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摘要：本文结合微积分基本公式现有的课堂教学探索，尝试在课堂上融入物资空投情境的教学实施，进而引出问题、探究问题、论证公式、解决问题。一方面旨在提高学生解决问题的综合能力，增进学生的人文素养和爱国情怀;另一方面，为该教学内容课堂实施探索贴近研究热点提供借鉴。
关键词：微积分基本公式;情境问题探究式;定点空投
中图分类号：G4 文献标识码：A
《高等数学》课程学习的好坏，关系到学生思想品质、思辨能力、创造潜能等综合素养的形成。对于每堂课的实践值得从不同角度、用不同方法、融入国防应用等方面来不断探索，进而达到教书育人的目的。微积分基本公式是微积分学最重要的内容，本文尝试把国防研究热点--空投问题的情境融入课堂展开教学，力求提高教学效果。
一.微积分基本公式的地位作用
《微积分基本公式》是《高等数学》（同济大学编，第七版）上册第五章第二节的教学内容，主要包括微积分基本定理和积分上限函数。微积分基本公式是计算定积分的重要方法，是的教学重点，微积分基本定理的证明抽象、逻辑性较强，是教学难点。通过本堂课的学习，不仅学生要掌握公式、会用公式，还要培养分析、解决问题的能力，同时也要培养学生的科学理性思维和探究精神，尝试教会学生去欣赏数学的简洁美。
二.微积分基本公式已有教学实施
因微积分基本公式的重要性，很多教师对于本堂课教学实践做多种探索。另外，在各种数学创新教学比赛、青年教师教学能力比武竞赛等多种赛事中，微积分基本公式经常被选择作为授课的内容。归结汇总目前教师已尝试的课堂教学实施方式，代表性的有以下几种。
1.微课设计
微积分基本公式是高等数学中的重点教学内容，适合微课的选题。遵循“以知识为载体，培养学生数学思维能力”的理念，在本堂课的微课设计采用明暗两条线，以物理观察为基础，几何探究为重点讨论过程，收到了较好的教学效果[1]。
2.翻转课堂设计
微积分基本公式的该模式教学设计遵循“以学生为中心”，老师及时根据学生的个别问题进行个别指导。学生从观看变为体验，充当课上小老师。该模式的实施对教师提出了较高要求。课前，提供教学资料，布置预习任务，这些任务要体现本堂课需要巩固的知识基础、本堂课的教学重点、“三基”要点等。课中，师生、生生课上研讨互动，进行问题解答，并做知识拓展、随堂测试等。课后，布置任务，完成针对性巩固练习，并配合拓展阅读[2]。
3.基于积分变限函数特性设计
这类课堂设计会充分利用积分变限函数的特性，来证明基本定理。介绍积分变限函数，深入理解积分变限函数的性质。按照由一般到特殊的思路，逐渐展开基本定理证明。期间注重数学研究方法、研究思想的渗透[3]。
三.微积分基本公式课堂教学新尝试
不同教师对微积分基本公式的教学探索，给高等数学一线教师提供了多方面和多角度实施借鉴和参考，每一种教学设计，都有其优势和能达成的教学目标。同时，也能看到，在贴近国防建设、前沿热点等方面的课堂教学探索并不多。本次教学设计，从军事研究热点--装备（物资）空投情境入手，采用情境-问题-探究式教学法，是该教学内容课堂实施的一种新的探索。具体教学设计和教学过程如下。
（一）教学设计
1.教学对象：本科一年级学员。学员的学习现状是：他们基本掌握了导数、不定积分、定积分的概念等;会使用中值定理等知识但灵活性不足。已具备对实际问题进行初步分析、处理能力，但在理解“近似-极限-精确”的辩证思维上还不够深刻。
2. 教学流程：首先，创设军用物资空投的情境，引出定积分简便计算问题。再从变速直线运动路程的计算切入，启发归纳，得出猜想。接着，通过简单算例和数学实验，来检验猜想;在分析完善猜想后，运用拉格朗日中值定理探索研究，得到基本公式。之后，严格证明基本公式，深入理解基本公式。介绍公式背后的历史、人文，再用公式解决空投问题，回扣引例。
3.教学方法：主要采用了情境-问题-探究式教学法。
（二）教学过程
1.问题提出
军事上在遂行作战任务和非战争军事行动时，空投都是一种重要的物资投送方式。通过播放一段公开发布的空投视频，引起学生思考：在这类带伞空投行动中，空投军用物资能否准确落入预定地点，是物资空投的一个重要问题。要保证物资落入预订地点，就要确定空投点。
问题：假设在无风情况下，军用运输飞机从1000米高空，以水平初速度（米/秒）抛出某规格物资，12秒后开伞，问应该在何处实施空投，物资才能到达预定点A？
在教师引导下，详细分析，得到结论：要确定空投点，只需要计算水平方向的运动路程。而单从水平方向上看，物資是做变速直线运动的。基于定点空投问题的相关研究，假设水平方向速度函数为
则水平路程就等于速度函数在0-12时间段上的定积分.接着，回顾用定义计算定积分的方法。同时发现，用定义计算定积分不仅繁琐、困难，甚至计算不出来。面对实际应用中，大量存在的定积分计算，由此提出问题：能不能找到一种方法，可以简便地计算定积分？
2.问题探究
（1）引例 变速直线运动的路程
物体（空投物资）在作变速直线运动，在直线上取定原点、正向，使它成为数轴。设物体在时刻所在的位置为，速度为，求物体在该时间段经过的路程。
该定积分若用定义计算会面临难以计算的极限，故设计数学实验，计算得定积分值近似值也为2，检验得猜想等式成立。
（4）论证
所以要使空投物资落入预定点，就需在水平方向上距离点约423.9米处1000米上空实施空投。
四.教学实施评价与改进
该教学实施方法从军事研究热点物资空投问题切入，在课堂讲授中，引入、课中、结尾环节都紧贴军事问题解决来进行，让学员深刻感受抽象的数学公式有具体的“用武之地”，激发学生的爱国情怀。课堂实施中，将军事数学建模、 猜想分析论证、历史人文思政三条教学主线交叉相融，围绕基本公式展开教学，培养学生的综合素养。期间注重数、形、动画演示、数学实验相结合，化抽象为形象，增进学生对问题、分析、论证的直观理解。同时也要注意到，该教学实施研究的问题，是做了理想假设的前提下，才能用微积分基本公式解决。面对实际中复杂的空投问题，学生继续探究还存在知识储备的不足和建模能力的欠缺的问题，在以后的教学中，教师还需要进一步引导学生探讨。
参考文献
[1]屈娜.高等数学微课堂教学设计初探[J].科教导刊.2018，15（05）：109-110.
[2]许小艳. 高等数学翻转课堂教学设计[J].高教视野.2020，25：8-9.
[3] 阳锐顺.数学思想在微积分基本公式教学中的渗透[J].教育发展纵横.2019：191-192.
[4]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2015.
[5]李建平.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2015.
关键词：微积分基本公式;情境问题探究式;定点空投
中图分类号：G4 文献标识码：A
《高等数学》课程学习的好坏，关系到学生思想品质、思辨能力、创造潜能等综合素养的形成。对于每堂课的实践值得从不同角度、用不同方法、融入国防应用等方面来不断探索，进而达到教书育人的目的。微积分基本公式是微积分学最重要的内容，本文尝试把国防研究热点--空投问题的情境融入课堂展开教学，力求提高教学效果。
一.微积分基本公式的地位作用
《微积分基本公式》是《高等数学》（同济大学编，第七版）上册第五章第二节的教学内容，主要包括微积分基本定理和积分上限函数。微积分基本公式是计算定积分的重要方法，是的教学重点，微积分基本定理的证明抽象、逻辑性较强，是教学难点。通过本堂课的学习，不仅学生要掌握公式、会用公式，还要培养分析、解决问题的能力，同时也要培养学生的科学理性思维和探究精神，尝试教会学生去欣赏数学的简洁美。
二.微积分基本公式已有教学实施
因微积分基本公式的重要性，很多教师对于本堂课教学实践做多种探索。另外，在各种数学创新教学比赛、青年教师教学能力比武竞赛等多种赛事中，微积分基本公式经常被选择作为授课的内容。归结汇总目前教师已尝试的课堂教学实施方式，代表性的有以下几种。
1.微课设计
微积分基本公式是高等数学中的重点教学内容，适合微课的选题。遵循“以知识为载体，培养学生数学思维能力”的理念，在本堂课的微课设计采用明暗两条线，以物理观察为基础，几何探究为重点讨论过程，收到了较好的教学效果[1]。
2.翻转课堂设计
微积分基本公式的该模式教学设计遵循“以学生为中心”，老师及时根据学生的个别问题进行个别指导。学生从观看变为体验，充当课上小老师。该模式的实施对教师提出了较高要求。课前，提供教学资料，布置预习任务，这些任务要体现本堂课需要巩固的知识基础、本堂课的教学重点、“三基”要点等。课中，师生、生生课上研讨互动，进行问题解答，并做知识拓展、随堂测试等。课后，布置任务，完成针对性巩固练习，并配合拓展阅读[2]。
3.基于积分变限函数特性设计
这类课堂设计会充分利用积分变限函数的特性，来证明基本定理。介绍积分变限函数，深入理解积分变限函数的性质。按照由一般到特殊的思路，逐渐展开基本定理证明。期间注重数学研究方法、研究思想的渗透[3]。
三.微积分基本公式课堂教学新尝试
不同教师对微积分基本公式的教学探索，给高等数学一线教师提供了多方面和多角度实施借鉴和参考，每一种教学设计，都有其优势和能达成的教学目标。同时，也能看到，在贴近国防建设、前沿热点等方面的课堂教学探索并不多。本次教学设计，从军事研究热点--装备（物资）空投情境入手，采用情境-问题-探究式教学法，是该教学内容课堂实施的一种新的探索。具体教学设计和教学过程如下。
（一）教学设计
1.教学对象：本科一年级学员。学员的学习现状是：他们基本掌握了导数、不定积分、定积分的概念等;会使用中值定理等知识但灵活性不足。已具备对实际问题进行初步分析、处理能力，但在理解“近似-极限-精确”的辩证思维上还不够深刻。
2. 教学流程：首先，创设军用物资空投的情境，引出定积分简便计算问题。再从变速直线运动路程的计算切入，启发归纳，得出猜想。接着，通过简单算例和数学实验，来检验猜想;在分析完善猜想后，运用拉格朗日中值定理探索研究，得到基本公式。之后，严格证明基本公式，深入理解基本公式。介绍公式背后的历史、人文，再用公式解决空投问题，回扣引例。
3.教学方法：主要采用了情境-问题-探究式教学法。
（二）教学过程
1.问题提出
军事上在遂行作战任务和非战争军事行动时，空投都是一种重要的物资投送方式。通过播放一段公开发布的空投视频，引起学生思考：在这类带伞空投行动中，空投军用物资能否准确落入预定地点，是物资空投的一个重要问题。要保证物资落入预订地点，就要确定空投点。
问题：假设在无风情况下，军用运输飞机从1000米高空，以水平初速度（米/秒）抛出某规格物资，12秒后开伞，问应该在何处实施空投，物资才能到达预定点A？
在教师引导下，详细分析，得到结论：要确定空投点，只需要计算水平方向的运动路程。而单从水平方向上看，物資是做变速直线运动的。基于定点空投问题的相关研究，假设水平方向速度函数为
则水平路程就等于速度函数在0-12时间段上的定积分.接着，回顾用定义计算定积分的方法。同时发现，用定义计算定积分不仅繁琐、困难，甚至计算不出来。面对实际应用中，大量存在的定积分计算，由此提出问题：能不能找到一种方法，可以简便地计算定积分？
2.问题探究
（1）引例 变速直线运动的路程
物体（空投物资）在作变速直线运动，在直线上取定原点、正向，使它成为数轴。设物体在时刻所在的位置为，速度为，求物体在该时间段经过的路程。
该定积分若用定义计算会面临难以计算的极限，故设计数学实验，计算得定积分值近似值也为2，检验得猜想等式成立。
（4）论证
所以要使空投物资落入预定点，就需在水平方向上距离点约423.9米处1000米上空实施空投。
四.教学实施评价与改进
该教学实施方法从军事研究热点物资空投问题切入，在课堂讲授中，引入、课中、结尾环节都紧贴军事问题解决来进行，让学员深刻感受抽象的数学公式有具体的“用武之地”，激发学生的爱国情怀。课堂实施中，将军事数学建模、 猜想分析论证、历史人文思政三条教学主线交叉相融，围绕基本公式展开教学，培养学生的综合素养。期间注重数、形、动画演示、数学实验相结合，化抽象为形象，增进学生对问题、分析、论证的直观理解。同时也要注意到，该教学实施研究的问题，是做了理想假设的前提下，才能用微积分基本公式解决。面对实际中复杂的空投问题，学生继续探究还存在知识储备的不足和建模能力的欠缺的问题，在以后的教学中，教师还需要进一步引导学生探讨。
参考文献
[1]屈娜.高等数学微课堂教学设计初探[J].科教导刊.2018，15（05）：109-110.
[2]许小艳. 高等数学翻转课堂教学设计[J].高教视野.2020，25：8-9.
[3] 阳锐顺.数学思想在微积分基本公式教学中的渗透[J].教育发展纵横.2019：191-192.
[4]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2015.
[5]李建平.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2015.