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课程标准要求以培养数学应用意识、培养创造精神和广泛的数学能力为主要教学目的.这儿的“培养数学应用意识”即培养学生应用数学知识解决实际问题的能力,即在应用数学中培养能力.为什么要培养学生应用数学知识,解决实际问题的能力?
首先,这是时代发展的需要.现代科学技术的高速发展加速信息时代的到来,数学出现了技术化的倾向,社会对数学应用的需求,是当今时代的突出的特点.站在新世纪的数学教育的角度,强调数学的应用是未来社会的需要,是数学教育工作者义不容辞的责任。
其次,这是当前数学课程改革的需要.数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,数学有概念抽象、逻辑严密、结论明确和体系完整的特点,而应用的广泛性更为重要.生活处处皆数学.数学教育应该是现实的数学教育,应该源于现实、寓于现实、用于现实.因此,数学教学必须重视应用意识,才能显露数学教育的本色.
如何培养学生应用数学知识,解决实际问题的能力呢?
在教学中,通过“数学建模”的活动,把培养学生应用数学知识,解决实际问题的能力落到实处.“数学建模”侧重于从实际问题中提出并表达数学问题的能力,初步构建、运用数学模型的能力,对数学问题及模型进行转化与化归的能力,对数学结果进行检验和评价、阐释和处理的能力.要突出数学的应用性,应站在构建“数学模型”的高度来认识、实施,要更加强调如何从实际问题中发现、抽象出数学模型,然后用数学模型解决问题,最后呼应实际问题的能力.但培养学生的数学应用能力有一个循序渐进的过程,可分为以下4个阶段,每个阶段都确定不同的目标,创立相应的教学情境,寻求有效的教学手段,以提高学生数学应用能力.
第一阶段:利用已有的数学模型解决实际问题。
在教学中,有一类常见的被数学化的实际问题,象:给出储蓄本利和公式计算本利和;利用正、余弦定理计算建筑物的高度等.教师要适时引导学生体会数学应用的广泛性,初步形成数学应用的意识.这一阶段学生体会不到把实际问题数学化的思考与过程,当然也就缺乏建立数学模型能力的训练.这是最低层次上的数学应用。
第二阶段:针对具体问题利用已有知识建立确定的数学模型。
本阶段要求学生有一定的知识基础和数学应用意识,能根据问题中给出的信息与有关知识相联系,建立相应的确定性数学模型.高中数学应用的教学基本属于该阶段,所以学生熟悉学生熟悉学生熟悉反复训练学生用模型解实际问题的步骤是很必要的。
例:碳14的半衰期是5730年,只有死亡后的生物碳14才衰减,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代。
本例转化为指数、对数函数模型。
解:设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x,则生物死亡t年后与其体内每克组织的碳14含量p的关系如下:
死亡年数t12 3… t…
碳14含量pχχ2χ3…χt…
因此,生物死亡t年后体内碳14含量 P=.χt
当t=5730, P=12, 即12=χ5730
χ=573012=(12)15730 ,所以P=(12)t5730
所以,t=log573012p
当P=76.7%=0.767,则
t=log5730120.767≈2193
所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址
第三阶段: 对实际问题作因素分析,建立近似数学模型。
当学生具备一定数学应用意识和初步的数学应用能力后,教师选取学生熟悉的实际问题,指导学生经过分析,建立实际问题的近似模型,这是第三阶段。
例:在日常生活中,用煤气烧水常常将煤气开关旋转90°,达到最大位置.却很少考虑最省煤气时,开关旋转什么位置.以下是某次试验中,将开关拨到不同位置时,分别烧开等量水的煤气消耗量。
开关旋转角度/(°)4552.56067.590
煤气用量/L4544434550
(1)根据以上数据,建立煤气用量yL关于开关旋转角度x(°)的函数模型;
(2)在本实验中,开关旋转角度为多少时煤气用量最少?
根据这些数据,画出散点图,由散点的分布特征,找出煤气用量与开关旋转角度拟合的最好的近似函数模型一元二次函数y=aχ2+bχ+c(a≠0), 将(45,45)、(52.5,44)、(67.5,45)代入,求得 y=0.0089χ2-χ+71.98对于(2)就转化为一元二次函数求最值问题了,即开关旋转60°时最省煤气.几乎是同时有很多学生喊起来:我得告诉俺妈去。
第四阶段:对原始的实际问题进行分析加工,提出问题,建立数学模型。
从教学实际操作层面上看,虽然教师可以布置学生观察社会,自行提出问题、解决问题的实习作业,但开放度如此大的实习作业,学生无可适从,反而达不到预期目的.教师可有选择地向学生提供原始的实际问题,指导并鼓励学生逐步进行。
例:围绕某桶装水经营部利润问题调查,提示学生调查房租、人员工资等固定成本,每桶水的进价,单价与每天的平均销售量,对所得这些数据分析、整理、设计问题,并解决.经过调查,某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表:
销售单价/元6789101112
日均销售量/桶480440400360320280240
请根据表中数据分析,经营部怎样定价才能获得最大利润?
解:销售单价每增加一元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,则在此情况下的日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶)
因为x>0,且520-40x>0,即0 当x=6.5时,y有最大值。
所以,只需将销售单价定位11.5元,就可获得最大的利润。
应用数学去解决各类实际问题时,建立数学模型是十分关键的.数学建模是联系数学与实际问题的桥梁.这四个阶段对学生能力的要求依次加强.对数学应用能力的层次性分析,使我们在应用问题的教学中,根据教学目标设计问题、选择问题,确定教学方式,进行有实效的数学教学。
总之,我们在思想上要高度重视数学应用的教学,只要把培养学生解决实际问题的能力落到实处,每个学生的数学应用意识和能力有了长足的进步,就可以说,我们的课堂教学真正成为了新课标下的课堂教学。
收稿日期:2010-10-11
首先,这是时代发展的需要.现代科学技术的高速发展加速信息时代的到来,数学出现了技术化的倾向,社会对数学应用的需求,是当今时代的突出的特点.站在新世纪的数学教育的角度,强调数学的应用是未来社会的需要,是数学教育工作者义不容辞的责任。
其次,这是当前数学课程改革的需要.数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,数学有概念抽象、逻辑严密、结论明确和体系完整的特点,而应用的广泛性更为重要.生活处处皆数学.数学教育应该是现实的数学教育,应该源于现实、寓于现实、用于现实.因此,数学教学必须重视应用意识,才能显露数学教育的本色.
如何培养学生应用数学知识,解决实际问题的能力呢?
在教学中,通过“数学建模”的活动,把培养学生应用数学知识,解决实际问题的能力落到实处.“数学建模”侧重于从实际问题中提出并表达数学问题的能力,初步构建、运用数学模型的能力,对数学问题及模型进行转化与化归的能力,对数学结果进行检验和评价、阐释和处理的能力.要突出数学的应用性,应站在构建“数学模型”的高度来认识、实施,要更加强调如何从实际问题中发现、抽象出数学模型,然后用数学模型解决问题,最后呼应实际问题的能力.但培养学生的数学应用能力有一个循序渐进的过程,可分为以下4个阶段,每个阶段都确定不同的目标,创立相应的教学情境,寻求有效的教学手段,以提高学生数学应用能力.
第一阶段:利用已有的数学模型解决实际问题。
在教学中,有一类常见的被数学化的实际问题,象:给出储蓄本利和公式计算本利和;利用正、余弦定理计算建筑物的高度等.教师要适时引导学生体会数学应用的广泛性,初步形成数学应用的意识.这一阶段学生体会不到把实际问题数学化的思考与过程,当然也就缺乏建立数学模型能力的训练.这是最低层次上的数学应用。
第二阶段:针对具体问题利用已有知识建立确定的数学模型。
本阶段要求学生有一定的知识基础和数学应用意识,能根据问题中给出的信息与有关知识相联系,建立相应的确定性数学模型.高中数学应用的教学基本属于该阶段,所以学生熟悉学生熟悉学生熟悉反复训练学生用模型解实际问题的步骤是很必要的。
例:碳14的半衰期是5730年,只有死亡后的生物碳14才衰减,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代。
本例转化为指数、对数函数模型。
解:设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x,则生物死亡t年后与其体内每克组织的碳14含量p的关系如下:
死亡年数t12 3… t…
碳14含量pχχ2χ3…χt…
因此,生物死亡t年后体内碳14含量 P=.χt
当t=5730, P=12, 即12=χ5730
χ=573012=(12)15730 ,所以P=(12)t5730
所以,t=log573012p
当P=76.7%=0.767,则
t=log5730120.767≈2193
所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址
第三阶段: 对实际问题作因素分析,建立近似数学模型。
当学生具备一定数学应用意识和初步的数学应用能力后,教师选取学生熟悉的实际问题,指导学生经过分析,建立实际问题的近似模型,这是第三阶段。
例:在日常生活中,用煤气烧水常常将煤气开关旋转90°,达到最大位置.却很少考虑最省煤气时,开关旋转什么位置.以下是某次试验中,将开关拨到不同位置时,分别烧开等量水的煤气消耗量。
开关旋转角度/(°)4552.56067.590
煤气用量/L4544434550
(1)根据以上数据,建立煤气用量yL关于开关旋转角度x(°)的函数模型;
(2)在本实验中,开关旋转角度为多少时煤气用量最少?
根据这些数据,画出散点图,由散点的分布特征,找出煤气用量与开关旋转角度拟合的最好的近似函数模型一元二次函数y=aχ2+bχ+c(a≠0), 将(45,45)、(52.5,44)、(67.5,45)代入,求得 y=0.0089χ2-χ+71.98对于(2)就转化为一元二次函数求最值问题了,即开关旋转60°时最省煤气.几乎是同时有很多学生喊起来:我得告诉俺妈去。
第四阶段:对原始的实际问题进行分析加工,提出问题,建立数学模型。
从教学实际操作层面上看,虽然教师可以布置学生观察社会,自行提出问题、解决问题的实习作业,但开放度如此大的实习作业,学生无可适从,反而达不到预期目的.教师可有选择地向学生提供原始的实际问题,指导并鼓励学生逐步进行。
例:围绕某桶装水经营部利润问题调查,提示学生调查房租、人员工资等固定成本,每桶水的进价,单价与每天的平均销售量,对所得这些数据分析、整理、设计问题,并解决.经过调查,某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表:
销售单价/元6789101112
日均销售量/桶480440400360320280240
请根据表中数据分析,经营部怎样定价才能获得最大利润?
解:销售单价每增加一元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,则在此情况下的日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶)
因为x>0,且520-40x>0,即0
所以,只需将销售单价定位11.5元,就可获得最大的利润。
应用数学去解决各类实际问题时,建立数学模型是十分关键的.数学建模是联系数学与实际问题的桥梁.这四个阶段对学生能力的要求依次加强.对数学应用能力的层次性分析,使我们在应用问题的教学中,根据教学目标设计问题、选择问题,确定教学方式,进行有实效的数学教学。
总之,我们在思想上要高度重视数学应用的教学,只要把培养学生解决实际问题的能力落到实处,每个学生的数学应用意识和能力有了长足的进步,就可以说,我们的课堂教学真正成为了新课标下的课堂教学。
收稿日期:2010-10-11