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【摘 要】动手操作是一种非凡的认知过程，比较是一切思维和理解的基础。小学数学教学要使学生在获得数学基本知识和基本技能的同时，发展数学能力，培养创新意识和实践能力，建立学习和应用数学的兴趣和信心。
【关键词】小学数学教学；动手操作；比较
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。由此可见，动手操作与观察比较在数学学习中的重要性。如何让学生在操作中感悟，在比较中提升数学解题能力，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解，笔者结合《重叠问题》这一课的两次试教进行了详细的论述。
《重叠问题》是人教版小学数学三年级上册数学广角中的内容。本节课涉及的重叠问题是学生在生活中经常遇到的问题，渗透了集合的有关思想。
第一次试教：
一、游戏导入
有一排队伍，小明不管从左往右数，还是从右往左数都是第4个，问这一排一共有多少人？
生活中像这样重复出现的现象很多，我们可以把它称为重叠问题。今天，我们就一起学习来学习重叠问题。出示课题。
二、新课
1. 出示情景。
出示：我们班参加舞蹈表演的同学有3个，参加乐器表演的同学有6个，参加这两个节目表演的同学共有几个？
2. 探究。（讨论，课件演示）
3. 认识韦恩图。
4. 列式解答。结合图，说说算式的意思。
5. 比较小结。
6. 如果老师在舞蹈这里增加一个同学，你认为现在有多少人？
三、巩固练习
1. 出示练习二十四，2。
2. 我们班一共有12人参加美术和音乐两个兴趣小组，参加美术兴趣小组的有7人，参加音乐兴趣小组的有8人。两个兴趣小组都参加的有多少人？
3. 出示：
师：魔法老爷爷有两个魔法袋，问，两个袋子里一共可能有多少个不同颜色的小球呢？
四、课堂总结
课后反思：本节课旨在让学生主动地参与学习，帮助学生积累数学活动经验。课始针对学生生活中的问题情景，让学生借助所学的知识和生活经验，进行独立思考，动手操作，合作交流，感悟“重叠”，得到解决“重叠问题”的方法。可是本节课中学生表现得比较被动，韦恩图与解题方法形同陌路，学生被老师一路搀扶，解题方法对学生来说只能算是一种形式演绎，导致练习部分出现种种问题。
针对以上问题，笔者进行了以下思考：
1. 让学生真正感悟“重叠”，进行有效的动手操作势在必行，那么在教学中如何落实？
2. 如何让学生主动构建“重叠问题”的解题模式，并能熟练正确地进行解题。
基于以上思考，笔者与同组的老师修改了教案，进行第二次试教。
第二次试教：
课前谈话。
出示：小剧场。播放视频。小朋友们，今天我们就从咱们的剧场文化开始研究数学问题。
一、情境导入
1. 请看大屏幕。
出示：三（1）班同学参加舞蹈表演的有4个，参加乐器表演的有6个。你能提出什么问题？
2. 初步认识集合图。
师：我们用1-4号分别表示参加舞蹈表演的4个同学，那乐器表演的可能会是？出示5，6，7，8，
9，10。
4 6表示什么？
出示：
3. 哦，还可能出现其他情况吗？
二、新课
（一）初步感知
1. 认识重叠。
生：也可能会有重复。师：谁明白他说的意思？
课件出示重复1人的情况。问：现在是多少人？
2. 操作探究。
师：为什么是9个人呢？学生动手操作，指名一生上台摆。讨论想法。
预设：把参加舞蹈表演的放在左边，把参加乐器表演的放在右边，把既参加了舞蹈表演又参加了乐器表演放在中间就可以了。
师：左边的所有同学都参加了舞蹈表演，怎样可以看得更清楚？可以给他们加一个圈，画红圈。问：这个表示什么？参加乐器表演怎么圈？为什么？
3. 认识韦恩图。揭题。
4. 列式解答。结合图，说说算式的意思。
5. 比较小结。
小朋友们，这些算式的方法都不同，但有什么相同的地方吗？预设：每个算式中都有一个1。比较，讨论得出：因为4人中的这个1和6人中的这个1都重复计算了一次，所以要减1。
（二）进一步感知
1. 要是重叠两个同学呢？出示。
你还能把信息在韦恩图上表示出来吗？（学生动手操作）讨论，列式解答。
2. 还有其他情况吗？
预设：（1）也可能是重叠三个小朋友。（2）也可能重叠4个小朋友。（3）动手操作，同桌交流，列式解答。（4）讨论。重点讨论重叠4人的图。这部分怎么空空的？讨论修改。
（三）比较，得出结论
1. 还会出现其他情况吗？为什么？
2. 刚才我们讨论了这四种情况，课件出示。
比较一下，你们发现了什么？
三、巩固练习
四、课堂总结
课后反思：
一个不起眼的动手操作，却有着如此深厚的“数学味”。本课借助学生身边的题材，通过摆一摆、圈一圈、移一移等形式，不仅使学生充分感知“重叠”，更是让解题方法水到渠成。
（一）动手操作，突破探究的“拐弯”处，帮助学生感悟“重叠”
本课探究部分较前一节课增加了摆一摆、圈一圈的过程。在当学生从统计表中观察发现4号小朋友既参加了舞蹈表演又参加了乐器表演后，让学生动手摆出各个部分并圈一圈。在这一动手操作过程中，学生经过了独立思考，合作交流，并再一次对“重叠”进行了深刻地理解。在此基础上，进行对韦恩图的理解。经过学生激烈地讨论，得到的解题方法便是多种多样。随后，继续变换重叠人数，学生们在卡片纸上继续移一移、摆一摆、算一算、说一说。以此来帮助更深层次地理解“重叠”，借助数形结合解决问题。這样的操作可以使学生能够从知识的原点出发去审视和思考问题，从而为学生的探究提供了思维角度上的引导。
有效的动手操作，可以展现学生的思维过程，在观察比较中提升解题能力，独立思考，合作交流，让每个学生都在数学学习中得到发展。
（二）比较讨论，主动构建解题模式，提升解题能力
教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”小学生学习数学知识，需要通过对数学材料的比较，然后理解新知的本质意义，掌握知识间的联系与区别。本课第一次比较是在学生根据韦恩图列出不同的算式进行解答，之后比较发现，在每一个算式中都有一个1，随即带领学生进行比较、讨论、交流，得出1既在4中又在6中，使学生明白1在这些算式中的本质意义。再次进行比较是讨论出4种可能出现的情况后（课件出示），学生主动地从数学的角度进行比较、发现，从而使学生更深层次地理解了“重叠”的本质，主动构建出重叠问题的解题模式，提升解题能力，促使数学思维的发展。
“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。课程标准中的这一阐述道出了数学课堂教学中学生自主生成的途径与规律。数学活动因操作而出色，因此我们很必要在数学课堂中创造条件引导学生合作交流、动手操作，比较发现，带领着学生自主地去学习，就能开发学生的探究学习潜能，促进知识的有效生成，加强对知识的理解，学到获取知识的方法。
【关键词】小学数学教学；动手操作；比较
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。由此可见，动手操作与观察比较在数学学习中的重要性。如何让学生在操作中感悟，在比较中提升数学解题能力，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解，笔者结合《重叠问题》这一课的两次试教进行了详细的论述。
《重叠问题》是人教版小学数学三年级上册数学广角中的内容。本节课涉及的重叠问题是学生在生活中经常遇到的问题，渗透了集合的有关思想。
第一次试教：
一、游戏导入
有一排队伍，小明不管从左往右数，还是从右往左数都是第4个，问这一排一共有多少人？
生活中像这样重复出现的现象很多，我们可以把它称为重叠问题。今天，我们就一起学习来学习重叠问题。出示课题。
二、新课
1. 出示情景。
出示：我们班参加舞蹈表演的同学有3个，参加乐器表演的同学有6个，参加这两个节目表演的同学共有几个？
2. 探究。（讨论，课件演示）
3. 认识韦恩图。
4. 列式解答。结合图，说说算式的意思。
5. 比较小结。
6. 如果老师在舞蹈这里增加一个同学，你认为现在有多少人？
三、巩固练习
1. 出示练习二十四，2。
2. 我们班一共有12人参加美术和音乐两个兴趣小组，参加美术兴趣小组的有7人，参加音乐兴趣小组的有8人。两个兴趣小组都参加的有多少人？
3. 出示：
师：魔法老爷爷有两个魔法袋，问，两个袋子里一共可能有多少个不同颜色的小球呢？
四、课堂总结
课后反思：本节课旨在让学生主动地参与学习，帮助学生积累数学活动经验。课始针对学生生活中的问题情景，让学生借助所学的知识和生活经验，进行独立思考，动手操作，合作交流，感悟“重叠”，得到解决“重叠问题”的方法。可是本节课中学生表现得比较被动，韦恩图与解题方法形同陌路，学生被老师一路搀扶，解题方法对学生来说只能算是一种形式演绎，导致练习部分出现种种问题。
针对以上问题，笔者进行了以下思考：
1. 让学生真正感悟“重叠”，进行有效的动手操作势在必行，那么在教学中如何落实？
2. 如何让学生主动构建“重叠问题”的解题模式，并能熟练正确地进行解题。
基于以上思考，笔者与同组的老师修改了教案，进行第二次试教。
第二次试教：
课前谈话。
出示：小剧场。播放视频。小朋友们，今天我们就从咱们的剧场文化开始研究数学问题。
一、情境导入
1. 请看大屏幕。
出示：三（1）班同学参加舞蹈表演的有4个，参加乐器表演的有6个。你能提出什么问题？
2. 初步认识集合图。
师：我们用1-4号分别表示参加舞蹈表演的4个同学，那乐器表演的可能会是？出示5，6，7，8，
9，10。
4 6表示什么？
出示：
3. 哦，还可能出现其他情况吗？
二、新课
（一）初步感知
1. 认识重叠。
生：也可能会有重复。师：谁明白他说的意思？
课件出示重复1人的情况。问：现在是多少人？
2. 操作探究。
师：为什么是9个人呢？学生动手操作，指名一生上台摆。讨论想法。
预设：把参加舞蹈表演的放在左边，把参加乐器表演的放在右边，把既参加了舞蹈表演又参加了乐器表演放在中间就可以了。
师：左边的所有同学都参加了舞蹈表演，怎样可以看得更清楚？可以给他们加一个圈，画红圈。问：这个表示什么？参加乐器表演怎么圈？为什么？
3. 认识韦恩图。揭题。
4. 列式解答。结合图，说说算式的意思。
5. 比较小结。
小朋友们，这些算式的方法都不同，但有什么相同的地方吗？预设：每个算式中都有一个1。比较，讨论得出：因为4人中的这个1和6人中的这个1都重复计算了一次，所以要减1。
（二）进一步感知
1. 要是重叠两个同学呢？出示。
你还能把信息在韦恩图上表示出来吗？（学生动手操作）讨论，列式解答。
2. 还有其他情况吗？
预设：（1）也可能是重叠三个小朋友。（2）也可能重叠4个小朋友。（3）动手操作，同桌交流，列式解答。（4）讨论。重点讨论重叠4人的图。这部分怎么空空的？讨论修改。
（三）比较，得出结论
1. 还会出现其他情况吗？为什么？
2. 刚才我们讨论了这四种情况，课件出示。
比较一下，你们发现了什么？
三、巩固练习
四、课堂总结
课后反思：
一个不起眼的动手操作，却有着如此深厚的“数学味”。本课借助学生身边的题材，通过摆一摆、圈一圈、移一移等形式，不仅使学生充分感知“重叠”，更是让解题方法水到渠成。
（一）动手操作，突破探究的“拐弯”处，帮助学生感悟“重叠”
本课探究部分较前一节课增加了摆一摆、圈一圈的过程。在当学生从统计表中观察发现4号小朋友既参加了舞蹈表演又参加了乐器表演后，让学生动手摆出各个部分并圈一圈。在这一动手操作过程中，学生经过了独立思考，合作交流，并再一次对“重叠”进行了深刻地理解。在此基础上，进行对韦恩图的理解。经过学生激烈地讨论，得到的解题方法便是多种多样。随后，继续变换重叠人数，学生们在卡片纸上继续移一移、摆一摆、算一算、说一说。以此来帮助更深层次地理解“重叠”，借助数形结合解决问题。這样的操作可以使学生能够从知识的原点出发去审视和思考问题，从而为学生的探究提供了思维角度上的引导。
有效的动手操作，可以展现学生的思维过程，在观察比较中提升解题能力，独立思考，合作交流，让每个学生都在数学学习中得到发展。
（二）比较讨论，主动构建解题模式，提升解题能力
教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”小学生学习数学知识，需要通过对数学材料的比较，然后理解新知的本质意义，掌握知识间的联系与区别。本课第一次比较是在学生根据韦恩图列出不同的算式进行解答，之后比较发现，在每一个算式中都有一个1，随即带领学生进行比较、讨论、交流，得出1既在4中又在6中，使学生明白1在这些算式中的本质意义。再次进行比较是讨论出4种可能出现的情况后（课件出示），学生主动地从数学的角度进行比较、发现，从而使学生更深层次地理解了“重叠”的本质，主动构建出重叠问题的解题模式，提升解题能力，促使数学思维的发展。
“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。课程标准中的这一阐述道出了数学课堂教学中学生自主生成的途径与规律。数学活动因操作而出色，因此我们很必要在数学课堂中创造条件引导学生合作交流、动手操作，比较发现，带领着学生自主地去学习，就能开发学生的探究学习潜能，促进知识的有效生成，加强对知识的理解，学到获取知识的方法。