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摘 要:《新数学课程標准》指出:“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象,课程目标让学生经历‘情境——建立模型——求解——解释与应用’的基本过程,使学生学习数学的同时,在思维能力、情感、态度与价值观等多方面均得到发展。”本文根据自身的教学实践,简单谈谈数学建模在初中数学教学中的重要性。
关键词:数学建模;初中数学;重要性
近几年中考也加强了对以数学建模为中心应用题的考查。这些应用题,考查学生应用数学的能力。但学生在这些题上的得分率往往很低,原因之一就是学生缺乏数学建模能力和意识。因此,在初中数学教学过程中加强建模教学、渗透建模思想是非常必要的。
一、 初中数学建模常见方法
初中数学中常见的建模方法有:对现实生活中普遍存在的等量关系(不等关系),建立方程模型(不等式模型);对现实生活中普遍存在的变量关系,建立函数模型;涉及测量建筑物的距离、高度、拦水坝的建造、航海触礁安全等问题,需要建立三角模型……
二、 初中数学建模基本步骤
(一) 分析问题
首先要认真审题。了解问题的实际背景,对问题进行化简抽象,构造出相应的数学模型。
(二) 抽象假设
根据问题的特征和目的,用精确的数学语言来描述。
(三) 建立模型
要根据实际问题的特征,在假设的基础上,建立相应的数学模型结构。
(四) 模型求解
利用所构建的数学模型,对所有参数作出计算。
(五) 模型分析
对所得的结果进行数学上的分析。
(六) 模型检验
把结果与实际情况进行比较,检验模型的合理性、准确性、和适用性。对计算结果进行验证和解释。
三、 初中数学建模案例分析
(一) 方程模型方程(组)模型
方程模型方程(组)模型是研究现实生活数量关系的数学模型之一,诸如打折销售、分期付款、储蓄利息、增长率、工程问题、行程问题等问题,都可以抽象成方程(组)模型,通过列方程(组)加以解决。
【例】 某工程队准备修建一条长1200m的道路,由于采用新的施工方式,实际每天修建道路的速度比原计划快20%,结果提前2天完成任务。若设原计划每天修建道路xm,则根据题意可列方程为。
分析:本题考查的是分式方程的应用。设原计划每天修建道路xm,则实际每天修建道路为(1 20%)xm,由题意提前2天完成任务,列出方程即可。即1200x-1200(1 20%)x=2。
(二) 函数模型
函数模型也是研究现实生活数量关系的数学模型之一,现实生活中的很多实际问题,诸如用料造价、合理决策、最佳投资、最大利润、最小成本、方案最优化等问题,都可建立函数模型求解。
【例】 某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销。据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本。(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
分析:(1)根据“利润=(售价-成本)×销售量”可列出函数关系式;(2)把(1)中的二次函数解析式一般形式转化为顶点式形式,再利用二次函数图象的性质进行解答;(3)把y=4000代入函数解析式,求得相应的x值;然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50(-5x 550)≤7000,通过解不等式来求得x的取值范围。
(三) 三角建模
三角函数作为刻画现实世界的一种常见数学模型,例如测量建筑物的高度、距离,航海,拦水坝的建造与相关的计算等问题,需要在具体情境中建立三角模型,转为三角函数问题。
【例】 如图,小明想测山高和索道的长度。他在B处仰望山顶A,测得仰角∠B=31°,再往山的方向(水平方向)前进80m至索道口C处,沿索道方向仰望山顶,测得仰角∠ACE=39°。
(1)求这座山的高度(小明的身高忽略不计);
(2)求索道AC的长(结果精确到0.1m)。
(参考数据:tan31°≈35,sin31°≈12,tan39°≈911,sin39°≈711)
分析:运用三角函数有关定义,构造直角三角形。
(1)过点A作AD⊥BE于D,设山AD的高度为xm,在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度,然后根据BD-CD=80m,列出方程,求出x的值;
(2)在Rt△ACD中,利用sin∠ACD=ADAC,代入数值求出AC的长度。
综上所述,初中数学建模问题关键是要培养学生的建模能力,用数学方法和数学知识解决实际生活问题,这需要教师在了解学生的基础上,用恰当、正确的方法对学生加以指导和培养,是学生具备数学建模意识,从而解决数学问题及生活问题。
参考文献:
[1]展青岗.谈数学建模在初中数学教学中的重要性[J].华夏教师,2015(1):45.
[2]叶雪琴.数学建模在初中数学教学中的渗透和培养[J].新课程:教育学术版,2009(5):240.
[3]游莉.浅谈初中数学建模的重要性[J].科学咨询,2016(22):126-128.
作者简介:
张爱华,山东省青岛市,山东省青岛莱西市实验中学。
关键词:数学建模;初中数学;重要性
近几年中考也加强了对以数学建模为中心应用题的考查。这些应用题,考查学生应用数学的能力。但学生在这些题上的得分率往往很低,原因之一就是学生缺乏数学建模能力和意识。因此,在初中数学教学过程中加强建模教学、渗透建模思想是非常必要的。
一、 初中数学建模常见方法
初中数学中常见的建模方法有:对现实生活中普遍存在的等量关系(不等关系),建立方程模型(不等式模型);对现实生活中普遍存在的变量关系,建立函数模型;涉及测量建筑物的距离、高度、拦水坝的建造、航海触礁安全等问题,需要建立三角模型……
二、 初中数学建模基本步骤
(一) 分析问题
首先要认真审题。了解问题的实际背景,对问题进行化简抽象,构造出相应的数学模型。
(二) 抽象假设
根据问题的特征和目的,用精确的数学语言来描述。
(三) 建立模型
要根据实际问题的特征,在假设的基础上,建立相应的数学模型结构。
(四) 模型求解
利用所构建的数学模型,对所有参数作出计算。
(五) 模型分析
对所得的结果进行数学上的分析。
(六) 模型检验
把结果与实际情况进行比较,检验模型的合理性、准确性、和适用性。对计算结果进行验证和解释。
三、 初中数学建模案例分析
(一) 方程模型方程(组)模型
方程模型方程(组)模型是研究现实生活数量关系的数学模型之一,诸如打折销售、分期付款、储蓄利息、增长率、工程问题、行程问题等问题,都可以抽象成方程(组)模型,通过列方程(组)加以解决。
【例】 某工程队准备修建一条长1200m的道路,由于采用新的施工方式,实际每天修建道路的速度比原计划快20%,结果提前2天完成任务。若设原计划每天修建道路xm,则根据题意可列方程为。
分析:本题考查的是分式方程的应用。设原计划每天修建道路xm,则实际每天修建道路为(1 20%)xm,由题意提前2天完成任务,列出方程即可。即1200x-1200(1 20%)x=2。
(二) 函数模型
函数模型也是研究现实生活数量关系的数学模型之一,现实生活中的很多实际问题,诸如用料造价、合理决策、最佳投资、最大利润、最小成本、方案最优化等问题,都可建立函数模型求解。
【例】 某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销。据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本。(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
分析:(1)根据“利润=(售价-成本)×销售量”可列出函数关系式;(2)把(1)中的二次函数解析式一般形式转化为顶点式形式,再利用二次函数图象的性质进行解答;(3)把y=4000代入函数解析式,求得相应的x值;然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50(-5x 550)≤7000,通过解不等式来求得x的取值范围。
(三) 三角建模
三角函数作为刻画现实世界的一种常见数学模型,例如测量建筑物的高度、距离,航海,拦水坝的建造与相关的计算等问题,需要在具体情境中建立三角模型,转为三角函数问题。
【例】 如图,小明想测山高和索道的长度。他在B处仰望山顶A,测得仰角∠B=31°,再往山的方向(水平方向)前进80m至索道口C处,沿索道方向仰望山顶,测得仰角∠ACE=39°。
(1)求这座山的高度(小明的身高忽略不计);
(2)求索道AC的长(结果精确到0.1m)。
(参考数据:tan31°≈35,sin31°≈12,tan39°≈911,sin39°≈711)
分析:运用三角函数有关定义,构造直角三角形。
(1)过点A作AD⊥BE于D,设山AD的高度为xm,在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度,然后根据BD-CD=80m,列出方程,求出x的值;
(2)在Rt△ACD中,利用sin∠ACD=ADAC,代入数值求出AC的长度。
综上所述,初中数学建模问题关键是要培养学生的建模能力,用数学方法和数学知识解决实际生活问题,这需要教师在了解学生的基础上,用恰当、正确的方法对学生加以指导和培养,是学生具备数学建模意识,从而解决数学问题及生活问题。
参考文献:
[1]展青岗.谈数学建模在初中数学教学中的重要性[J].华夏教师,2015(1):45.
[2]叶雪琴.数学建模在初中数学教学中的渗透和培养[J].新课程:教育学术版,2009(5):240.
[3]游莉.浅谈初中数学建模的重要性[J].科学咨询,2016(22):126-128.
作者简介:
张爱华,山东省青岛市,山东省青岛莱西市实验中学。