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摘 要：向量性质、特征及运算规律为解决代数、三角问题提供了新颖、简洁、精妙思想和方法。学生不知如何用向量的方法解决问题，或解题思路不清晰。本文探讨了向量的方法解决问题的一般程序，并举例说明向量在代数中的应用。
关键词：向量；代数；应用
向量知识已经进入高中教材中，其应用价值已被广大师生认可。熟练掌握向量性质、特征及运算规律为解决代数、三角问题提供了新颖、简洁、精妙思想和方法。
用向量的方法解决问题的一般程序：
第一步：构造必要、足够的基本向量；
第二步：搞清问题中待解决的目标所相应的向量表示形式；
第三步：根据已知条件和所求进行必要的向量运算直至问题解决。
一、利用向量证明有关不等式
不等式的证明在高中数学中是一个重点，同时也是一个难点。应用常规的方法证明不等式往往繁杂冗长，而利用向量的方法简洁、明了。
证明不等式主要依据下列向量不等式：
I.[a?b≤ab]；
II[a-b≤a±b≤a+b]；
结合向量的运算规律和不等式的特征，利用向量解决问题的一般程序证明不等式。
例1 已知a、b、x、y∈R，且[a2+b2=1，x2+y2=1]；求证：[ax+by≤1]。
分析：观察[a2+b2=1，x2+y2=1]方程的左边与向量的模的计算公式相似。[ax+by]又符合向量数量积的坐标运算公式，所以利用向量的方法解决此题更容易，更简单。
证明：构造向量[p=a，b，q=x，y]，设[α]为[p，q]的夹角；
则 [p=][a2+b2=1]，[q=x2+y2=1]，[p?q=ax+by]；
∵[p?q=pqcosα] 又∵ [cosα]≤1
∴[p?q≤][pq] 即[ax+by≤a2+b2?x2+y2=1]；
∴[ax+by≤1]（证毕）。
二、利用向量求解无理函数最值问题
求解无理函数最值问题，按常规的方法求解具有一定的难度，若能用向量的知识解答将会解变得简单。
求解无理函数最值问题主要利用向量的几个性质：
性质1 若[a=p，q]，[b=m，n]，则
[a?b]≤[ab][?][pm+qn≤p2+q2?m2+n2]
当且仅当[pn=qm]时等号成立。
性质2 [a-b≤a±b≤a+b]，当且仅当[a]，[±b]同向平行时右边等号成立，[a]，[±b]反向平行时左边等号成立。
性质3 [a1+a2+???+an≤a1+a2+???+an]，当且仅当[a1]，[a2]，…，[an]方向相同且两两平行时等号成立。
1.[pa-x+qx-b]型（[a>b，p，q]同号）
利用向量解这种无理函数类型时，首先构造向量[a=p，q]，[b=a-x，x-b]；然后根据向量不等式及向量的运算规律求解。
2.[px-r+qax2+bx+c]型（[b2-4ac>0）]
求解这种类型的无理函数的最值时，首先，将根号下的式子配方，调节根号外未知数次数为一的项，然后构造向量使得模为常数，最后利用向量的性质及运算规律求解。
3.[ax2+px+q±ax2+mx+n]型（[a>0）]
在求解此种类型的无理函数的最值时，首先将根号下的式子配方，然后构造两个向量，使得向量的模的平方分别等于根号下的式子，最后利用向量的性质及其运算规律求得最值。
三、利用向量解决三角问题
平面向量的数量积的定义，将平面向量与三角函数融为一体，体现了向量的长度和三角函数之间的关系，为运用平面向量解决三角问题创造了有利的条件。若能构造恰当的平面向量，通过平面向量的运算来处理，往往可以收到事半功倍的效果。
利用向量的方法解决三角问题，同样是仔细观察三角问题的结构特征，构造必要、足够的基本向量；然后利用向量的性质、向量不等式及其运算规律解决问题。
作为一种数学工具的向量，它不仅为几何代数化、代数几何化带来了极大的方便，而且使它成为联系多项内容的媒介。如能灵活使用向量的有关知识和运算方法，可以使一些数学问题避免繁杂的运算，降低计算量，不仅新颖，而且简单明了，做到解题有规可循、有法可用、化难为易。让学生掌握好向量的知识和运算方法，增强学生应用向量的意识，提高学生应用向量的能力，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于学生的思维能力、创新意识的培养，有利于提高学生分析和解决数学问题的能力的培养。
参考文献：
[1]陈明清.高中数学教学中怎样培养学生创新思维.《教育科研》2011年3月
关键词：向量；代数；应用
向量知识已经进入高中教材中，其应用价值已被广大师生认可。熟练掌握向量性质、特征及运算规律为解决代数、三角问题提供了新颖、简洁、精妙思想和方法。
用向量的方法解决问题的一般程序：
第一步：构造必要、足够的基本向量；
第二步：搞清问题中待解决的目标所相应的向量表示形式；
第三步：根据已知条件和所求进行必要的向量运算直至问题解决。
一、利用向量证明有关不等式
不等式的证明在高中数学中是一个重点，同时也是一个难点。应用常规的方法证明不等式往往繁杂冗长，而利用向量的方法简洁、明了。
证明不等式主要依据下列向量不等式：
I.[a?b≤ab]；
II[a-b≤a±b≤a+b]；
结合向量的运算规律和不等式的特征，利用向量解决问题的一般程序证明不等式。
例1 已知a、b、x、y∈R，且[a2+b2=1，x2+y2=1]；求证：[ax+by≤1]。
分析：观察[a2+b2=1，x2+y2=1]方程的左边与向量的模的计算公式相似。[ax+by]又符合向量数量积的坐标运算公式，所以利用向量的方法解决此题更容易，更简单。
证明：构造向量[p=a，b，q=x，y]，设[α]为[p，q]的夹角；
则 [p=][a2+b2=1]，[q=x2+y2=1]，[p?q=ax+by]；
∵[p?q=pqcosα] 又∵ [cosα]≤1
∴[p?q≤][pq] 即[ax+by≤a2+b2?x2+y2=1]；
∴[ax+by≤1]（证毕）。
二、利用向量求解无理函数最值问题
求解无理函数最值问题，按常规的方法求解具有一定的难度，若能用向量的知识解答将会解变得简单。
求解无理函数最值问题主要利用向量的几个性质：
性质1 若[a=p，q]，[b=m，n]，则
[a?b]≤[ab][?][pm+qn≤p2+q2?m2+n2]
当且仅当[pn=qm]时等号成立。
性质2 [a-b≤a±b≤a+b]，当且仅当[a]，[±b]同向平行时右边等号成立，[a]，[±b]反向平行时左边等号成立。
性质3 [a1+a2+???+an≤a1+a2+???+an]，当且仅当[a1]，[a2]，…，[an]方向相同且两两平行时等号成立。
1.[pa-x+qx-b]型（[a>b，p，q]同号）
利用向量解这种无理函数类型时，首先构造向量[a=p，q]，[b=a-x，x-b]；然后根据向量不等式及向量的运算规律求解。
2.[px-r+qax2+bx+c]型（[b2-4ac>0）]
求解这种类型的无理函数的最值时，首先，将根号下的式子配方，调节根号外未知数次数为一的项，然后构造向量使得模为常数，最后利用向量的性质及运算规律求解。
3.[ax2+px+q±ax2+mx+n]型（[a>0）]
在求解此种类型的无理函数的最值时，首先将根号下的式子配方，然后构造两个向量，使得向量的模的平方分别等于根号下的式子，最后利用向量的性质及其运算规律求得最值。
三、利用向量解决三角问题
平面向量的数量积的定义，将平面向量与三角函数融为一体，体现了向量的长度和三角函数之间的关系，为运用平面向量解决三角问题创造了有利的条件。若能构造恰当的平面向量，通过平面向量的运算来处理，往往可以收到事半功倍的效果。
利用向量的方法解决三角问题，同样是仔细观察三角问题的结构特征，构造必要、足够的基本向量；然后利用向量的性质、向量不等式及其运算规律解决问题。
作为一种数学工具的向量，它不仅为几何代数化、代数几何化带来了极大的方便，而且使它成为联系多项内容的媒介。如能灵活使用向量的有关知识和运算方法，可以使一些数学问题避免繁杂的运算，降低计算量，不仅新颖，而且简单明了，做到解题有规可循、有法可用、化难为易。让学生掌握好向量的知识和运算方法，增强学生应用向量的意识，提高学生应用向量的能力，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于学生的思维能力、创新意识的培养，有利于提高学生分析和解决数学问题的能力的培养。
参考文献：
[1]陈明清.高中数学教学中怎样培养学生创新思维.《教育科研》2011年3月