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摘 要： 研究了脉冲干扰对具有分布时滞的三物种食物链系统的影响.利用脉冲微分方程的理论和比较原则得到了捕食者灭绝的周期解的全局稳定的充分条件.
关键词： 理论；脉冲干扰； 分布时滞；全局稳定性
【中图分类号】 O157.13；Q141 【文献标识码】 A 【文章编号】 2236-1879（2018）08-0071-02
在人类参与的生态系统中，由于人类活动的影响，如收获、砍伐、播种、捕捞等，生态系统内部在固定时刻或非固定时刻可能发生突变，这些突变持续的时间与整个生态系统持续的时间相比是非常短暂的，可以认为是瞬间发生的，即这种突变以脉冲的形式发生，所以用脉冲微分方程来描述和刻画这些具有突变的生态系统的变化是很自然的. 它比没有脉冲的
微分方程更能真实地反映这些变化过程. 因此它成为用数学研究生态系统的一个重要工具，文[1，2，3] 都将脉冲方程引入生态模型中进行研究. 然而在解决实际问题时，必须要解出系统的解，这一点使脉冲微分方程的应用受到极大限制. 在文[4，5] 中运用线性脉冲微分方程， 讨论了捕食者-食物种群的灭绝性和持续生存. 很少有文章涉及到用非线性脉冲微分方程研究问题.
本文将脉冲时滞方程引入种群动力学中，同时考虑捕食者和顶级捕食者也有密度制约，研究在三物种食物链系统中捕食者灭绝的周期解的全局稳定性.
Holling在[6] 中对不同的捕食—食饵系统提供三种不同的功能反应函数，并具此本文建立如下模型：
从系统（2）的建立可知，通过研究系统（2）就能够得出系统（1）所具有的性质，因此下面我们将主要去分析系统（2）.
1 捕食者灭绝的周期解的全局稳定性
当捕食者灭绝时，可以得到下列子系统. （3），（4），（5）
定理1 系统（5）有一个全局渐近稳定的周期解
解得此方程只有一个正不动点Z*（d2），这意味着系统（5）有一个以T为周期的非负周期解Z*（t，d）. 下证此周期解是全局稳定的.
定理2 设（x，y，z，u.v）是系统（2）的任意解。若满足条件：
则系统（2）的捕食者灭绝的周期解是全局稳定的.
证明：
存在非常小的>0，可以使
由系统（2）可得：
对任意小的>0， 存在T 3，当t>T 3時y（t）<从系统（2）可得：
和
由比较原则和系统（4）知，x（t）→ 1，u（t）→ 1，（t→+∞）从系统（2）中可得当t>T 3时dvdtb（-v），由比较原则知当v（t）→0，（t→+∞）从系统（2）中进一步可得：
由比较原则知： z（t）z*（t.d2-a2）因为z*（t.d2）关于d2是连续的，当t→+∞，→0时z（t）z*（t.d2） 结合系统（6）的结论可知z（t）→z*（t.d2），（t→+∞）
综上所述，当定理4.2的条件满足时捕食者灭绝的周期解X（t）是全局渐进稳定的.
参考文献
[1] 郭中凯，王文婷，李自珍. 具有脉冲免疫接种的传染病模型分析 [J]. 南京师范大学大学 （自然科学版），2013，36（2）： 20-26.
[2] Blaquiere A. Differential Games with Piece-wise continuous Trajectories [M]. Berlin： Springer Verlag.1977.
[3] Cohen Y. Applications of optimal impulse control to optimal foraging problems [M].Berlin： Springer Verlag.1987.
[4] Wang. X， Xinyu S. Mathematical models for the control of a pest population by infected pest[J]. Computers Mathematics with Applications， 2008， 56：266-278.
[5] Paul G， Gheorghe M. Pest regulation by means of impulsive controls [J].Applied Mathematics and Computation， 2007， 190：790-803.
[6] Holling C.S. The functional response of predator to prey and its role in mimicry and population regulation [J]. Memoirs of the Entomological Society of Canada， 1965，45：1-60.
关键词： 理论；脉冲干扰； 分布时滞；全局稳定性
【中图分类号】 O157.13；Q141 【文献标识码】 A 【文章编号】 2236-1879（2018）08-0071-02
在人类参与的生态系统中，由于人类活动的影响，如收获、砍伐、播种、捕捞等，生态系统内部在固定时刻或非固定时刻可能发生突变，这些突变持续的时间与整个生态系统持续的时间相比是非常短暂的，可以认为是瞬间发生的，即这种突变以脉冲的形式发生，所以用脉冲微分方程来描述和刻画这些具有突变的生态系统的变化是很自然的. 它比没有脉冲的
微分方程更能真实地反映这些变化过程. 因此它成为用数学研究生态系统的一个重要工具，文[1，2，3] 都将脉冲方程引入生态模型中进行研究. 然而在解决实际问题时，必须要解出系统的解，这一点使脉冲微分方程的应用受到极大限制. 在文[4，5] 中运用线性脉冲微分方程， 讨论了捕食者-食物种群的灭绝性和持续生存. 很少有文章涉及到用非线性脉冲微分方程研究问题.
本文将脉冲时滞方程引入种群动力学中，同时考虑捕食者和顶级捕食者也有密度制约，研究在三物种食物链系统中捕食者灭绝的周期解的全局稳定性.
Holling在[6] 中对不同的捕食—食饵系统提供三种不同的功能反应函数，并具此本文建立如下模型：
从系统（2）的建立可知，通过研究系统（2）就能够得出系统（1）所具有的性质，因此下面我们将主要去分析系统（2）.
1 捕食者灭绝的周期解的全局稳定性
当捕食者灭绝时，可以得到下列子系统. （3），（4），（5）
定理1 系统（5）有一个全局渐近稳定的周期解
解得此方程只有一个正不动点Z*（d2），这意味着系统（5）有一个以T为周期的非负周期解Z*（t，d）. 下证此周期解是全局稳定的.
定理2 设（x，y，z，u.v）是系统（2）的任意解。若满足条件：
则系统（2）的捕食者灭绝的周期解是全局稳定的.
证明：
存在非常小的>0，可以使
由系统（2）可得：
对任意小的>0， 存在T 3，当t>T 3時y（t）<从系统（2）可得：
和
由比较原则和系统（4）知，x（t）→ 1，u（t）→ 1，（t→+∞）从系统（2）中可得当t>T 3时dvdtb（-v），由比较原则知当v（t）→0，（t→+∞）从系统（2）中进一步可得：
由比较原则知： z（t）z*（t.d2-a2）因为z*（t.d2）关于d2是连续的，当t→+∞，→0时z（t）z*（t.d2） 结合系统（6）的结论可知z（t）→z*（t.d2），（t→+∞）
综上所述，当定理4.2的条件满足时捕食者灭绝的周期解X（t）是全局渐进稳定的.
参考文献
[1] 郭中凯，王文婷，李自珍. 具有脉冲免疫接种的传染病模型分析 [J]. 南京师范大学大学 （自然科学版），2013，36（2）： 20-26.
[2] Blaquiere A. Differential Games with Piece-wise continuous Trajectories [M]. Berlin： Springer Verlag.1977.
[3] Cohen Y. Applications of optimal impulse control to optimal foraging problems [M].Berlin： Springer Verlag.1987.
[4] Wang. X， Xinyu S. Mathematical models for the control of a pest population by infected pest[J]. Computers Mathematics with Applications， 2008， 56：266-278.
[5] Paul G， Gheorghe M. Pest regulation by means of impulsive controls [J].Applied Mathematics and Computation， 2007， 190：790-803.
[6] Holling C.S. The functional response of predator to prey and its role in mimicry and population regulation [J]. Memoirs of the Entomological Society of Canada， 1965，45：1-60.