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【摘要】数学教学的过程就是运用各种教学理论传授数学知识及培养学生思维能力的过程；而数学知识将最终转化为数学应用能力及研究能力。因此，在数学教学过程中，就应该着重进行中学生思维能力以及应用和研究能力的培养。
【关键词】数学思想 思维能力 应用及研究
数学思想及数学思维能力是在数学的发展史上形成和发展起来的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例）以及数学方法的本质性认识。它表现在对数学对象以及数学概念、命题和数学模型的分析与概括中，还表现在新的数学方法的产生过程。不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题（定理法则等）更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。
有思想深度的课，能给学生留下长久的思想激动和对知识的深刻理解，在以后的学习和工作中，他们可能遗忘了具体的数学知识，但数学地思考问题的方法将永存。我们进行数学教学的根本目的，是通过数学知识和观念的培养，通过一些数学思想的传授，要让学生形成一种“数学头脑”，使他们在观察问题和提出问题、解决问题的每一个过程中，都带有鲜明的“数学色彩”，这样的数学一定会有真正的实效和长效，真正提高人的素质。
数学的应用能力是一种综合能力，它离不开数学运算、数学推理、空间想象等基本的数学能力，注重双基和四大能力的培养是解决学生应用意识不可缺少的武器。在双基和四大能力的基础上培养学生分析问题和解决问题的能力，把应用问题的渗透和平时教学有机的结合起来，循序渐进。在数学应用意识和能力的培养中，尤其应重视学生探索精神和创新能力的培养，把数学应用问题设计成探索和开放性试题，让学生积极参与，在解题过程中充分体现学生的主体地位。
要突出数学应用，就应站在构建数学模型的高度来认识并实施应用题教学，要更加强调如何从实际问题中发现并抽象出数学问题（这是数学应用教育中最为重要的一点），然后试图用已有的数学模型（如式、方程、不等式、函数、统计量等）来解决问题，最后用其结果来阐释这个实际问题，这是教学中一种“实践——理论——实践”的策略。它主要侧重于从实际问题中提出并表达数学问题的能力，运用并初步构建数学模型的能力，对数学问题及模型进行变换化归的能力，对数学结果进行检验和评价、阐释和处理的能力。为此，在“提出问题”阶段，教师的作用是创设问题的情境，而“问题”的设计是关键，它要符合学生可接受、有障碍、易产生探索欲望的原则，激发起学生的探索兴趣，接受问题的挑战。在“分析问题”阶段，教师要从观念和方法的层次上去启发学生，鼓励学生探求思路，克服困难，进行独立的探究，展开必要的讨论和交流，在探索的过程中培养毅力和坚忍不拔的精神。在“解决问题”的阶段，教师要引导学生落实解答过程，把能力培养和基础知识、基本技能的学习结合起来，使学生感到成功的喜悦并树立学习的自信心。在“理性归纳”阶段，教师要引导学生对问题的解答过程进行检验、评价、反馈、归纳、小结，并结合问题解决的过程进行学法指导，而学生要通过理性归纳形成新的认知结构，形成数学能力。
数学的研究能力，是指能够用高等数学的观点去解剖初等数学的基本概念和问题，揭示出蕴含在数学知识中的数学思想、数学方法，了研究解它们形成、发展的规律以及与数学历史发展的内在联系，从而自主分析、体会教材，在质疑问难中探索，在问题解决中研究。 数学探究性学习就是在一定的数学学习情境中，在老师的指导下，发现问题，并通过观察、分析、类比、归纳、猜想、证明等一系列数学思维活动；或通过调查研究，动手操作、表达与交流等数学实践活动，解决问题，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。 中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多（不是全部）概念和理论的原型和特例所在。因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键。比如：连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值、最小值。用原有的高中数学知识在解决高次函数时，就会显得捉襟见肘，力不从心。但是利用导数的知识和方法，就显得得心应手，从容不迫。由此看来，要力求将高等数学思想全面渗透入中学数学，要在高等数学概念、理论的通俗化，与中学数学概念、理论的抽象化上，寻找高等数学与中学数学的结合点。
为此，就要求我们课中要深入钻研教材和参阅有关参考材料，要善于从具体的数学知识中挖掘和提炼出数学思想方法，要预先把全书，每单元章节所蕴涵的数学思想方法及它们之间的联系梳理明确。 因为数学思想方法蕴涵在数学知识的产生、内涵和发展之中，故一般都可采用以分析解决问题为主线的学习方法，具体来说，要注意抓住：（1）研究概念的形成过程、定理与法则的发现过程、公式的推导过程、证明思路和解决问题方法的探索过程等；（2）研究概念、定理、公式或方法的本质。例如极限方法实质是一种以运动的、相互联系和量变引起质变的辩证观点去分析和解决问题的数学方法；（3）寻找关联，指要搞清相近概念和定理之间的联系与区别；（4）提出问题，指通过对重要的概念、定理或解法等进行一分为二的评论，从而提出有待进一步研究的新问题。这样，就是遵循了数学的思想方法，也将有助于数学能力的提高。
【关键词】数学思想 思维能力 应用及研究
数学思想及数学思维能力是在数学的发展史上形成和发展起来的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例）以及数学方法的本质性认识。它表现在对数学对象以及数学概念、命题和数学模型的分析与概括中，还表现在新的数学方法的产生过程。不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题（定理法则等）更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。
有思想深度的课，能给学生留下长久的思想激动和对知识的深刻理解，在以后的学习和工作中，他们可能遗忘了具体的数学知识，但数学地思考问题的方法将永存。我们进行数学教学的根本目的，是通过数学知识和观念的培养，通过一些数学思想的传授，要让学生形成一种“数学头脑”，使他们在观察问题和提出问题、解决问题的每一个过程中，都带有鲜明的“数学色彩”，这样的数学一定会有真正的实效和长效，真正提高人的素质。
数学的应用能力是一种综合能力，它离不开数学运算、数学推理、空间想象等基本的数学能力，注重双基和四大能力的培养是解决学生应用意识不可缺少的武器。在双基和四大能力的基础上培养学生分析问题和解决问题的能力，把应用问题的渗透和平时教学有机的结合起来，循序渐进。在数学应用意识和能力的培养中，尤其应重视学生探索精神和创新能力的培养，把数学应用问题设计成探索和开放性试题，让学生积极参与，在解题过程中充分体现学生的主体地位。
要突出数学应用，就应站在构建数学模型的高度来认识并实施应用题教学，要更加强调如何从实际问题中发现并抽象出数学问题（这是数学应用教育中最为重要的一点），然后试图用已有的数学模型（如式、方程、不等式、函数、统计量等）来解决问题，最后用其结果来阐释这个实际问题，这是教学中一种“实践——理论——实践”的策略。它主要侧重于从实际问题中提出并表达数学问题的能力，运用并初步构建数学模型的能力，对数学问题及模型进行变换化归的能力，对数学结果进行检验和评价、阐释和处理的能力。为此，在“提出问题”阶段，教师的作用是创设问题的情境，而“问题”的设计是关键，它要符合学生可接受、有障碍、易产生探索欲望的原则，激发起学生的探索兴趣，接受问题的挑战。在“分析问题”阶段，教师要从观念和方法的层次上去启发学生，鼓励学生探求思路，克服困难，进行独立的探究，展开必要的讨论和交流，在探索的过程中培养毅力和坚忍不拔的精神。在“解决问题”的阶段，教师要引导学生落实解答过程，把能力培养和基础知识、基本技能的学习结合起来，使学生感到成功的喜悦并树立学习的自信心。在“理性归纳”阶段，教师要引导学生对问题的解答过程进行检验、评价、反馈、归纳、小结，并结合问题解决的过程进行学法指导，而学生要通过理性归纳形成新的认知结构，形成数学能力。
数学的研究能力，是指能够用高等数学的观点去解剖初等数学的基本概念和问题，揭示出蕴含在数学知识中的数学思想、数学方法，了研究解它们形成、发展的规律以及与数学历史发展的内在联系，从而自主分析、体会教材，在质疑问难中探索，在问题解决中研究。 数学探究性学习就是在一定的数学学习情境中，在老师的指导下，发现问题，并通过观察、分析、类比、归纳、猜想、证明等一系列数学思维活动；或通过调查研究，动手操作、表达与交流等数学实践活动，解决问题，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。 中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多（不是全部）概念和理论的原型和特例所在。因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键。比如：连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值、最小值。用原有的高中数学知识在解决高次函数时，就会显得捉襟见肘，力不从心。但是利用导数的知识和方法，就显得得心应手，从容不迫。由此看来，要力求将高等数学思想全面渗透入中学数学，要在高等数学概念、理论的通俗化，与中学数学概念、理论的抽象化上，寻找高等数学与中学数学的结合点。
为此，就要求我们课中要深入钻研教材和参阅有关参考材料，要善于从具体的数学知识中挖掘和提炼出数学思想方法，要预先把全书，每单元章节所蕴涵的数学思想方法及它们之间的联系梳理明确。 因为数学思想方法蕴涵在数学知识的产生、内涵和发展之中，故一般都可采用以分析解决问题为主线的学习方法，具体来说，要注意抓住：（1）研究概念的形成过程、定理与法则的发现过程、公式的推导过程、证明思路和解决问题方法的探索过程等；（2）研究概念、定理、公式或方法的本质。例如极限方法实质是一种以运动的、相互联系和量变引起质变的辩证观点去分析和解决问题的数学方法；（3）寻找关联，指要搞清相近概念和定理之间的联系与区别；（4）提出问题，指通过对重要的概念、定理或解法等进行一分为二的评论，从而提出有待进一步研究的新问题。这样，就是遵循了数学的思想方法，也将有助于数学能力的提高。