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摘要：逻辑推理是高中数学学习的逻辑思维方式，在数学教学中，推理作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，也是一种推理方法，而且是一种理智的解题策略，本文针对逻辑推理在高中数学中的应用进行了剖析。笔者根据自身的教学实践，在课堂教学中进行逻辑推理方法的教学。
关键词：核心素养 逻辑推理 应用
推理是一种从已知两个事物在某些方面有相同或相似的局部属性，推出它们其它方面（属性、关系、特征、形式等）也有相同或相似的属性。推断出它们在其它方面也可能相同或类似的一种推理方法。从而探索规律，发现真理，或探索发现解题途径或方法，推理要善于观察、比较，通过广泛的联想，作出大胆的猜想，得出准确的结论。（推理得出的结论只是一种猜想，是否正确善须证明）。“每当理智缺乏可靠论证的思路时，推理，这个方法往往能指引我们前进”（德国古典哲学家康德）。
在数学教学中，推理作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识、掌握新知识;而且是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。正由于推理方法具有如此强大的功能，通过对近几年高考数学试题的分析研究，不难看出逻辑推理已逐渐渗透于高考试题之中，推理试题已成为高考的新宠。因此，在数学教学和解题中，教师要有意识地对学生进行推理推理能力的训练。本文将尝试从以下几个方面剖析逻辑推理在高中数学中的应用：
一、用推理法教学可以使学生由浅入深，由直观到抽象地学习新知识。
数学中的许多概念，知识点之间有类似的地方，在新概念的提出，新知识的讲授过程中，运用推理的方法，能使学生易于理解和掌握：
（一）高中立体几何学习阶段，可以让学生探索一些空间的点、线、面，观察其是否具有与平面中类似或相同的关系，通过推理培养其空间想象能力。例如：平行公理（即若直线a//b，b//c，则a//c）在平面与空间都成立;而平面中成立的命题：“若直线a⊥b，b⊥c，则a//c”拓展到空间则不一定成立;从平面向量到空间向量，同样是从二维到三维的推广，将向量的运算规则由二维到三维的拓展，采用“推理”手段也是行之有效的。
（二）研究函数的性质时，要在结合函数图像分析和具体实例的基础上，逐步培养起学生运用函数观点推理处理有关方程、不等式乃至数列等问题的数学意识。
（三）复数的运算与普通实数运算有许多可套用的“规则”，其基本运算性质也和实数的运算性质相类似;高中数学中经常采用的映射关系、换元法、数形结合等解题策略，都可以认为是逻辑推理的体现等等。总之， 通过推理可以使学生在学习新知识时收到事半功倍的效果。
二、推理是自主性学习的有效方法。
推理是以比较为基础，通过本质属性上的比较，找出两类事物在性质上或关系上相同或相似之处，概括出本质规律，然后进行证明确认。
例1：试比较“等差数列通项公式”与“直线方程”。
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项为an=a1+（n-1）d，将其变形为an-a1=d（n-1），这与直线的点斜式方程y-y0=k（x-x0）在形式上相似，其中公差d就是斜率k，而数列中数对（1，a1）对应直线上的点（x0，y0）。因而数列中所有数对（n，an）都在同一直线上。
若推理直线两点式方程，列等差数列应有：
（证明成立，这里证明略）。
其中：ap、an、am是等差数列的项。由数列
也可导出：。
应用：已知m，a1，a2，n成等差数列，m，b1，b2，b3，n成等差数列（m≠n），求。
解：由m，a1，a2，n成等差数列，则
又m，b1，b2，b3，n成等差数列，则∴
例2：由0<a<b，m∈N+，则
用推理法推断出0<a<b，m∈N+则
分析：有正确结论：真分数（a<b，）分子、分母同时加上一个正数（m∈N+），新分数大于原分数。在这个结论的基础上，可以大胆猜想是否存在。
证明：=
只要结论成立，因为a，b，m都是正数，且a<b
所以m（b-a）>0，要使成立，还须a<m<b。∴猜想成立条件0<a<m<b。
推理是自主、自觉、独立的学习方法，推理让学生联想丰富，使学习不拘泥于课本，发掘知识内涵，拓展更宽的学习天地，是深入挖隐拓展的思维方式。
三、运用推理推理进行探究，激发学生思维。
在认识了运用推理推理进行探究的方法之后，在讲授数列复习课时我设置了如下若干性质探究的问题供学生思考。
问题1 在等差数列{an}中，若a10=0，则有a1+a2+…+a7=a1+a2+…+a12，推理上述性质，在等比数列{bn}中，若b10=1，则有 。
问题2 已知等差数列{an}的前n项和为用推理的方法，写出等比数列{bn}的前n项积表达式Tn= 。
问题3 等差数列有如下性质：若数列{an}为等差数列，则当时，数列{bn}也是等差数列;推理上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，当dn= 时，数列{dn}也是等比数列。
问题4 若等差数列{an}，则|an+1+an|也成等差數列由此经过推理，若{bn}为等比数列你能得到什么结论？
问题5 若Sn是等差数列{an}前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也是等差数列，在等比数列中是否也是有这样的结论？为什么？
推理推理的方法，数列是一个比较好的题材，通过有关问题的解决，既加深了对等差数列与等比数列的认识，又让学生对推理的方法、实质有所体验，还可让学生体验“大胆猜想——小心论证”的严谨的数学发现历程。 这样的教学设计，使得推理的思想始终贯穿在等差、等比数列的复习中，知识重现的逻辑顺序发生了变化，不再是以前的先等差数列的通项、求和，再等比数列的通项、求和。这样就从另一个角度把知识内容进行了整理，课例中几个探究问题始终贯穿推理推理这一条新的线索，学生在思维上经过反复的推理、验证，自我领悟并掌握推理的思想方法，这样的处理方式使得这节课整体感很强，不是东敲西打，也不是面面俱到，克服了平常复习课比较容易犯的毛病，体现了教学过程中教师站在比较高的角度处理问题。
四、推理是解释问题的有力工具。
解释数学问题就是学习，其中求解、论证问题是学生学习的主要方面。在高考试题中灵活应用逻辑推理，可以大大提高解题能力。
（一）平面推理空间
例4：在平面几何里，有勾股定理：“设ΔABC 的两边AB，AC 互相垂直，则AB2+AC2=BC2”。拓展到空间，推理平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC，ACD，ADB 两两相互垂直，则 。” （）
这道题考查学生的推理推理能力，将原来平面几何中线的关系与立体几何中面的关系进行了推理，通过二维到三维的推广使学生获取新知识。
（二）情景推理问题
例5：如图（1），小圆圈表示网络的结点，结点间的联线表示它们有网络相联，连线标明的数字表示该段网络单位时间内可通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内最大的信息量为（ ）
A、26 B、24 C、20 D、19
分析：如圖（1）将“单位时间内网络最大信息量”推理于“单位时间内由粗细水管连接而成的管道中水最大流量”，决定流量是最细管。
解：由图可知：min{12，5，3}=3， min{12，6，4}=4， min{12，6，7}=6， min{12，8，6}=6，且3+4<12，6+6=12，∴单位时间内传递最大信息量为3+4+6+6=19，故选D。
（三）推理定义结构
例6：设向量，满足||=|+|=3，||=，求<，>的值。
分析：由题中||，||，||的形式联想平面直角坐标系内平行四边形，以四边形的边长推理向量的模的定义，即以形助数。
解：如图（2）所示：设，，在平面上所对应的点为A，B，C则||=||，||=||，||=||，||=||
因为OABC是平行四边形，
所以||2+||2=2（||2+||2）
因而||=3，所以<，>=
（四）推理公式的结构。
运用推理可以沟通不同的知识板块，充分调动所学知识，开阔解题思路。
例7：求的值域
分析：许多数学公式都有它固有的构成形态，在解题时通过推理发现题目本身经过变形后，具有了某个公式的结构，那么就可以利用公式去解题。
解：（联想），由可令，则有，又，所以y∈（-1，1）。
例8： 已知x∈R，a 为正常数，且函数f（x）满足，
求证：f（x）是周期函数。
分析：要求证一个函数是周期函数，通常是通过观察估算出它的一个周期，然后利用周期函数的定义加以证明。本题要直接得出它的一个周期并不容易。但如果将已知条件与进行比较，可发现它们结构上十分相似，而函数tanx 的周期为π，是的4 倍。于是我们猜想4a 是函数f（x）的一个周期。
证明：
∴ 4a 是函数f（x）的一个周期，函数f（x）是一个周期函数。
上述证明主要是把握住了与结构上的相似之处，进行推理而得出了解题思路。
例9： 已知实数x，y 满足方程的点P（x，y）的轨迹为（ ）
A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 两直线
分析：本题若一开始进行平方运算，使得解题很难堪。如果对等式两边分别作形式推理就会发现表示动点P 到定点（1，0）的距离; 与动点P 到定直线x-y+3=0的距离很相似。
故：，表示动点P 到定点（1，0）的距离与它到定直线x-y+3=0 的距离之比为。所以：答案选B
（五）推理定理结构。
例10：已知正实数a，b，c，d满足a2+b2+c2=d2，
试证+a+b+c>3d
分析：由a2+b2+c2=d2推理长方体对角线长定理，即将数化形。不妨构造一个三边分别为a、b、c的长方体，则对角线长为d，（如图：（3））。
证明：因为
所以e+c>d（三角形两边之和大于第三边）
即+c>d
同理有
故
（六）题型推理解法。
例11：求的值。
分析：通过观察，联想与与公式有关，于是推理对偶式的解题方法。
解：设
则
则 （1）
（2）
由（1）+（2）得 2A= ，所以A=
即
“每当理智缺乏可靠论证的思路时，推理这方法往往能指引我们前进”（ 康德）。推理使我们大大缩短了探索，发现真理的时间和过程，不失为一种有效的认知策略。“勿容置疑，推理是发现的源泉”（波比亚）。
参考文献
[1]邓勤.运用新课程的理念提高教学复习课的课堂效率[J].数学通报，2018.5.
[2]姚荣，连四清.复习课中利用开放性问题的实践与探索[J].数学通报，2018.8.
[3]陈永明.陈永明评议数学课[M].上海：上海科技教育出版社，2018.
关键词：核心素养 逻辑推理 应用
推理是一种从已知两个事物在某些方面有相同或相似的局部属性，推出它们其它方面（属性、关系、特征、形式等）也有相同或相似的属性。推断出它们在其它方面也可能相同或类似的一种推理方法。从而探索规律，发现真理，或探索发现解题途径或方法，推理要善于观察、比较，通过广泛的联想，作出大胆的猜想，得出准确的结论。（推理得出的结论只是一种猜想，是否正确善须证明）。“每当理智缺乏可靠论证的思路时，推理，这个方法往往能指引我们前进”（德国古典哲学家康德）。
在数学教学中，推理作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识、掌握新知识;而且是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。正由于推理方法具有如此强大的功能，通过对近几年高考数学试题的分析研究，不难看出逻辑推理已逐渐渗透于高考试题之中，推理试题已成为高考的新宠。因此，在数学教学和解题中，教师要有意识地对学生进行推理推理能力的训练。本文将尝试从以下几个方面剖析逻辑推理在高中数学中的应用：
一、用推理法教学可以使学生由浅入深，由直观到抽象地学习新知识。
数学中的许多概念，知识点之间有类似的地方，在新概念的提出，新知识的讲授过程中，运用推理的方法，能使学生易于理解和掌握：
（一）高中立体几何学习阶段，可以让学生探索一些空间的点、线、面，观察其是否具有与平面中类似或相同的关系，通过推理培养其空间想象能力。例如：平行公理（即若直线a//b，b//c，则a//c）在平面与空间都成立;而平面中成立的命题：“若直线a⊥b，b⊥c，则a//c”拓展到空间则不一定成立;从平面向量到空间向量，同样是从二维到三维的推广，将向量的运算规则由二维到三维的拓展，采用“推理”手段也是行之有效的。
（二）研究函数的性质时，要在结合函数图像分析和具体实例的基础上，逐步培养起学生运用函数观点推理处理有关方程、不等式乃至数列等问题的数学意识。
（三）复数的运算与普通实数运算有许多可套用的“规则”，其基本运算性质也和实数的运算性质相类似;高中数学中经常采用的映射关系、换元法、数形结合等解题策略，都可以认为是逻辑推理的体现等等。总之， 通过推理可以使学生在学习新知识时收到事半功倍的效果。
二、推理是自主性学习的有效方法。
推理是以比较为基础，通过本质属性上的比较，找出两类事物在性质上或关系上相同或相似之处，概括出本质规律，然后进行证明确认。
例1：试比较“等差数列通项公式”与“直线方程”。
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项为an=a1+（n-1）d，将其变形为an-a1=d（n-1），这与直线的点斜式方程y-y0=k（x-x0）在形式上相似，其中公差d就是斜率k，而数列中数对（1，a1）对应直线上的点（x0，y0）。因而数列中所有数对（n，an）都在同一直线上。
若推理直线两点式方程，列等差数列应有：
（证明成立，这里证明略）。
其中：ap、an、am是等差数列的项。由数列
也可导出：。
应用：已知m，a1，a2，n成等差数列，m，b1，b2，b3，n成等差数列（m≠n），求。
解：由m，a1，a2，n成等差数列，则
又m，b1，b2，b3，n成等差数列，则∴
例2：由0<a<b，m∈N+，则
用推理法推断出0<a<b，m∈N+则
分析：有正确结论：真分数（a<b，）分子、分母同时加上一个正数（m∈N+），新分数大于原分数。在这个结论的基础上，可以大胆猜想是否存在。
证明：=
只要结论成立，因为a，b，m都是正数，且a<b
所以m（b-a）>0，要使成立，还须a<m<b。∴猜想成立条件0<a<m<b。
推理是自主、自觉、独立的学习方法，推理让学生联想丰富，使学习不拘泥于课本，发掘知识内涵，拓展更宽的学习天地，是深入挖隐拓展的思维方式。
三、运用推理推理进行探究，激发学生思维。
在认识了运用推理推理进行探究的方法之后，在讲授数列复习课时我设置了如下若干性质探究的问题供学生思考。
问题1 在等差数列{an}中，若a10=0，则有a1+a2+…+a7=a1+a2+…+a12，推理上述性质，在等比数列{bn}中，若b10=1，则有 。
问题2 已知等差数列{an}的前n项和为用推理的方法，写出等比数列{bn}的前n项积表达式Tn= 。
问题3 等差数列有如下性质：若数列{an}为等差数列，则当时，数列{bn}也是等差数列;推理上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，当dn= 时，数列{dn}也是等比数列。
问题4 若等差数列{an}，则|an+1+an|也成等差數列由此经过推理，若{bn}为等比数列你能得到什么结论？
问题5 若Sn是等差数列{an}前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也是等差数列，在等比数列中是否也是有这样的结论？为什么？
推理推理的方法，数列是一个比较好的题材，通过有关问题的解决，既加深了对等差数列与等比数列的认识，又让学生对推理的方法、实质有所体验，还可让学生体验“大胆猜想——小心论证”的严谨的数学发现历程。 这样的教学设计，使得推理的思想始终贯穿在等差、等比数列的复习中，知识重现的逻辑顺序发生了变化，不再是以前的先等差数列的通项、求和，再等比数列的通项、求和。这样就从另一个角度把知识内容进行了整理，课例中几个探究问题始终贯穿推理推理这一条新的线索，学生在思维上经过反复的推理、验证，自我领悟并掌握推理的思想方法，这样的处理方式使得这节课整体感很强，不是东敲西打，也不是面面俱到，克服了平常复习课比较容易犯的毛病，体现了教学过程中教师站在比较高的角度处理问题。
四、推理是解释问题的有力工具。
解释数学问题就是学习，其中求解、论证问题是学生学习的主要方面。在高考试题中灵活应用逻辑推理，可以大大提高解题能力。
（一）平面推理空间
例4：在平面几何里，有勾股定理：“设ΔABC 的两边AB，AC 互相垂直，则AB2+AC2=BC2”。拓展到空间，推理平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC，ACD，ADB 两两相互垂直，则 。” （）
这道题考查学生的推理推理能力，将原来平面几何中线的关系与立体几何中面的关系进行了推理，通过二维到三维的推广使学生获取新知识。
（二）情景推理问题
例5：如图（1），小圆圈表示网络的结点，结点间的联线表示它们有网络相联，连线标明的数字表示该段网络单位时间内可通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内最大的信息量为（ ）
A、26 B、24 C、20 D、19
分析：如圖（1）将“单位时间内网络最大信息量”推理于“单位时间内由粗细水管连接而成的管道中水最大流量”，决定流量是最细管。
解：由图可知：min{12，5，3}=3， min{12，6，4}=4， min{12，6，7}=6， min{12，8，6}=6，且3+4<12，6+6=12，∴单位时间内传递最大信息量为3+4+6+6=19，故选D。
（三）推理定义结构
例6：设向量，满足||=|+|=3，||=，求<，>的值。
分析：由题中||，||，||的形式联想平面直角坐标系内平行四边形，以四边形的边长推理向量的模的定义，即以形助数。
解：如图（2）所示：设，，在平面上所对应的点为A，B，C则||=||，||=||，||=||，||=||
因为OABC是平行四边形，
所以||2+||2=2（||2+||2）
因而||=3，所以<，>=
（四）推理公式的结构。
运用推理可以沟通不同的知识板块，充分调动所学知识，开阔解题思路。
例7：求的值域
分析：许多数学公式都有它固有的构成形态，在解题时通过推理发现题目本身经过变形后，具有了某个公式的结构，那么就可以利用公式去解题。
解：（联想），由可令，则有，又，所以y∈（-1，1）。
例8： 已知x∈R，a 为正常数，且函数f（x）满足，
求证：f（x）是周期函数。
分析：要求证一个函数是周期函数，通常是通过观察估算出它的一个周期，然后利用周期函数的定义加以证明。本题要直接得出它的一个周期并不容易。但如果将已知条件与进行比较，可发现它们结构上十分相似，而函数tanx 的周期为π，是的4 倍。于是我们猜想4a 是函数f（x）的一个周期。
证明：
∴ 4a 是函数f（x）的一个周期，函数f（x）是一个周期函数。
上述证明主要是把握住了与结构上的相似之处，进行推理而得出了解题思路。
例9： 已知实数x，y 满足方程的点P（x，y）的轨迹为（ ）
A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 两直线
分析：本题若一开始进行平方运算，使得解题很难堪。如果对等式两边分别作形式推理就会发现表示动点P 到定点（1，0）的距离; 与动点P 到定直线x-y+3=0的距离很相似。
故：，表示动点P 到定点（1，0）的距离与它到定直线x-y+3=0 的距离之比为。所以：答案选B
（五）推理定理结构。
例10：已知正实数a，b，c，d满足a2+b2+c2=d2，
试证+a+b+c>3d
分析：由a2+b2+c2=d2推理长方体对角线长定理，即将数化形。不妨构造一个三边分别为a、b、c的长方体，则对角线长为d，（如图：（3））。
证明：因为
所以e+c>d（三角形两边之和大于第三边）
即+c>d
同理有
故
（六）题型推理解法。
例11：求的值。
分析：通过观察，联想与与公式有关，于是推理对偶式的解题方法。
解：设
则
则 （1）
（2）
由（1）+（2）得 2A= ，所以A=
即
“每当理智缺乏可靠论证的思路时，推理这方法往往能指引我们前进”（ 康德）。推理使我们大大缩短了探索，发现真理的时间和过程，不失为一种有效的认知策略。“勿容置疑，推理是发现的源泉”（波比亚）。
参考文献
[1]邓勤.运用新课程的理念提高教学复习课的课堂效率[J].数学通报，2018.5.
[2]姚荣，连四清.复习课中利用开放性问题的实践与探索[J].数学通报，2018.8.
[3]陈永明.陈永明评议数学课[M].上海：上海科技教育出版社，2018.