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一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的使用条件是在一元二次方程中，而非其他方程，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0. 就是说，使用根的判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值，进而利用根的判别式解决问题.下面就2014年中考“根的判别式”应用归类解密，供同学们复习时参考.
一、 不解一元二次方程，直接判断或证明根的情况
例1 （四川自贡卷）一元二次方程x2-4x 5=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
分析 条件中给定的一元二次方程已知是一般形式，此时要判断根的情况，可直接计算出b2-4ac的值，进而利用根的判别式判断一元二次方程根的个数.
解 因为Δ=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4<0，所以原方程没有实数根，故应选D.
说明 此类问题容易出错的地方有二：一是不化方程为一元二次方程的一般形式，错误地确定a、b、c的值；二是不知道一元二次方程的实数根的个数是由判别式b2-4ac的符号来决定的.
二、 根据方程根的情况，确定字母系数的值
例2 （江苏南通卷）若关于x的方程x2-6x m=0有两个相等的实数根，则实数m=___.
分析 由根的情况，利用判别式构造方程求解.
解 ∵关于x的方程x2-6x m=0有两个相等的实数根，∴ Δ=0，即（-6）2-4m=0，解得m=9.
说明 关于一元二次方程根的判别式的使用，要注意是有两个实数根，还是两个不相等的实数根；如果是有两个实数根，还要明确是有两个不相等的实数根，还是有两个相等的实数根，或是笼统地说有两个实数根.
三、 根据方程根的情况，确定字母系数的最值
例3 （江西抚州卷）关于x的一元二次方程x2-5x k=0有两个不相等的实数根，则k可能的最大整数为___.
分析 先根据关于x的一元二次方程x2-5x k=0有两个不相等的实数根，建立关于k的不等式并求解，再求这个不等式的特殊解.
解 ∵关于x的一元二次方程x2-5x k=0有两个不相等的实数根，∴ Δ=（-5）2-4k>0，∴ k<■，∴ k可能的最大整数为6.
说明 解答此类问题有固定的思维模式：先求出一元二次方程的根的判别式b2-4ac，再根据一元二次方程根的情况建立关于字母系数的不等式来求解.另外，在本题中，最后确定k可能的最大整数时，采用“去尾法”，注意由于要求的是最大整数，所以不可以“进一法”，否则就会导致错误.
四、 根据方程根的情况，确定字母系数的取值范围
例4 （四川内江卷）若关于x的一元二次方程（k-1）x2 2x-2=0有不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k>■ B.k≥■ C.k>■且k≠1 D.k≥■且k≠1
分析 要求k的取值范围，可依据关于x的一元二次方程（k-1）x2 2x-2=0有不相等的实数根，得到一元二次方程根的判别式Δ>0，且k-1≠0，构造不等式求解.
解 依题意，得22-4（k-1）（-2）≥0，且k-1≠0，解得k≥■且k≠1，故应选D.
说明 利用一元二次方程根的判别式求解字母系数问题时，除了要能正确地列式运算外，还必须牢记二次项的系数不等于0.
五、 限制一元二次方程根与系数关系的应用
例5 （山东德州卷）方程x2 2kx k2-2k 1=0的两个实数根x1，x2满足x21 x22=4，则k的值为___.
分析 一方面，由配方或完全平方公式的变形可知x21 x22=（x1 x2）2-2x1x2，另一方面，由一元二次方程根与系数的关系可得到x1 x2=-2k，x1x2=k2-2k 1，从而可求出k的值，此时的k值必须满足Δ=b2-4ac≥0.
解 ∵ 方程x2 2kx k2-2k 1=0有两个实数根x1，x2，∴ x1 x2=-2k，x1x2=k2-2k 1，又∵ x21 x22=4，∴ x21 x22=（x1 x2）2-2x1x2=（-2k）2-2（k2-2k 1）=4，解得k1=-■，k2=1.∵ Δ≥0，∴ （-2k）2 -4（k2-2k 1）≥0，解得k≥■，∴ k1=-■舍去，∴ k的值为1.
说明 此类问题通常利用一元二次方程的根与系数的关系，结合完全平方公式，列出方程求解，最后的结果要注意检验.
六、 一元二次方程与二次函数的综合应用
例6 （黑龙江大庆卷）关于x的函数y=（m2-1）x2-（2m 2）x 2的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
分析 依题意可分别对二次项、一次项系数为0、不为0进行讨论，并结合一元二次方程根的判别式求解.
解 当m2-1=0，-（2m 2）≠0时，即m=1时，该函数为一次函数y=-4x 2，与x轴恰有一个交点；当m2-1≠0，即m≠±1时，该函数为二次函数，由题意，得Δ=b2-4ac=（2m 2）2-4×2×（m2-1）=0，解得m1=-1（不合题意，舍去），m2=3.综合，得m的值为1或3.
说明 本题以函数图象与x轴交点为背景，考查一元二次方程根的判别式与二次函数，求解时要注意分类讨论思想方法的运用.
七、 一元二次方程与几何图形的综合运用
例7 （四川泸州卷）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m 1）x m2 5=0的两实数根.
（1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值.
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.
分析 （1）由于x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，则可利用一元二次方程的根与系数的关系列式并结合（x1-1）（x2-1）=28，求得m的值.（2）条件中并没有明确7是底还是腰，于是应分两种情形：7为底边或7为腰分类，结合（1）即可确定等腰三角形的周长.
解 （1） ∵ x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m 1）x m2 5=0的两实数根，∴ x1 x2=2（m 1），x1x2=m2 5.
又∵（x1-1）（x2-1）=28，∴x1x2-（x1 x2）-27=0，∴m2 5-2（m 1）-27=0，即m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4.
∵ Δ=[-2（m 1）]2-4（m2 5）≥0，解得m≥2，即当m2=-4时原一元二次方程无解，∴ m=6.
（2）若7为此等腰三角形的底边，那么x1=x2，此时，Δ=0，即m=2，则有x1 x2=2（m 1）=6<7，不能构造三角形.
若7为此等腰三角形的腰，设x1=7，代入方程，得49-14（m 1） m2 5=0，解得m=10或4.当m=10时方程变为x2-22x 105=0，解得x=7或15. ∵ 7 7<15，∴ 不能组成三角形.
当m=4时方程变为x2-10x 21=0，解得x=3或7，此时三角形的周长为7 7 3=17.
说明 本题既考查了一元二次方程根与系数的关系及其解法，又考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和及两根之积分别与系数的关系，要注意体会方程思想和分类思想的运用.
（编辑 孙世奇）
一、 不解一元二次方程，直接判断或证明根的情况
例1 （四川自贡卷）一元二次方程x2-4x 5=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
分析 条件中给定的一元二次方程已知是一般形式，此时要判断根的情况，可直接计算出b2-4ac的值，进而利用根的判别式判断一元二次方程根的个数.
解 因为Δ=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4<0，所以原方程没有实数根，故应选D.
说明 此类问题容易出错的地方有二：一是不化方程为一元二次方程的一般形式，错误地确定a、b、c的值；二是不知道一元二次方程的实数根的个数是由判别式b2-4ac的符号来决定的.
二、 根据方程根的情况，确定字母系数的值
例2 （江苏南通卷）若关于x的方程x2-6x m=0有两个相等的实数根，则实数m=___.
分析 由根的情况，利用判别式构造方程求解.
解 ∵关于x的方程x2-6x m=0有两个相等的实数根，∴ Δ=0，即（-6）2-4m=0，解得m=9.
说明 关于一元二次方程根的判别式的使用，要注意是有两个实数根，还是两个不相等的实数根；如果是有两个实数根，还要明确是有两个不相等的实数根，还是有两个相等的实数根，或是笼统地说有两个实数根.
三、 根据方程根的情况，确定字母系数的最值
例3 （江西抚州卷）关于x的一元二次方程x2-5x k=0有两个不相等的实数根，则k可能的最大整数为___.
分析 先根据关于x的一元二次方程x2-5x k=0有两个不相等的实数根，建立关于k的不等式并求解，再求这个不等式的特殊解.
解 ∵关于x的一元二次方程x2-5x k=0有两个不相等的实数根，∴ Δ=（-5）2-4k>0，∴ k<■，∴ k可能的最大整数为6.
说明 解答此类问题有固定的思维模式：先求出一元二次方程的根的判别式b2-4ac，再根据一元二次方程根的情况建立关于字母系数的不等式来求解.另外，在本题中，最后确定k可能的最大整数时，采用“去尾法”，注意由于要求的是最大整数，所以不可以“进一法”，否则就会导致错误.
四、 根据方程根的情况，确定字母系数的取值范围
例4 （四川内江卷）若关于x的一元二次方程（k-1）x2 2x-2=0有不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k>■ B.k≥■ C.k>■且k≠1 D.k≥■且k≠1
分析 要求k的取值范围，可依据关于x的一元二次方程（k-1）x2 2x-2=0有不相等的实数根，得到一元二次方程根的判别式Δ>0，且k-1≠0，构造不等式求解.
解 依题意，得22-4（k-1）（-2）≥0，且k-1≠0，解得k≥■且k≠1，故应选D.
说明 利用一元二次方程根的判别式求解字母系数问题时，除了要能正确地列式运算外，还必须牢记二次项的系数不等于0.
五、 限制一元二次方程根与系数关系的应用
例5 （山东德州卷）方程x2 2kx k2-2k 1=0的两个实数根x1，x2满足x21 x22=4，则k的值为___.
分析 一方面，由配方或完全平方公式的变形可知x21 x22=（x1 x2）2-2x1x2，另一方面，由一元二次方程根与系数的关系可得到x1 x2=-2k，x1x2=k2-2k 1，从而可求出k的值，此时的k值必须满足Δ=b2-4ac≥0.
解 ∵ 方程x2 2kx k2-2k 1=0有两个实数根x1，x2，∴ x1 x2=-2k，x1x2=k2-2k 1，又∵ x21 x22=4，∴ x21 x22=（x1 x2）2-2x1x2=（-2k）2-2（k2-2k 1）=4，解得k1=-■，k2=1.∵ Δ≥0，∴ （-2k）2 -4（k2-2k 1）≥0，解得k≥■，∴ k1=-■舍去，∴ k的值为1.
说明 此类问题通常利用一元二次方程的根与系数的关系，结合完全平方公式，列出方程求解，最后的结果要注意检验.
六、 一元二次方程与二次函数的综合应用
例6 （黑龙江大庆卷）关于x的函数y=（m2-1）x2-（2m 2）x 2的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
分析 依题意可分别对二次项、一次项系数为0、不为0进行讨论，并结合一元二次方程根的判别式求解.
解 当m2-1=0，-（2m 2）≠0时，即m=1时，该函数为一次函数y=-4x 2，与x轴恰有一个交点；当m2-1≠0，即m≠±1时，该函数为二次函数，由题意，得Δ=b2-4ac=（2m 2）2-4×2×（m2-1）=0，解得m1=-1（不合题意，舍去），m2=3.综合，得m的值为1或3.
说明 本题以函数图象与x轴交点为背景，考查一元二次方程根的判别式与二次函数，求解时要注意分类讨论思想方法的运用.
七、 一元二次方程与几何图形的综合运用
例7 （四川泸州卷）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m 1）x m2 5=0的两实数根.
（1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值.
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.
分析 （1）由于x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，则可利用一元二次方程的根与系数的关系列式并结合（x1-1）（x2-1）=28，求得m的值.（2）条件中并没有明确7是底还是腰，于是应分两种情形：7为底边或7为腰分类，结合（1）即可确定等腰三角形的周长.
解 （1） ∵ x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m 1）x m2 5=0的两实数根，∴ x1 x2=2（m 1），x1x2=m2 5.
又∵（x1-1）（x2-1）=28，∴x1x2-（x1 x2）-27=0，∴m2 5-2（m 1）-27=0，即m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4.
∵ Δ=[-2（m 1）]2-4（m2 5）≥0，解得m≥2，即当m2=-4时原一元二次方程无解，∴ m=6.
（2）若7为此等腰三角形的底边，那么x1=x2，此时，Δ=0，即m=2，则有x1 x2=2（m 1）=6<7，不能构造三角形.
若7为此等腰三角形的腰，设x1=7，代入方程，得49-14（m 1） m2 5=0，解得m=10或4.当m=10时方程变为x2-22x 105=0，解得x=7或15. ∵ 7 7<15，∴ 不能组成三角形.
当m=4时方程变为x2-10x 21=0，解得x=3或7，此时三角形的周长为7 7 3=17.
说明 本题既考查了一元二次方程根与系数的关系及其解法，又考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和及两根之积分别与系数的关系，要注意体会方程思想和分类思想的运用.
（编辑 孙世奇）