有加法模型、乘法模型、函数模型、方程模型等，其中加法模型可以推演出减法模型，乘法模型可以推演出除法模型，函数模型主要表现在周长公式、面积公式、体积公式以及“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”等数量关系中。在数的运算教学中，教师应有意识地在生活问题或具体情境的数学化过程中，渗透加法模型与乘法模型的思想，并引导学生利用思想来解决问题。这样经过多次的建立与求解，模型思想就会日趋成熟。同时，在加法模型的建立过程中推演出减法模型，通过减法想到加法，这又是可逆思想的运用。可逆思想是逻辑思维中的基本思想，是当顺向思维难以解答时，可以从问题或条件思考寻求解题思路的一种思想方法，在解决许多实际问题中经常用到。
有了上述加减法模型的思维引领，对于后面8分成1与7、3与5、4与4等情况，学生就会通过类比的思想方法找出它们之间的关系，也会找到组成9、10、11等数的两个数之间的关系，还可能类比到其他的数。类比思想是依据两类数学对象的相似性，将已知一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。它不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得如顺水推舟般的自然和简洁，还可以激发学生的创造力。类比思想在学生的数学学习中经常用到，如学习5的乘法口诀推导过程后，他们会尝试推导6的乘法口诀、7的乘法口诀、8的乘法口诀等；学习整数的四则混合运算后，学生会类比到小数与分数上去。
另外，小棒与数字的对应，体现了对应的思想；几个不变的数字与变化的算式，又渗透了变中抓不变的思想；加法与减法算式是一个等式，中间的一个量变化，随之影响另一个确定量的变化，这里实际上蕴含着方程与函数的思想……有些思想并不是单独存在的，而是伴随着其他思想应运而生，单独割裂开来反而冏境丛生。
中国科学院院士张景中先生曾说过：“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”这些思想是学生学习掌握各部分数学内容的灵魂，是学生形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决问题的主线。因此，学好一门学科的基本知识和基本技能，让学生清晰地了解知识的产生过程、知识间的相互联系以及整个知识体系的框架，在此基础上使学生形成终身受益的思想方法，是教师切需要解决的问题。
（责编 杜 华）
听到这，我为之一振：这不是一堂单纯的加减法复习课，其中包含的信息量太大了，既再现了加法与减法的产生过程，也让一年级学生初步感受加法与减法的依存关系，更让他们在朦胧中悟到了一些连自己都说不清楚的东西，那就是数学思想。也许，授课教师压根儿就没有从这个高度去思考她的设计理念与教学流程，但在这看似简单的板书中能找到十多种数学思想的印记，如组合思想、符号化思想、抽象思想、对应思想、分类思想、穷举思想、模型思想、类比思想、方程思想、可逆思想、变中抓不变思想、函数思想等。
自修订后的课程标准将“双基”变为“四基”，基本的数学思想越来越受到一线教师的青睐。那么，上述案例如何体现蕴含的数学思想呢？如授课教师问学生：“8是由哪两个数组成的？”学生说由1和7、2和6、3和5、4和4、0和8组成，这里就渗透了组合思想在里面，虽然没有严格意义上组合思想的定义，但对低年级的学生来说，有这样一个雏形就足够了。随着知识的积累，这将和排列一起形成初等数学中排列组合的重要内容，又将涉及更多的数学思想与方法。
上述案例中，两根小棒和六根小棒分别用“2”与“6”来表示，这是抽象思想的再现。抽象思想是最基本的数学思想之一，它是在学生大量感知实物、数量的基础上建立的一种对应关系，用数量来刻画事物，再从数量抽象为数，最后又返回去感知数量的多少和数的大小，使学生不断感悟数量、数及其抽象的特点，逐步形成的一种思想。有了数的抽象这个过程，学生就会将这种感悟、实践经验、思维活动经验迁移到点、线、角或其他量的定义上去，形成认识数学的基本特征之一。同时，“2”和“6”本来就是一种表示数的符号，符号是数学存在的具体化身。学生就在这种无形感知中接受符号、运用符号，体验符号所带来的无穷魅力，符号化思想就会在他们的脑海里根深蒂固。
通过“2”和“6”两个符号，可以写出上述板书中的两个加法与两个减法算式，当教师问“加法算式还有吗？减法算式能写几个”时，学生头脑中的印记与数学客观事实告诉他们，库存的答案没有了，穷举的思想在这里崭露头角。列举关于“2”和“6”的加法算式与减法算式后，学生会自然地将加法归为一类，将减法归为一类，以至于后面关于1和7的算式又归为一大类等，这里学生于无形之中又涉及分类的思想。数学中的分类思想是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类进行研究，从而解决问题的一种数学思想。它贯穿于整个小学数学教学之中，可以说无处不在，既有概念的分类，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等的分类，又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式等，还有几何中图形位置关系不确定的分类，如相似三角形的不确定等。分类必须有一个标准，否则就会导致解题时出现错误或漏解。同时，分类思想也会延伸到生活与其他学科之中，不仅仅只限于数学领域。可以说，它是一个广义的、公共的思想范畴。
当学生看到2、6、8这三个数字时，头脑中就会想到2 6=8、6 2=8两个加法算式和8-2=6、8-6=2两个减法算式，这里根本不需要教师过多的提醒与暗示，说明加法与减法的模型在学生头脑中已初步建立，模型思想的渗透已初见效果。模型思想是数学的基本思想之一，它是学生体会和理解数学与外面世界联系的基本途径。小学阶段的基本数学模型主要有加法模型、乘法模型、函数模型、方程模型等，其中加法模型可以推演出减法模型，乘法模型可以推演出除法模型，函数模型主要表现在周长公式、面积公式、体积公式以及“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”等数量关系中。在数的运算教学中，教师应有意识地在生活问题或具体情境的数学化过程中，渗透加法模型与乘法模型的思想，并引导学生利用思想来解决问题。这样经过多次的建立与求解，模型思想就会日趋成熟。同时，在加法模型的建立过程中推演出减法模型，通过减法想到加法，这又是可逆思想的运用。可逆思想是逻辑思维中的基本思想，是当顺向思维难以解答时，可以从问题或条件思考寻求解题思路的一种思想方法，在解决许多实际问题中经常用到。
有了上述加减法模型的思维引领，对于后面8分成1与7、3与5、4与4等情况，学生就会通过类比的思想方法找出它们之间的关系，也会找到组成9、10、11等数的两个数之间的关系，还可能类比到其他的数。类比思想是依据两类数学对象的相似性，将已知一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。它不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得如顺水推舟般的自然和简洁，还可以激发学生的创造力。类比思想在学生的数学学习中经常用到，如学习5的乘法口诀推导过程后，他们会尝试推导6的乘法口诀、7的乘法口诀、8的乘法口诀等；学习整数的四则混合运算后，学生会类比到小数与分数上去。
另外，小棒与数字的对应，体现了对应的思想；几个不变的数字与变化的算式，又渗透了变中抓不变的思想；加法与减法算式是一个等式，中间的一个量变化，随之影响另一个确定量的变化，这里实际上蕴含着方程与函数的思想……有些思想并不是单独存在的，而是伴随着其他思想应运而生，单独割裂开来反而冏境丛生。
中国科学院院士张景中先生曾说过：“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”这些思想是学生学习掌握各部分数学内容的灵魂，是学生形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决问题的主线。因此，学好一门学科的基本知识和基本技能，让学生清晰地了解知识的产生过程、知识间的相互联系以及整个知识体系的框架，在此基础上使学生形成终身受益的思想方法，是教师切需要解决的问题。
（责编 杜 华）