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我们经常看到这样的情景：教师批改完作业，表扬了全对的学生，然后发下出错的作业本让学生订正，如果学生还错，则继续订正，最多说一句“你太粗心了”。我们也可以看到这样的情景：学生恭恭敬敬地站在教师身旁，教师非常耐心地教学生这道题该如何做；课堂上，学生举手回答，结果答错了，教师马上示意他坐下，继续请其他学生回答问题，直到出现正确答案；在教学过程中出现了一些意外情况，教师要么毫不客气地将学生训斥一通，把他甩在一边，要么自己被气得乱了方寸；学生上台板演以后，教师一般只统计一下全对的人数，很少对出错的学生给予关注。
作为教师，我们对于“错”是那样的熟悉，追求难容错误的传统课堂，让我们教师更多的是把“错误”当成了我们的“敌人”，以至于“不错”成了我们的不懈“追求”。其实,课堂本身就是一个该让学生出错的地方,如果学生在学习知识和做人的道路上永远不出错，那么教师这个职业也就能退出历史舞台了。正因为学生的成长需要在不断知错、改错中获得进步，才充分体现教师工作的价值和不可替代的作用。错误是伴随着学生一起成长的，是学生真实的流露，是学生个性的张扬。一般情况，只要学生经过思考，其错误中总会闪烁某些合理的“光芒”，显现出学生认知的“路径”。教师要巧妙地利用这一宝贵的教学资源，引导学生“内省”，促进学生“感悟”，发展学生“智能”。
一、认识错误，寻找教学真正的起点
学生在学习过程中所犯的错误，仔细分析，主要有以下几种情况：理解有偏差、知识的局限性、思维不够深刻、看待问题的方式不同。学生在课上出现了错误，教师不应急于用自己的思想去“同化”学生的错误观点、错误认识，而应站在学生的立场去“顺应”他们的认识，掌握其错误思想的运行轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药，让正确、错误这两种思想在学生的大脑中形成认识冲突，产生“头脑风暴”，针对问题，寻找教学真正的起点，引导学生分析原因，寻找解决问题的方法。
例如，教学“平行四边形的面积计算”时，教师首先让学生回忆已经学过的平面图形（长方形和正方形）的面积计算方法，然后让学生猜想：“平行四边形的面积怎样计算？”由于受负迁移的影响，不少学生认为是两边相乘，也就是底边乘底边；有的学生对这个猜想有意见，却说不出个所以然来。这时教师就应将错就错，因势利导，出示３个平行四边形（如下图），让学生运用猜想计算平行四边形的面积。
结果，学生计算得到３个平行四边形的面积都是4×3＝12（平方厘米）。这时教师提问：“这３个平行四边形的面积都相等吗？”学生经过观察发现这３个图形的面积各不相同，这时再利用课件展示这３个图形的变化过程，以及重叠的图形，使学生进一步理解和明白底边乘底边不是求平行四边形面积的方法。在这基础上再顺水推舟，教师进一步引导：“平行四边形面积到底应该怎样计算呢？”最后，通过运用直观图，加上学生的动手操作、自主探究，最终平行四边形面积计算方法的得出就水到渠成了。
案例中，教师先让学生独立猜想，引导学生在课堂中暴露错误，并站在学生的角度去“顺应”他们的认知，掌握其错误思考的轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药。教师通过合理利用学生的错误，对学生已掌握的知识水平、能力发展水平有了一个较清晰的认识，在教学中就避免了超前或滞后现象的出现，教学具有很强的针对性。一方面可以使学生有机会逐步建构对同一知识的不同层次的理解，另一方面也和处于不同认知发展阶段的学生的思维方式相适应。因此，学生在学习过程中一旦出现错误，教师不应简单地一带而过，而应引导其通过分析、认识错误的原因，从根本上去除自己学习中形成的错误认知信息，重新建立新的认知结构，使错误成为学生学习新知的切入点。
二、剖析错误，培养学生的发现意识
学生获得数学知识本来就应该是在不断的探索中进行的，在这一过程中，学生思维方法是各不相同的。因此，出现偏差和错误是很正常的事，关键在于教师如何利用“错误”这一资源。笔者发现在与学生剖析犯错误的原因时，往往会引起学生思维火花的迸发，因为此时学生不仅对原有的知识结构更为明了，还会对原有的知识各环节之间的关系理解得更透彻，在此基础上，一些规律性的知识就会自然而然地被发现。
例如，有一次让学生填空“0.66÷0.13=5……（）”时，大部分填的是“1”。针对这一个比较典型的错误，我把它作为一道是非题让学生自主探究，先判断答案是否正确，接着问：“能说说你是怎样发现错误的吗？”在富有启发性问题的引导下，每个小组的学生都很投入地展开讨论，学生的疑惑就在自己的深入探究中得到了解释，很快地找到了三种判断错误的方法。
生1：余数１与除数0.13相比，余数大于除数，说明填上“１”是不正确的。
生2：余数１与被除数0.66相比，余数比被除数大，说明填上“１”是不正确的。
生3：我是通过验算发现的，５×0.13 1=1.65≠0.66，说明填上“１”是不正确的。
……
这样让学生在对错误原因的分析的基础上，再去找出正确的余数。由于计算时被除数和除数同时扩大了100倍，虽然商不变，但余数是被除数扩大100倍计算后余下的，所以余数也扩大了100倍，正确的余数应该是把“１”缩小100倍得0.01。这一知识点就在学生质疑、解疑的过程中逐渐深化。
只要有认知活动就会有错误发生，教学过程就是让学生不断尝试错误、辨别是非，从而主动构建知识的过程。对学生来说，错误是一种尝试、一种认知，也是一种进步。学生是带着无数的疑问走进课堂的，他们的学习实践过程就是“摸着石头前进”的过程，出现这样或那样的错误在所难免。教学过程就是让学生不断尝试错误的过程，虽然每一次学习的结果有对也有错，但它们的价值是一样的。“对”是一种进步，“错”也是一种进步，它起码可以证明某种想法或做法是不可行的，培养了学生的发现意识。教师应敏于捕捉学生质疑中产生的错误，善于发现错误背后隐含的价值，引领学生自主去发现问题、探究问题、解决问题，让学生有“柳暗花明又一村”的惊喜。
三、巧用错误，拓展学生的思维创新
学生犯错误的过程是一种尝试过程。教师只有具备了主动应对的新理念，变学习错误为培养学生创新思维的契机，才会发现错误背后隐含的价值，才能因地制宜地处理好来自学生的错误，让其发挥应有的作用。数学学习的过程是一个再创造的过程，是一个创新的过程。有人说：“创新就是捏一个你，捏一个我，合在一起打碎再捏一个你，再捏一个我。”对待错误，教师应留给学生充分“讲理”的机会，顺应学生的思维，挖掘错误背后的创新因素，适时、适度地给予点拨和鼓励，能帮助学生突破眼前的障碍，让学生体验思维价值，享受思维快乐。
例如，在上练习课时，书上出现了一道关于年龄问题的思考题：“小明今年5岁，爸爸27岁，几年后爸爸的岁数是小明的3倍？”教师先让学生自己独立思考，思考后可以进行小组讨论、交流。学生陷入了沉思中，竟然没有一点讨论声，显然，学生们被难住了。正当教师准备讲解时，一位学生大声喊道：“等等！老师，我知道了！（27-5×3）÷3=4（年）。”教室里顿时热闹起来。有学生验证后说：“不对，4年后小明9岁，爸爸31岁，31不是9的3倍。”“是啊！怎么回事？”这时，学生的思维被激活了，教室里顿时沸腾了起来。学生中有举例的，有画线段图的，有设未知数的，这道题在课堂中出现了（27-5）÷2-5=6（岁）、（27-5）÷2×3-27=6（岁）等七种不同的解法。“丁零零”，下课铃声响了，因学生的错误，这道看似极为普通、解答不费时的应用题，却占去了这堂课相当一部分时间，使我未能按时完成教学任务，但是我认为值得。当那位学生说出算式时，大家当时都没有听明白，但可以肯定答案是错的。我没有让学生的错误溜走，把错误作为教育资源，让学生的思维再现在大家面前。这样，学生在获得数学理解的同时，思维能力、口头表达能力、情感态度等多方面得以发展，体会到了学数学的乐趣。
通过这个教学案例，我认为：教师在课堂中巧妙地把学生的错误作为一种智力发展的教育资源，机智、灵活地引导学生从正、反不同角度去修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，利用错误给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这是培养学生创造性思维的有效办法。其实，与上面这个教学中的实例类似的情况，每个数学教师都可能遇到，但不同的处理方法所得到的教学效果却是完全不同的。试想：如果我当时在课堂上轻易地包办代替，将正确的算式呈现出来，而不就错因势利导，那么，良好的教学契机就会错过，而学生就不会获得思维发展的空间，更不会碰撞出这么多的思维火花。
错误是正确的先导，成功的开始。有道是“失败乃成功之母”，错误也是教学中永恒的话题，越来越多的教师意识到了错误资源在教学中的价值。作为教师，应该让学生真实地坦诚自己的想法，尊重学生的思维成果，不轻易否定学生在认真思维基础上的答案，这样学生才会“放下包袱、开动机器”，才会“百花齐放、百家争鸣”；这样，每个学生才能自始至终情绪高昂地参与整个教学过程，感受到学习的快乐。
让我们共同去开发和利用错误，使错误资源成为数学课堂教学中的一个亮点，让错误成就出精彩的课堂，为数学教学添上一道亮丽的风景线！
（责编蓝天）
作为教师，我们对于“错”是那样的熟悉，追求难容错误的传统课堂，让我们教师更多的是把“错误”当成了我们的“敌人”，以至于“不错”成了我们的不懈“追求”。其实,课堂本身就是一个该让学生出错的地方,如果学生在学习知识和做人的道路上永远不出错，那么教师这个职业也就能退出历史舞台了。正因为学生的成长需要在不断知错、改错中获得进步，才充分体现教师工作的价值和不可替代的作用。错误是伴随着学生一起成长的，是学生真实的流露，是学生个性的张扬。一般情况，只要学生经过思考，其错误中总会闪烁某些合理的“光芒”，显现出学生认知的“路径”。教师要巧妙地利用这一宝贵的教学资源，引导学生“内省”，促进学生“感悟”，发展学生“智能”。
一、认识错误，寻找教学真正的起点
学生在学习过程中所犯的错误，仔细分析，主要有以下几种情况：理解有偏差、知识的局限性、思维不够深刻、看待问题的方式不同。学生在课上出现了错误，教师不应急于用自己的思想去“同化”学生的错误观点、错误认识，而应站在学生的立场去“顺应”他们的认识，掌握其错误思想的运行轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药，让正确、错误这两种思想在学生的大脑中形成认识冲突，产生“头脑风暴”，针对问题，寻找教学真正的起点，引导学生分析原因，寻找解决问题的方法。
例如，教学“平行四边形的面积计算”时，教师首先让学生回忆已经学过的平面图形（长方形和正方形）的面积计算方法，然后让学生猜想：“平行四边形的面积怎样计算？”由于受负迁移的影响，不少学生认为是两边相乘，也就是底边乘底边；有的学生对这个猜想有意见，却说不出个所以然来。这时教师就应将错就错，因势利导，出示３个平行四边形（如下图），让学生运用猜想计算平行四边形的面积。
结果，学生计算得到３个平行四边形的面积都是4×3＝12（平方厘米）。这时教师提问：“这３个平行四边形的面积都相等吗？”学生经过观察发现这３个图形的面积各不相同，这时再利用课件展示这３个图形的变化过程，以及重叠的图形，使学生进一步理解和明白底边乘底边不是求平行四边形面积的方法。在这基础上再顺水推舟，教师进一步引导：“平行四边形面积到底应该怎样计算呢？”最后，通过运用直观图，加上学生的动手操作、自主探究，最终平行四边形面积计算方法的得出就水到渠成了。
案例中，教师先让学生独立猜想，引导学生在课堂中暴露错误，并站在学生的角度去“顺应”他们的认知，掌握其错误思考的轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药。教师通过合理利用学生的错误，对学生已掌握的知识水平、能力发展水平有了一个较清晰的认识，在教学中就避免了超前或滞后现象的出现，教学具有很强的针对性。一方面可以使学生有机会逐步建构对同一知识的不同层次的理解，另一方面也和处于不同认知发展阶段的学生的思维方式相适应。因此，学生在学习过程中一旦出现错误，教师不应简单地一带而过，而应引导其通过分析、认识错误的原因，从根本上去除自己学习中形成的错误认知信息，重新建立新的认知结构，使错误成为学生学习新知的切入点。
二、剖析错误，培养学生的发现意识
学生获得数学知识本来就应该是在不断的探索中进行的，在这一过程中，学生思维方法是各不相同的。因此，出现偏差和错误是很正常的事，关键在于教师如何利用“错误”这一资源。笔者发现在与学生剖析犯错误的原因时，往往会引起学生思维火花的迸发，因为此时学生不仅对原有的知识结构更为明了，还会对原有的知识各环节之间的关系理解得更透彻，在此基础上，一些规律性的知识就会自然而然地被发现。
例如，有一次让学生填空“0.66÷0.13=5……（）”时，大部分填的是“1”。针对这一个比较典型的错误，我把它作为一道是非题让学生自主探究，先判断答案是否正确，接着问：“能说说你是怎样发现错误的吗？”在富有启发性问题的引导下，每个小组的学生都很投入地展开讨论，学生的疑惑就在自己的深入探究中得到了解释，很快地找到了三种判断错误的方法。
生1：余数１与除数0.13相比，余数大于除数，说明填上“１”是不正确的。
生2：余数１与被除数0.66相比，余数比被除数大，说明填上“１”是不正确的。
生3：我是通过验算发现的，５×0.13 1=1.65≠0.66，说明填上“１”是不正确的。
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这样让学生在对错误原因的分析的基础上，再去找出正确的余数。由于计算时被除数和除数同时扩大了100倍，虽然商不变，但余数是被除数扩大100倍计算后余下的，所以余数也扩大了100倍，正确的余数应该是把“１”缩小100倍得0.01。这一知识点就在学生质疑、解疑的过程中逐渐深化。
只要有认知活动就会有错误发生，教学过程就是让学生不断尝试错误、辨别是非，从而主动构建知识的过程。对学生来说，错误是一种尝试、一种认知，也是一种进步。学生是带着无数的疑问走进课堂的，他们的学习实践过程就是“摸着石头前进”的过程，出现这样或那样的错误在所难免。教学过程就是让学生不断尝试错误的过程，虽然每一次学习的结果有对也有错，但它们的价值是一样的。“对”是一种进步，“错”也是一种进步，它起码可以证明某种想法或做法是不可行的，培养了学生的发现意识。教师应敏于捕捉学生质疑中产生的错误，善于发现错误背后隐含的价值，引领学生自主去发现问题、探究问题、解决问题，让学生有“柳暗花明又一村”的惊喜。
三、巧用错误，拓展学生的思维创新
学生犯错误的过程是一种尝试过程。教师只有具备了主动应对的新理念，变学习错误为培养学生创新思维的契机，才会发现错误背后隐含的价值，才能因地制宜地处理好来自学生的错误，让其发挥应有的作用。数学学习的过程是一个再创造的过程，是一个创新的过程。有人说：“创新就是捏一个你，捏一个我，合在一起打碎再捏一个你，再捏一个我。”对待错误，教师应留给学生充分“讲理”的机会，顺应学生的思维，挖掘错误背后的创新因素，适时、适度地给予点拨和鼓励，能帮助学生突破眼前的障碍，让学生体验思维价值，享受思维快乐。
例如，在上练习课时，书上出现了一道关于年龄问题的思考题：“小明今年5岁，爸爸27岁，几年后爸爸的岁数是小明的3倍？”教师先让学生自己独立思考，思考后可以进行小组讨论、交流。学生陷入了沉思中，竟然没有一点讨论声，显然，学生们被难住了。正当教师准备讲解时，一位学生大声喊道：“等等！老师，我知道了！（27-5×3）÷3=4（年）。”教室里顿时热闹起来。有学生验证后说：“不对，4年后小明9岁，爸爸31岁，31不是9的3倍。”“是啊！怎么回事？”这时，学生的思维被激活了，教室里顿时沸腾了起来。学生中有举例的，有画线段图的，有设未知数的，这道题在课堂中出现了（27-5）÷2-5=6（岁）、（27-5）÷2×3-27=6（岁）等七种不同的解法。“丁零零”，下课铃声响了，因学生的错误，这道看似极为普通、解答不费时的应用题，却占去了这堂课相当一部分时间，使我未能按时完成教学任务，但是我认为值得。当那位学生说出算式时，大家当时都没有听明白，但可以肯定答案是错的。我没有让学生的错误溜走，把错误作为教育资源，让学生的思维再现在大家面前。这样，学生在获得数学理解的同时，思维能力、口头表达能力、情感态度等多方面得以发展，体会到了学数学的乐趣。
通过这个教学案例，我认为：教师在课堂中巧妙地把学生的错误作为一种智力发展的教育资源，机智、灵活地引导学生从正、反不同角度去修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，利用错误给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这是培养学生创造性思维的有效办法。其实，与上面这个教学中的实例类似的情况，每个数学教师都可能遇到，但不同的处理方法所得到的教学效果却是完全不同的。试想：如果我当时在课堂上轻易地包办代替，将正确的算式呈现出来，而不就错因势利导，那么，良好的教学契机就会错过，而学生就不会获得思维发展的空间，更不会碰撞出这么多的思维火花。
错误是正确的先导，成功的开始。有道是“失败乃成功之母”，错误也是教学中永恒的话题，越来越多的教师意识到了错误资源在教学中的价值。作为教师，应该让学生真实地坦诚自己的想法，尊重学生的思维成果，不轻易否定学生在认真思维基础上的答案，这样学生才会“放下包袱、开动机器”，才会“百花齐放、百家争鸣”；这样，每个学生才能自始至终情绪高昂地参与整个教学过程，感受到学习的快乐。
让我们共同去开发和利用错误，使错误资源成为数学课堂教学中的一个亮点，让错误成就出精彩的课堂，为数学教学添上一道亮丽的风景线！
（责编蓝天）