论文部分内容阅读
反比例函数是初中数学三大函数之一，与生活联系紧密，是每年中招考试的必考内容.本文从三个方面对反比例函数进行总结，帮助同学们将知识系统化，夯实基础知识，提高解决实际问题的能力.
一、反比例函数的基本概念题
例1 （2008年新疆建设兵团）我们学习过反比例函数，例如，当矩形的面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写成a= （S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．
解：三角形的面积S一定时，三角形的底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式为y= （S为常数，S≠0）．
注意：将实际生活中的数学问题抽象成函数关系式时，一要注意题中所给条件的限制，即自变量的取值范围；二要清楚哪个量是自变量，哪个量是常数，哪个量是因变量.
例2 （2008年云南省）函数y= 中，自变量x的取值范围是______．
解：要使反比例函数有意义，必须分母不为0，故x-1≠0，x≠1.
二、确定反比例函数的解析式
例3 （2008年安徽省）函数y= 的图象经过点（1，－2），则k的值为（）.
A．B． - C． 2D． －2
解：将点（1，－2）代入函数y= ，得-2= ，k=-2.故选D.
例4 （2008年襄樊市）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图1所示.当V=10 m3时，气体的密度是（）.
A． 5 kg/m3 B． 2 kg/m3
C．100 kg/m3 D. 1 kg/m3
解：设反比例函数的解析式为ρ= （V>0）.观察到函数图象上的一个点（5，2），将其代入反比例函数ρ= 中，得k=10.
函数解析式为ρ= （V>0）.将V=10代入ρ= ，得ρ=1，故选D.
注意：（1） 这道题的解题思路是求出函数解析式，然后利用解析式求密度.这道题虽然简单，但这种解题思路应用很广.
（2） 这道题图象只有第一象限一个分支，说明自变量大于零，列解析式时不要忘记注明取值范围.
例5 （2008年宁波市）如图2，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y= 过点A，则k的值是（）.
A． 2 B． -2 C． 4 D． -4
解：由正方形ABOC的边长为2，可知正方形ABOC的面积为4.
又由反比例函数中k的几何意义，可知｜k｜=4.
因为反比例函数的图象在第二象限，所以k<0，则k=-4.故选D.
三、反比例函数的性质
例6 （2008年仙桃市）对于反比例函数y= （k≠0），下列说法不正确的是（）.
A. 它的图象分布在第一、三象限?摇?摇?摇B. 点（k，k）在它的图象上
C. 它的图象是中心对称图形?摇?摇?摇D. y随x的增大而增大
解：因k≠0，故k2>0.根据反比例函数的性质，A，B，C成立，故选D.
例7 已知反比例函数y= （a≠0）在每一象限内y的值随x值的增大而减小，则一次函数y=-ax+a的图象不经过（）.
Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限
Ｃ． 第三象限 Ｄ． 第四象限
解：由反比例函数在每一象限内y的值随x值的增大而减小，可知a>0，则-a<0.根据性质，一次函数的图象过第一、二、四象限，故选C.
注意：反比例函数图象的位置、k值的正负、函数的增减性（在每一象限内），这三者的关系是：其中一个确定，其他两个也确定；k>0?圳图象在一、三象限?圳减函数；k<0?圳图象在二、四象限?圳增函数.
四、反比例函数的实际应用
例8 （2008年杭州市）为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y= （a为常数），如图3所示．根据图中提供的信息，解答下列问题.
（1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围.
（2） 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
解：（1） 将点P3， 代入y= ，解得a= .则y= .
将y=1代入y= ，得t= .反比例函数的解析式为y= t≥ .
将 ，1代入y=kt，得k= .所求正比例函数为y= t0≤t< .
（2） 解不等式 <0.25，得t>6.所以至少需要经过6 h后，学生才能进入教室.
责任编辑/赵良河
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
一、反比例函数的基本概念题
例1 （2008年新疆建设兵团）我们学习过反比例函数，例如，当矩形的面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写成a= （S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．
解：三角形的面积S一定时，三角形的底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式为y= （S为常数，S≠0）．
注意：将实际生活中的数学问题抽象成函数关系式时，一要注意题中所给条件的限制，即自变量的取值范围；二要清楚哪个量是自变量，哪个量是常数，哪个量是因变量.
例2 （2008年云南省）函数y= 中，自变量x的取值范围是______．
解：要使反比例函数有意义，必须分母不为0，故x-1≠0，x≠1.
二、确定反比例函数的解析式
例3 （2008年安徽省）函数y= 的图象经过点（1，－2），则k的值为（）.
A．B． - C． 2D． －2
解：将点（1，－2）代入函数y= ，得-2= ，k=-2.故选D.
例4 （2008年襄樊市）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图1所示.当V=10 m3时，气体的密度是（）.
A． 5 kg/m3 B． 2 kg/m3
C．100 kg/m3 D. 1 kg/m3
解：设反比例函数的解析式为ρ= （V>0）.观察到函数图象上的一个点（5，2），将其代入反比例函数ρ= 中，得k=10.
函数解析式为ρ= （V>0）.将V=10代入ρ= ，得ρ=1，故选D.
注意：（1） 这道题的解题思路是求出函数解析式，然后利用解析式求密度.这道题虽然简单，但这种解题思路应用很广.
（2） 这道题图象只有第一象限一个分支，说明自变量大于零，列解析式时不要忘记注明取值范围.
例5 （2008年宁波市）如图2，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y= 过点A，则k的值是（）.
A． 2 B． -2 C． 4 D． -4
解：由正方形ABOC的边长为2，可知正方形ABOC的面积为4.
又由反比例函数中k的几何意义，可知｜k｜=4.
因为反比例函数的图象在第二象限，所以k<0，则k=-4.故选D.
三、反比例函数的性质
例6 （2008年仙桃市）对于反比例函数y= （k≠0），下列说法不正确的是（）.
A. 它的图象分布在第一、三象限?摇?摇?摇B. 点（k，k）在它的图象上
C. 它的图象是中心对称图形?摇?摇?摇D. y随x的增大而增大
解：因k≠0，故k2>0.根据反比例函数的性质，A，B，C成立，故选D.
例7 已知反比例函数y= （a≠0）在每一象限内y的值随x值的增大而减小，则一次函数y=-ax+a的图象不经过（）.
Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限
Ｃ． 第三象限 Ｄ． 第四象限
解：由反比例函数在每一象限内y的值随x值的增大而减小，可知a>0，则-a<0.根据性质，一次函数的图象过第一、二、四象限，故选C.
注意：反比例函数图象的位置、k值的正负、函数的增减性（在每一象限内），这三者的关系是：其中一个确定，其他两个也确定；k>0?圳图象在一、三象限?圳减函数；k<0?圳图象在二、四象限?圳增函数.
四、反比例函数的实际应用
例8 （2008年杭州市）为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y= （a为常数），如图3所示．根据图中提供的信息，解答下列问题.
（1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围.
（2） 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
解：（1） 将点P3， 代入y= ，解得a= .则y= .
将y=1代入y= ，得t= .反比例函数的解析式为y= t≥ .
将 ，1代入y=kt，得k= .所求正比例函数为y= t0≤t< .
（2） 解不等式 <0.25，得t>6.所以至少需要经过6 h后，学生才能进入教室.
责任编辑/赵良河
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。