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数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形问题的过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习时参考应用.
一、分类讨论思想
由于题目的约束较弱（条件趋一般）或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面（所有不同情况）才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.
例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长.
分析：要注意等腰三角形有两边相等，一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm，哪一段为6cm，故需分类讨论.
解：设腰长为xcm，底边为ycm，即AB=x，
则AD=CD=0.5x，BC=y，
（1）当x+0.5x=6时，
则y+0.5x=15，
由x+0.5x=6得x=4.
把x=4代入y+0.5x=15得y=13.
因为4+4<13，所以不能构成三角形.
（2）当x+0.5x=15时，则y+0.5x=6.
由x+0.5x=15得x=10.把x=10代入y+0.5x=6得y=1，又10+1>10，符合题意，所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.
例2 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在直线交于H，求∠BHC的度数.
分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.
解：（1）当△ABC为锐角三角形时（图2），
∵BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，
∴∠ADB=∠BEH =90°.
在△ABD中，∠ABD
=180°-90°-45°=45°.
∵∠BHC是△BHE的外角，
∴∠BHC=90°+45°=135°；
（2）当△ABC为钝角三角形时（图3），
∵H是△ABC两条高所在直线的交点，∠A=45°，
∴∠ABD=180°-90°-45°=45°.
在Rt△BEH中，
∠BHC=180°-
90°-45°=45°.
∴∠BHC的度数是135°或45°.
注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解.
二、 整体思想
研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.
例3 如图4（见下版），求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
分析：观察图形可得，图形由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.
解：因为∠A+∠C+∠E=180°，又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
点拨：例题中若直接求出每一个角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.
三、 方程思想
求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.
例4 如图5，在△ABC中，∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC的度数.
分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC的方程.
解：设∠EDC=x.
因为∠1是△DEC的外角，所以∠1=x+∠C.
又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.
又因为∠ADC是△ABD的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD.
所以∠B+∠BAD=∠2+x，即∠B+40°=∠C+2x.
因为∠B=∠C，所以2x=40°，解得x=20°.
点拨：方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.
四、转化思想
用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.
例5 如图6，求五角星各顶角之和.
分析：因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E较分散，本例中又不知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．
解：因为∠1=∠C+∠E，
∠2=∠B+∠D，
又因为∠1+∠2+∠A=180°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
点拨：此题还可以连接CD求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.
五、 数形结合思想
例6 如图7，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数.
分析：在△ABD中，∠ADB是一个内角，它等于180°-∠B-∠BAD，故求出∠BAD即可求出∠ADB的度数，这由已知条件不难求得；同理可求出∠ADC的度数.
解：在△ABC中，
∵∠B=60°，∠C=45°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°.
又∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-60°-37.5°=82.5°.
同理∠ADC=180°-∠C-∠DAC
=180°-45°-37.5°=97.5°.
点拨：几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头雾水，扑朔迷离，茫然不知所措.
一、分类讨论思想
由于题目的约束较弱（条件趋一般）或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面（所有不同情况）才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.
例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长.
分析：要注意等腰三角形有两边相等，一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm，哪一段为6cm，故需分类讨论.
解：设腰长为xcm，底边为ycm，即AB=x，
则AD=CD=0.5x，BC=y，
（1）当x+0.5x=6时，
则y+0.5x=15，
由x+0.5x=6得x=4.
把x=4代入y+0.5x=15得y=13.
因为4+4<13，所以不能构成三角形.
（2）当x+0.5x=15时，则y+0.5x=6.
由x+0.5x=15得x=10.把x=10代入y+0.5x=6得y=1，又10+1>10，符合题意，所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.
例2 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在直线交于H，求∠BHC的度数.
分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.
解：（1）当△ABC为锐角三角形时（图2），
∵BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，
∴∠ADB=∠BEH =90°.
在△ABD中，∠ABD
=180°-90°-45°=45°.
∵∠BHC是△BHE的外角，
∴∠BHC=90°+45°=135°；
（2）当△ABC为钝角三角形时（图3），
∵H是△ABC两条高所在直线的交点，∠A=45°，
∴∠ABD=180°-90°-45°=45°.
在Rt△BEH中，
∠BHC=180°-
90°-45°=45°.
∴∠BHC的度数是135°或45°.
注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解.
二、 整体思想
研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.
例3 如图4（见下版），求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
分析：观察图形可得，图形由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.
解：因为∠A+∠C+∠E=180°，又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
点拨：例题中若直接求出每一个角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.
三、 方程思想
求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.
例4 如图5，在△ABC中，∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC的度数.
分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC的方程.
解：设∠EDC=x.
因为∠1是△DEC的外角，所以∠1=x+∠C.
又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.
又因为∠ADC是△ABD的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD.
所以∠B+∠BAD=∠2+x，即∠B+40°=∠C+2x.
因为∠B=∠C，所以2x=40°，解得x=20°.
点拨：方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.
四、转化思想
用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.
例5 如图6，求五角星各顶角之和.
分析：因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E较分散，本例中又不知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．
解：因为∠1=∠C+∠E，
∠2=∠B+∠D，
又因为∠1+∠2+∠A=180°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
点拨：此题还可以连接CD求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.
五、 数形结合思想
例6 如图7，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数.
分析：在△ABD中，∠ADB是一个内角，它等于180°-∠B-∠BAD，故求出∠BAD即可求出∠ADB的度数，这由已知条件不难求得；同理可求出∠ADC的度数.
解：在△ABC中，
∵∠B=60°，∠C=45°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°.
又∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-60°-37.5°=82.5°.
同理∠ADC=180°-∠C-∠DAC
=180°-45°-37.5°=97.5°.
点拨：几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头雾水，扑朔迷离，茫然不知所措.