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【摘要】随着教育的不断改革，小学数学教材的内容更加明确，小学可能性的教学主要是让学生掌握收集、分析数据的能力，初步体会随机事件的可能性大小。在中小学衔接背景下，如何联系中学概率内容来思考小学可能性的易错问题，本文从中小学“可能性”内容变化及衔接问题、“可能性大小”易错问题的思考这三大方面进行探讨。
【关键词】中小学衔接;可能性;概率;数据分析
在课程标准（2011年版）的“第二学段”中提出：“通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流。”为了体现课标的要求，在修订后教材中，人教版五年级上册第四单元《可能性》是第二学段的教学内容，也是学生真正意义接触“概率”的知识，第三学段称为“事件的概率”。
一、小学的“可能性”与中学的“概率”内容的变化
义务教育阶段对于概率的需要学习内容并不多，而数学课程标准修订前（实验稿）、后（2011版）关于内容构成的变化如下表1：
从上表可以看出：课标修订后，在第一学段中，删掉了可能性大小的学习，将原内容后移到第二学段，称为“可能性”。原五年级的内容划分到第三学段（九年级上册数学），称为“概率初步”。
二、中小学概率教学的衔接
（一）中学教材中关于概率的两个定义
1.概率的古典定义
在某次试验中：（1）基本事件的总数是有限的，假设有a种结果。
（2）每个事件发生的可能性大小是一样的。
某个事件包含其中的b种结果，那么这个事件发生的概率为，这个就是概率的古典定义。实际上，有一些随机实验结果不是等可能性的，则概率的古典定义不能适用。
2.概率的统计意义
在相同条件下，多次重复随机实验，如果随着实验资料的不断增加，某个事件的频率稳定在常数p，则称这个常数p为这个事件的概率。概率的统计意义并没有要求事件各种结果等可能性，例如，考查某个篮球动员投篮的命中率，在同样的条件，让某个运动员进行数次投篮（投篮总次数用a表示），并统计命中的次数为b，然后计算命中的频率为。如果随着运动员投篮次数的增多，频率越來越趋向于某个常数，那么这个常数就可以被当作投篮的命中率。
中学的概率教学是以上面两个概率定义为起点，然后逐渐过渡到求概率的内容，最终达成以列举法求概率和频率估计概率。而小学人教版书本中“可能性”单元知识内容如下图1：
虽然人教版五年级教材中只有三道例题，却蕴含概率教学中重要的基础点，每道例题具体教学目标不同，包括“做一做”和教材的某些习题也承载着中小衔接的重要桥梁。虽然日常教学中只要求用“一定（肯定）、不可能、可能、经常、偶尔”等词来定性描述事件发生的可能性大小，但是并不意味着只停留在感性认识上，而是让学生站在更高层次上来认识“可能性”，对“可能性”的认识和理解逐渐从定性向定量过渡，也就是为中学系统用分数描述事件发生的概率作好准备。但是，在日常教学当中，往往在“可能性”上出现一些问题，当分析好中小学教材时，也有一种恍然大悟的感觉。
三、例析小学数学“可能性”易错问题
1.等可能性与不等能性混淆
在小学关于可能性大小学习的阶段，并没有对古典概型作定义，但是在练习和课程当中有所渗透，为中学系统地学习概率的知识作铺垫。例如，下面两个例子：
例1： 现有红球、白球各2个，一次摸出2个球，两个都是同色的可能性是多少？
错解：课堂上学生基本上认为结果有：两个红球、一红一白、两个白球三种情况，出现同色的结果有两种，一共三种可能的结果，所以摸到两个都是同色的可能性是，如下图2所示：
错因与正解：上述的答案是无意间默认了每种结果的可能性是一样的，利用概率古典定义来解决问题，而上述解法中两个红球、一红一白、两个白球出现的可能性显然不均等，故导致上面的错解。从2个红球、2个白球中一次摸出2个球，会出现：（红1，红2）、（红1，白1）、（红1，白2）、（红2，白1）、（红2，白2）、（白1，白2）共6种，这些结果的出现是等可能的，所以两个都是同色的可能性为。
例2：在意大利曾经发生过这样的赌博：掷两枚骰子，以两枚骰子朝上的点数的和作为赌博的内容。从这内容可以知道：骰子六个面分别是1～6点，两枚骰子朝上的情况共6×6种可能，点数和可以是2～12，共11种，问赌注下在多少点上最有利？其实，这赌博的规则也就是五年级数学“综合与实践”的《掷一掷》一课的内容。在日常教学中，许多老师会根据教材的内容（如下图3、4），进行类似这样的设计：
从上面设计可以看出：学生根据骰子的特点，肯定知道两个点数之和只会出现：{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}共11种结果，且无意识默认了每种结果出现的可能性是相等的，同时认为自己有{2，3，4，10，11，12}6种结果可以赢，而老师只有5种结果可以赢，学生赢的可能性比老师大。但是从下表2来看，和是5，6，7，8，9出现的算式次数共有24次（黄色部分），而和是2，3，4，10，11，12出现的次数只有12次（绿色部分），显然和是5，6，7，8，9出现的可能性要大得多，老师赢的可能性较大。
从数学本质来看，和是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}这里每种结果出现的可能性是不完全相等，属于不等可能事件，不能随意概括去解决问题。需要说明的是，在小学阶段里，大部分所涉及的随机事件都是等可能性的，所以并不用向学生介绍等可能性的问题，但是为了更好实现中小学可能性知识的衔接，我们在备课时要有所积累，应该对统计与概念领域有整体的把握，让学生更好适应当代下中小学衔接的学习。
2.可能性与频率的混同 从中学角度来看，概率与频率是密切相关的，大量重复实验的时候，频率会稳定在概率，所以做的实验次数比较多的时候，我们会用频率去估计概率。而在小学中，也会出现一些可能性与频率混同的情况，也会让学生糊涂。
例如，人教版五年级数学上册第四单元“可能性”其中的一道“做一做”（如下图5）。题目是一个掷硬币的游戏，教材目的想先通过增加试验的次数，尽量使实验结果接近理论概率，使学生初步感受事件发生的等可能性。
但在日常教学中，老师经常这样处理：掷一枚均匀的硬币，然后提问学生：会出现哪些结果？学生当然知道：会出现正面、反面两种情况。接着，老师会追问：出现正面或反面的可能性是多少？那么根据师生共同分析得到每种面出现的可能性都是，然后再让学生通过实验去验证这个结果。但是，这个是通过概率的定义得到的，而不是通过掷硬币的试验得到的。事实上，学生做了很多次试验也得不到，包括许多的著名数学家做了很多次实验也得不到这个结果，这样反而让学生更加困惑，这也就是“数据随机”的魅力所在。因为学生已经通过分析推理得到正面朝上的概率，他们产生不了做实验的需求，所以无法感受课程标准中提出的这种魅力所在。因此，对于现在的教学现状，我们更愿意看到：用实验和数据来说话，可让学生经过多次掷硬币，计算出现正面的次數，然后计算频率，用频率来估计一下出现正面的可能性大小，如果这个可能性趋向于，就可以推断这个硬币大概是均匀的，这是数据分析观念的思想的体现。
总之，对于“可能性大小”的思考离不开数据的统计与分析，我们要不断研究，站在知识链的高点处，理清知识的纵横向联系，整体把握好可能性的中小联系，这样才能彰显概率论的魅力。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2-6.
[2]刘圣良.小学数学“可能性”教材分析与实践思考[J].黑龙江教育：小学教学案例与研究，2016（1）：69-71.
[3]曹培英.小学数学“统计与概率”教学研究（一）[J].小学数学教育，2019（5）：4-8.
[4]人民教育出版社，课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心.数学教师用书五年级上册[M].人民教育出版社：北京，2014：100.
【关键词】中小学衔接;可能性;概率;数据分析
在课程标准（2011年版）的“第二学段”中提出：“通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流。”为了体现课标的要求，在修订后教材中，人教版五年级上册第四单元《可能性》是第二学段的教学内容，也是学生真正意义接触“概率”的知识，第三学段称为“事件的概率”。
一、小学的“可能性”与中学的“概率”内容的变化
义务教育阶段对于概率的需要学习内容并不多，而数学课程标准修订前（实验稿）、后（2011版）关于内容构成的变化如下表1：
从上表可以看出：课标修订后，在第一学段中，删掉了可能性大小的学习，将原内容后移到第二学段，称为“可能性”。原五年级的内容划分到第三学段（九年级上册数学），称为“概率初步”。
二、中小学概率教学的衔接
（一）中学教材中关于概率的两个定义
1.概率的古典定义
在某次试验中：（1）基本事件的总数是有限的，假设有a种结果。
（2）每个事件发生的可能性大小是一样的。
某个事件包含其中的b种结果，那么这个事件发生的概率为，这个就是概率的古典定义。实际上，有一些随机实验结果不是等可能性的，则概率的古典定义不能适用。
2.概率的统计意义
在相同条件下，多次重复随机实验，如果随着实验资料的不断增加，某个事件的频率稳定在常数p，则称这个常数p为这个事件的概率。概率的统计意义并没有要求事件各种结果等可能性，例如，考查某个篮球动员投篮的命中率，在同样的条件，让某个运动员进行数次投篮（投篮总次数用a表示），并统计命中的次数为b，然后计算命中的频率为。如果随着运动员投篮次数的增多，频率越來越趋向于某个常数，那么这个常数就可以被当作投篮的命中率。
中学的概率教学是以上面两个概率定义为起点，然后逐渐过渡到求概率的内容，最终达成以列举法求概率和频率估计概率。而小学人教版书本中“可能性”单元知识内容如下图1：
虽然人教版五年级教材中只有三道例题，却蕴含概率教学中重要的基础点，每道例题具体教学目标不同，包括“做一做”和教材的某些习题也承载着中小衔接的重要桥梁。虽然日常教学中只要求用“一定（肯定）、不可能、可能、经常、偶尔”等词来定性描述事件发生的可能性大小，但是并不意味着只停留在感性认识上，而是让学生站在更高层次上来认识“可能性”，对“可能性”的认识和理解逐渐从定性向定量过渡，也就是为中学系统用分数描述事件发生的概率作好准备。但是，在日常教学当中，往往在“可能性”上出现一些问题，当分析好中小学教材时，也有一种恍然大悟的感觉。
三、例析小学数学“可能性”易错问题
1.等可能性与不等能性混淆
在小学关于可能性大小学习的阶段，并没有对古典概型作定义，但是在练习和课程当中有所渗透，为中学系统地学习概率的知识作铺垫。例如，下面两个例子：
例1： 现有红球、白球各2个，一次摸出2个球，两个都是同色的可能性是多少？
错解：课堂上学生基本上认为结果有：两个红球、一红一白、两个白球三种情况，出现同色的结果有两种，一共三种可能的结果，所以摸到两个都是同色的可能性是，如下图2所示：
错因与正解：上述的答案是无意间默认了每种结果的可能性是一样的，利用概率古典定义来解决问题，而上述解法中两个红球、一红一白、两个白球出现的可能性显然不均等，故导致上面的错解。从2个红球、2个白球中一次摸出2个球，会出现：（红1，红2）、（红1，白1）、（红1，白2）、（红2，白1）、（红2，白2）、（白1，白2）共6种，这些结果的出现是等可能的，所以两个都是同色的可能性为。
例2：在意大利曾经发生过这样的赌博：掷两枚骰子，以两枚骰子朝上的点数的和作为赌博的内容。从这内容可以知道：骰子六个面分别是1～6点，两枚骰子朝上的情况共6×6种可能，点数和可以是2～12，共11种，问赌注下在多少点上最有利？其实，这赌博的规则也就是五年级数学“综合与实践”的《掷一掷》一课的内容。在日常教学中，许多老师会根据教材的内容（如下图3、4），进行类似这样的设计：
从上面设计可以看出：学生根据骰子的特点，肯定知道两个点数之和只会出现：{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}共11种结果，且无意识默认了每种结果出现的可能性是相等的，同时认为自己有{2，3，4，10，11，12}6种结果可以赢，而老师只有5种结果可以赢，学生赢的可能性比老师大。但是从下表2来看，和是5，6，7，8，9出现的算式次数共有24次（黄色部分），而和是2，3，4，10，11，12出现的次数只有12次（绿色部分），显然和是5，6，7，8，9出现的可能性要大得多，老师赢的可能性较大。
从数学本质来看，和是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}这里每种结果出现的可能性是不完全相等，属于不等可能事件，不能随意概括去解决问题。需要说明的是，在小学阶段里，大部分所涉及的随机事件都是等可能性的，所以并不用向学生介绍等可能性的问题，但是为了更好实现中小学可能性知识的衔接，我们在备课时要有所积累，应该对统计与概念领域有整体的把握，让学生更好适应当代下中小学衔接的学习。
2.可能性与频率的混同 从中学角度来看，概率与频率是密切相关的，大量重复实验的时候，频率会稳定在概率，所以做的实验次数比较多的时候，我们会用频率去估计概率。而在小学中，也会出现一些可能性与频率混同的情况，也会让学生糊涂。
例如，人教版五年级数学上册第四单元“可能性”其中的一道“做一做”（如下图5）。题目是一个掷硬币的游戏，教材目的想先通过增加试验的次数，尽量使实验结果接近理论概率，使学生初步感受事件发生的等可能性。
但在日常教学中，老师经常这样处理：掷一枚均匀的硬币，然后提问学生：会出现哪些结果？学生当然知道：会出现正面、反面两种情况。接着，老师会追问：出现正面或反面的可能性是多少？那么根据师生共同分析得到每种面出现的可能性都是，然后再让学生通过实验去验证这个结果。但是，这个是通过概率的定义得到的，而不是通过掷硬币的试验得到的。事实上，学生做了很多次试验也得不到，包括许多的著名数学家做了很多次实验也得不到这个结果，这样反而让学生更加困惑，这也就是“数据随机”的魅力所在。因为学生已经通过分析推理得到正面朝上的概率，他们产生不了做实验的需求，所以无法感受课程标准中提出的这种魅力所在。因此，对于现在的教学现状，我们更愿意看到：用实验和数据来说话，可让学生经过多次掷硬币，计算出现正面的次數，然后计算频率，用频率来估计一下出现正面的可能性大小，如果这个可能性趋向于，就可以推断这个硬币大概是均匀的，这是数据分析观念的思想的体现。
总之，对于“可能性大小”的思考离不开数据的统计与分析，我们要不断研究，站在知识链的高点处，理清知识的纵横向联系，整体把握好可能性的中小联系，这样才能彰显概率论的魅力。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2-6.
[2]刘圣良.小学数学“可能性”教材分析与实践思考[J].黑龙江教育：小学教学案例与研究，2016（1）：69-71.
[3]曹培英.小学数学“统计与概率”教学研究（一）[J].小学数学教育，2019（5）：4-8.
[4]人民教育出版社，课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心.数学教师用书五年级上册[M].人民教育出版社：北京，2014：100.