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在数学课的学习中常听到学生们说的是“这题老师一讲就会,自己一做就不会,真愁人。”我总在想:为什么出现这种普遍存在的学习现象呢?怎样讲课能解决这种问题呢?在今年新教材解析几何的教学中,我紧紧抓住了学生在初中所学的平面几何知识的特点及思维惯性,从他们所熟知的图形、设问入手,引到代数问题中来解决数的问题,既我们常说的“数形结合”,由浅入深、步步紧扣,使他们感到学起来很轻松,并且为今后其它知识的模块学习如:三角函数、圆锥曲线等诸多问题打下良好基础,下面就举几道例题供同行们共同探究。
一、巧设平面几何问题,引出数与形的结合
利用几何图形的条件求出所需要的量值,再放在坐标系中,写出对应的方程,不失为一种激发学生灵活性的手法,有利于学生感受学习知识一体化的思维发展。
例1.已知两点A(0,1)B(2,m),如果经过A与B且和x轴相切的圆有且只有一个,求m的值及圆的方程。
解法一:(代数法)设(x-a)2 (y-n)2=b2
则消去b,(1-m)a2-4a m2-m 4=0该方程只有一解
当m=1时合题意,圆方程为(x-1)2 (y-1)2=1
当m≠1时由Δ=(-4)2-4(1-m)(m2-m 4)=0解得m=0,a=2,b=
圆方程为
此法麻烦且容易出错,下面介绍巧妙的几何法;
解法二:(几何法)设置平面几何问题,如图
(1)当线段AB平行于直线l时,过点A、B且与直线l相切的圆有几个?(1个)
(2)当线段AB在直线l同侧且不平行直线l时,过点A、B且与直线l相切的圆有几个?(2个)
(3)当点B在直线l上,过点A、B且与直线l相切的圆有几个?(1个)
结合该题的问法,学生们立刻知道,
当m=1时,AB平行于直线l,合题意,圆方程为(x-1)2 (y-1)2=1;
当m=0时,点B在直线l上,合题意,
由切割弦定理OB2=OA
一、巧设平面几何问题,引出数与形的结合
利用几何图形的条件求出所需要的量值,再放在坐标系中,写出对应的方程,不失为一种激发学生灵活性的手法,有利于学生感受学习知识一体化的思维发展。
例1.已知两点A(0,1)B(2,m),如果经过A与B且和x轴相切的圆有且只有一个,求m的值及圆的方程。
解法一:(代数法)设(x-a)2 (y-n)2=b2
则消去b,(1-m)a2-4a m2-m 4=0该方程只有一解
当m=1时合题意,圆方程为(x-1)2 (y-1)2=1
当m≠1时由Δ=(-4)2-4(1-m)(m2-m 4)=0解得m=0,a=2,b=
圆方程为
此法麻烦且容易出错,下面介绍巧妙的几何法;
解法二:(几何法)设置平面几何问题,如图
(1)当线段AB平行于直线l时,过点A、B且与直线l相切的圆有几个?(1个)
(2)当线段AB在直线l同侧且不平行直线l时,过点A、B且与直线l相切的圆有几个?(2个)
(3)当点B在直线l上,过点A、B且与直线l相切的圆有几个?(1个)
结合该题的问法,学生们立刻知道,
当m=1时,AB平行于直线l,合题意,圆方程为(x-1)2 (y-1)2=1;
当m=0时,点B在直线l上,合题意,
由切割弦定理OB2=OA