导数是一个特殊函数，是研究函数性质的重要方法，它的引出和定义始终贯穿着函数思想.随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具.其内容主要涉及到导数的概念、导数的几何意义、导数的运算等.导数的应用非常广泛，尤其对研究一些非初等函数的单调性、极值、最值、零点、含参数恒成立、实际问题中的最优化等问题，导数为我们提供了一般性的简捷方法，所以以函数为载体，以导数为工具，在函数与导数交汇处命题，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向.导数进入中学教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考中函数问题的命题空间.笔者就函数、导数在高考中的考查热点归纳如下.
　　考点1导数的运算
　　例1（1）（2016年高考天津卷10）已知函数f（x）=（2x 1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为.
　　解析：∵f′（x）=2·ex （2x 1）ex=（2x 3）ex，∴f′（0）=3.
　　考点分析：本题主要考查导数的计算，属于容易题.求已知函数的导函数，必须牢记基本函数的求导公式，同时需掌握导数运算的原则和方法：（1）原则：先化简解析式，再求导.（2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
　　（2）（2016年高考山东卷10）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）
　　A. y=sinxB. y=lnx
　　C. y=exD. y=x3
　　解析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为-1.当y=sinx时，y′=cosx，有cos0·cosπ=-1，所以函数y=sinx图象存在两点x=0，x=π使条件成立，故A正确；而函数y=lnx，y=ex与y=x3的导函数分别为y′=1x（x>0），y′=ex和y′=3x2，它们的值均为正，不符合题意，故选A.
　　考点分析：本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.
　　考点2导数的几何意义及其应用
　　例2（1）（2015年新课标Ⅱ卷16）已知函数y=x lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2 （a 2）x 1相切，则a=.
　　解析：先求出y=x lnx在点（1，1）处的切线方程，然后利用根的判别式或导数法求a的值.
　　方法1：由y=x lnx得y′=1 1x，
　　所以曲线y=x lnx在（1，1）处的切线的斜率k=2，故切线方程为y=2x-1，
　　∵y=2x-1与曲线y=ax2 （a 2）x 1相切，联立y=2x-1，y=ax2 （a 2）x 1，
　　消去y得ax2 ax 2=0，则a≠0且Δ=a2-4×2a=0，∴a=8.
　　方法2：同方法1，得曲线y=x lnx在（1，1）处的切线方程为y=2x-1.
　　∵y=2x-1与曲线y=ax2 （a 2）x 1相切，
　　设切点的坐标为（x0，y0），∴y0=2x0-1.①
　　由y′=2ax （a 2），得2ax0 （a 2）=2.②
　　由题意知a≠0，
　　由②可得x0=-12，把x0=-12代入①，得y0=-2，即切点为（-12，-2）.
　　∴（-12，-2）在曲线y=ax2 （a 2）x 1上，故a=8.
　　考点分析：本题考查运用导数研究曲线的切线，考查了直线与曲线相切的处理方法，综合运用所学知识分析问题、处理问题的能力以及计算能力，属于中档题.
　　（2）（2016年高考新课标Ⅲ卷16）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e-x-1-x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程为.
　　解析：当x>0时，-x<0，则f（-x）=ex-1 x.又因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=ex-1 x所以f′（x）=ex-1 1，则切线的斜率为f′（1）=2，所以切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x.
　　考点分析：本题综合考查了函数的奇偶性、函数解析式和导数的几何意义.难度属中等.本题题型可归纳为“已知当x>0时，函数y=f（x），则当x<0时，求函数的解析式”.有如下结论：若函数f（x）为偶函数，则当x<0时，函数的解析式为y=-f（x）；若f（x）为奇函数，则函数的解析式为y=-f（-x）.
　　考点3导数与函数的单调性
　　例3（2016年高考北京卷18）设函数f（x）=xea-x bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x 4，
　　（1）求a，b的值；
　　（2）求f（x）的单调区间.
　　解析：（1）因为f（x）=xea-x bx，所以f′（x）=（1-x）ea-x b，
　　由题意得f（2）=2e 2f′（2）=e-1，即2ea-2 2b=2e 2-ea-2 b=e-1，解得a=2，b=e. 　　（2）由（1）知f（x）=xe2-x ex，
　　由f′（x）=e2-x（1-x ex-1）和e2-x>0，
　　知f′（x）与1-x ex-1同号，
　　令g（x）=1-x ex-1，则g′（x）=-1 ex-1，
　　所以当x∈（-∞，1）时，g′（x）<0，g（x）在（-∞，1）上单调递减；
　　当x∈（1， ∞）时，g′（x）>0，g（x）在（1， ∞）上单调递增；
　　故g（1）=1是函数g（x）的最小值，从而g（x）>0，x∈（-∞， ∞），
　　故f′（x）>0，x∈（-∞， ∞），
　　所以函数f（x）的单调增区间为（-∞， ∞），无单调减区间.
　　考点分析：用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.
　　考点4导数与函数极值
　　例4（1）（2016年高考四川卷6）已知a是函数f（x）=x3-12x的极小值点，则a=（）
　　A. -4B. -2C. 4D. 2
　　解析：f′（x）=3x2-12=3（x 2）（x-2），
　　令f′（x）=0得x=-2或x=2，
　　易得f（x）在（-2，2）上单调递减，在（2， ∞）上单调递增，故f（x）极小值为f（2），
　　由已知得a=2，故选D.
　　考点分析：本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点x0是方程f′（x）=0的解，但x0是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在x0附近，如果xx0时f′（x）>0，则x0是极小值点；如果x0，x>x0时，f′（x）<0，则x0是极大值点.
　　（2）（2015高考陕西卷12）对二次函数f（x）=ax2 bx c（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）
　　A. -1是f（x）的零点
　　B. 1是f（x）的极值点
　　C. 3是f（x）的极值
　　D. 点（2，8）在曲线y=f（x）上
　　解析：若选项A错误时，选项B、C、D正确，f′（x）=2ax b，因为1是f（x）的极值点，3是f（x）的极值，所以f′（1）=0f（1）=3，即2a b=0a b c=3，解得：b=-2ac=3 a，因为点（2，8）在曲线y=f（x）上，所以4a 2b c=8，即4a 2×（-2a） a 3=8，解得：a=5，所以b=-10，c=8，所以f（x）=5x2-10x 8，因为f（-1）=5×（-1）2-10×（-1） 8=23≠0，所以-1不是f（x）的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A.
　　考点分析：本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误.解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理.
　　考点5导数与函数最值
　　例5（2016年高考江苏卷17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的四倍.
　　（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？
　　（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
　　解析：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.
　　因为A1B1=AB=6，
　　所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积
　　V柱=13·A1B21·PO1=13×62×2=24（m3），
　　正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱=AB2·OO1=62×8=288（m3），
　　所以仓库的容积V=V锥 V柱=24 288
　　=312（m3）.
　　（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0　　因为在Rt△PO1B1中，OB21 PO21=PB21，
　　所以（2a2）2 h2=36，即a2=2（36-h2）.
　　于是仓库的容积V=V锥 V柱=a2·4h 13a2·h=133a2h=263（36h-h3），（0　　从而V′=263（36-3h2）=26（12-h2）.
　　令V′=0，得h=23或h=-23（舍）.
　　当00，V是单调增函数；
　　当23　　故h=23时，V取得极大值，也是最大值.
　　因此，当PO1=23时，仓库的容积最大.
　　考点分析：对于高次函数求最值，一般可利用导数法.这类问题往往出现在应用题中，难度一般.
　　考点6导数与不等式
　　例6（1）（2015高考福建卷10）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）>k>1，则下列结论中一定错误的是（）
　　A. f（1k）<1kB. f（1k）>1k-1
　　C. f（1k-1）<1k-1D. f（1k-1）>kk-1
　　解析：由已知条件，构造函数g（x）=f（x）-kx，则g′（x）=f′（x）-k>0，故函数g（x）在R上单调递增，且1k-1>0，故g（1k-1）>g（0），所以f（1k-1）-kk-1>-1，f（1k-1）>1k-1，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1>0，所以函数h（x）在R上单调递增，且1k>0，所以h（1k）>h（0），即f（1k）-1k>-1，f（1k）>1k-1，选项A，B无法判断，故选C. 　　考点分析：联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题.
　　考点7导数与函数零点
　　例7（2015年高考新课标1卷21）已知函数f（x）=x3 ax 14，g（x）=-lnx.
　　（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
　　（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数.
　　解析：（1）设曲线y=f（x）与x轴相切于点（x0，0），则f（x0）=0f′（x0）=0，即x30 ax0 14=03x20 a=0
　　解得x0=12，a=-34，
　　因此，当a=-34时，x轴为曲线y=f（x）的切线.
　　（2）当x∈（1， ∞）时，g（x）=-lnx<0，故h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，
　　所以h（x）在（1， ∞）没有零点.
　　当x=1时，若a≥-54，则f（1）=a 54≥0，h（1）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0，
　　故x=1是h（x）的零点.
　　若a<-54，则f（1）=a 54<0，
　　h（1）=min{f（1），g（1）}=f（1）<0，故x=1不是h（x）的零点.
　　（ⅰ）若a≤-3或a≥0，则f′（x）=3x2 a在（0，1）无零点，故f（x）在（0，1）单调，而f（0）=14，f（1）=a 54，所以当a≤-3时，f（x）在（0，1）有一个零点；当a≥0时，f（x）在（0，1）无零点.
　　（ⅱ）若-3　　①若f（-a3）>0，即-34　　②若f（-a3）=0，即a=-34，则f（x）在（0，1）有唯一零点；
　　③若f（-a3）<0，即-3　　综上，当a>-34或a<-54时，h（x）有一个零点；当a=-34或a=-54时，h（x）有两个零点；当-54　　考点分析：研究函数的零点问题，归根到底是利用导数研究函数的图象与x轴的交点问题.这类问题往往含有参数，考查分类讨论思想与数形结合思想，具有一定的难度.
　　考点8导数的综合应用
　　例8（2016年高考新课标Ⅰ卷21）已知函数f（x）=（x-2）ex a（x-1）2.
　　（1）讨论f（x）的单调性；
　　（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
　　解析：（1）f′（x）=（x-1）ex 2a（x-1）
　　=（x-1）（ex 2a）.
　　（i）设a≥0，则当x∈（-∞，1）时，f′（x）<0；当x∈（1， ∞）时，f′（x）>0.
　　所以在（-∞，1）单调递减，在（1， ∞）单调递增.
　　（ii）设a<0，由f′（x）=0
　　得x=1或x=ln（-2a）.
　　①若a=-e2，则f′（x）=（x-1）（ex-e），所以f（x）在（-∞， ∞）单调递增.
　　②若a>-e2，则ln（-2a）<1，故当x∈（-∞，ln（-2a））∪（1， ∞）时，f′（x）>0；
　　当x∈（ln（-2a），1）时，f′（x）<0，所以f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1， ∞）单调递增，在（ln（-2a），1）单调递减.
　　③若a<-e2，则ln（-2a）>1，故当x∈（-∞，1）∪（ln（-2a）， ∞）时，f′（x）>0，当x∈（1，ln（-2a））时，f′（x）<0，所以f（x）在（-∞，1），（ln（-2a）， ∞）单调递增，在（1，ln（-2a））单调递减.
　　（2）（i）设a>0，则由（1）知，f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1， ∞）单调递增，
　　又f（1）=-e，f（2）=a.取b满足b<0且b2　　则f（b）>a2（b-2） a（b-1）2=a（b2-32b）>0，所以f（x）有两个零点；
　　（ii）设a=0，则f（x）=（x-2）ex，有一个零点2；
　　（iii）设a<0.若a≥-e2，则由（1）可知，f（x）在（1， ∞）单调递增，
　　又当x≤1时，f（x）<0，故f（x）不存在两个零点；
　　若a<-e2，则由（1）知f（x）在（1，ln（-2a））单调递减，在（ln（-2a）， ∞）单调递增，
　　又当x≤1时，f（x）<0，故f（x）不存在两个零点.
　　综上，a的取值范围为（0， ∞）.
　　考点分析：导数的综合应用包括导数与函数的一切相关问题，这类问题综合性强，难度较大.本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.
　　（作者：吉俊杰，如皋市第一中学）