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[摘 要]喷涂机器人是一种重要的先进涂装生产装备，在国内外广泛应用于汽车等产品的涂装生产线。新的喷涂建模分析和喷枪轨迹优化算法、控制策略的研究一直是国内外学者们近几年关注的热点。本文首先介绍了喷枪的工作原理、喷涂情况与现阶段存在的问题；然后，提出了平面和已知函数的曲面上喷涂机器人喷枪轨迹优化方法，改进已有的涂层累积速率数学模型，以各点上的涂层厚度差异最小为优化目标，对沿指定空间路径的喷枪轨迹优化问题进行研究；最后，主要针对任意未知函数关系式的曲面建立了Z-map模型，来获取曲面的函数表达式，进而可得到最优轨迹。
[关键词]喷涂机器人 喷枪轨迹 涂层模型 Z-map模型 Delaunay算法
中图分类号：F772 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）37-0155-02
引言
喷涂机器人是用于完成各种喷涂作业的机电一体化的自动化生产设备。喷涂机器人的工作原理最普遍的是“人工试教法”。由工人握住装有喷枪的机器人手臂进行喷涂工作，同时控制喷涂机器人的计算机记录下工作过程中各关节的参数变化情况，使得机器人可以独立的重复预定的喷涂轨迹。但此种方法只能针对同一种曲面，并且需要人工示教，这大大降低了生产效率。在一些场合，人工示教的过程中，机器人不能使用，并且工人处于有害环境中。
本文针对上述问题，首先对平面进行分析，建立二维坐标系下的关于重叠距离的涂层厚度模型，选择厚度变化最小的重叠距离为最优轨迹；然后扩展到任何自由平面，通过Delaunay算法将曲面划分为若干细小网格，再利用Z-map对曲面特征进行分析，可得到曲面方程，并结合涂层厚度模型，以厚度差最小为要求，可得到适宜的喷涂轨迹。
1、喷枪工作原理
在实际的空气喷涂中，通常在喷枪口两侧设置压缩空气，雾锥被压扁成椭圆锥体，被喷漆雾形成的喷雾锥所覆盖的平面上的区域为椭圆形。
它符合椭圆分布区的椭圆双β分布模型：
（1）
其中：a为喷雾椭圆半长轴（mm）；b为喷雾椭圆半短轴（mm）；zmax为漆膜的最大厚度；β1为x方向中的β分布指数；β2为y方向截面中的β分布指数。
研究表明，雾化压力P1，隔膜泵压力P2和喷射距离d是影响上述参数的主要因素，并有如下关系：
（2）
上述模型是喷枪单点喷涂的模型。然而实际上，喷枪需要沿着规划的路径移动，使得待喷射的工件的表面均匀地被釉覆盖。由于雾点区域的厚度在单点喷涂时中间较大，两侧薄，所以为了保证喷雾面均匀，雾晕将在相邻路径上重叠。
2、 平面和已知函数式曲面的喷枪轨迹优化
2.1平面最优轨迹求解
在二维坐标系中两条平行的喷涂路径形成两条厚度确定的二次曲线形状的喷涂厚度。建立两个喷涂轨迹重叠的数学模型，设在重叠位置的厚度是两个喷涂厚度的累加。利用喷涂涂层积累在二维坐标系的函数方程，计算最佳重叠距离。假定p1和p2取0.2Mpa，d取225mm，；理想涂层厚度为zmax。
2.1.1 叠加后对喷枪沿短半轴喷射进行研究
已知平面上某点s的涂层厚度z（x，y），则平面上两路径以及重叠部分涂层厚度数学表达式为：
第一条喷涂轨迹的沉积厚度平面方程为：
（3）
第二条喷涂轨迹的沉积厚度平面方程为：
（4）
重叠部分的沉积厚度方程为：
（5）
当重叠距离 ，求在区间 之间的分段函数的最大、最小值，然后通过比较计算式
利用优化模型通过程序求解出沿短半轴喷射时的，佳重叠距离为81mm，最大厚度为212.8?m，最小厚度为192.5?m。
2.2 已知函数式曲面最优轨迹求解
当喷涂的面为曲面时，为了得到更精确的涂层分布情况，需要对椭圆双β分布模型进行修正。假设喷枪所喷出的涂料在自由曲面上的流量不变，即自由曲面的形状与它距喷枪的距离无关。图1中P1表示参考平面；P2表示过所求点S并且与参考平面平行的平面。θi为喷枪喷口与Si点连线与竖直方向的夹角；h为喷口到参考平面的垂直距离；hi表示喷口到P2平面的距离；ni为S点处的自由曲面的垂直向量；γi为该点处的垂直向量与喷口连线的夹角。
由于喷枪喷到自由曲面和参考平面的涂料的流量相同，则涂料在参考平面的投影为椭圆形C1，且符合椭圆双β分布；在P2平面的投影面积为C2，如图2所示。则两块投影面积的关系为：
（6）
其中，Sc1，Sc2分别为平面C1，C2的面积。
从而得到： 其中，q1，q2分别为平面C1，C2的涂层厚度。假设椭圆面C1与喷枪的喷射方向垂直，并且与C2，C1在同一圆锥张角下，则椭圆面C3的涂层厚度为： 椭圆面C3上的涂料以偏差角γ投射到自由曲面上，如图3则自由曲面的涂层厚度为： 联立前面三个式子可得到在自由曲面上任意一点的涂层厚度为：
（7）
假设喷口距离曲面上一点Si的距離为li，则
（8）
将（8）带入（7）中得到：
（9）
当偏差角γi>90°时，涂料不能喷到曲面，此时qs=0。
建立重叠距离为d的涂层厚度函数，通过比较选择厚度差最小的即为最优重叠距离。
3、自由曲面上的喷枪轨迹优化
3.1 喷涂曲面投影平面网格化
被喷涂曲面的投影面被横纵扫描线划分成若干个喷涂方格区，纵向扫描线对应喷枪的移动方向，喷涂重叠效果的由纵向扫描间距直接影响。由喷涂重叠率优化标准Min[max（z1，z2，z3）-min（z1，z2，z3）]可知，两匀速喷涂轨迹之间的间隔距离为d=Rω，其中R为喷枪喷出的圆锥形涂料流底面半径，ω为重叠率。根据不同的涂层分布模型利用优化公式计算出两条喷涂轨迹之间的最佳间隔距离。 当不考虑喷枪喷涂过程中的过喷点时，喷枪在喷涂件曲面上方沿轨迹移动时，喷枪要经过横纵扫描线的离散相交投影点。由喷枪在第一条喷涂路径上的工作起点和移动方向来确定纵向第一条扫描线上喷涂点的排序方向，而相邻扫描线上的喷涂点的排列顺序相反。纵向扫描线被横向扫描线划分为若干段，记录投影点处曲面节点的三维信息，就可以确定喷枪在喷涂件投影坐标系内的离散非参数化Z-map模型中喷涂节点的二维坐标。投影路径则由一系列的扫描交叉离散点构成的集合，称之为投影点集P，即
（15）
式中（xij，yij，0）分别为离散点Pij在投影坐标系中的三维坐标值；i，j表示离散点网络的标点。
3.2 Z-map模型提取信息
Z-map模型是一种离散的非参数化网络模型，采用离散数据记录曲面的特征，用xy平面内一组网格点对应的z的坐标值。整个喷涂过程的关键是在喷涂过程中能够正确得到喷涂曲面边界轮廓。曲线喷涂轨迹边界轮廓提取采用Z-map模型的方法，其基本思想是通过投影平面的组网格投影点与多面体模型求交，通过投影点反求z坐标值，由于多面体网络模型简化了自由曲面的构造，该方法适用于各种喷涂曲面。
由多面体模型曲面构造Z-map模型求得过投影点的竖直线与参数曲面的近似多面体网络模型求交得到交点的z坐标值。设Z-map网络投影点Pij（xij，yij，0）位于多面体模型上三角片Ti在xy平面的投影域内，计算多面体投影点的竖直延长线与所投影得到的三角面的交点。计算步骤如下所示：
4、结论
（1）对于普通平面，沿轨迹方向涂层均匀分布，垂直轨迹方向建立涂层分布函数，通过求解涂层变化最小值所对应的重叠距离，可得到喷枪轨迹；
（2）对于函数已知的曲面，建立任意点的涂层分布模型，通过均匀分布确定任意时刻的最优重叠距离；
（3）对于自由曲面，将投影曲面网络化，建立Z-map模型提取曲面信息可得到曲面方程。
参考文献
[1]刁训娣，赵德安，李医民，王燚.喷漆机器人喷枪轨迹设计及影响因素研究[J].机械科学与技术，2004（04）：396-398.
[2]张永贵，黄玉美，彭中波，高峰，韩旭昭.考虑动力学因素的喷漆机器人喷枪路径优化[J].机械科学与技术，2006（08）：993-996.
[3]刘超颖，彭发展，王战中，杨晓博，程林章，范晓珂.基于MATLAB的喷漆机器人工作空间分析[J].机床与液压，2010，38（22）：6-8.
[4]Shu Fang Zhou，Yi Zheng，Na Wang.Ship Rust Removal Spray Painting Robot Finite Element Analysis Based on ANSYS[J]. Applied Mechanics and Materials，2013，2601（385）.
[5]楊晓博.基于曲面CAD模型的喷涂轨迹规划系统研究[D].石家庄铁道大学，2011.
[关键词]喷涂机器人 喷枪轨迹 涂层模型 Z-map模型 Delaunay算法
中图分类号：F772 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）37-0155-02
引言
喷涂机器人是用于完成各种喷涂作业的机电一体化的自动化生产设备。喷涂机器人的工作原理最普遍的是“人工试教法”。由工人握住装有喷枪的机器人手臂进行喷涂工作，同时控制喷涂机器人的计算机记录下工作过程中各关节的参数变化情况，使得机器人可以独立的重复预定的喷涂轨迹。但此种方法只能针对同一种曲面，并且需要人工示教，这大大降低了生产效率。在一些场合，人工示教的过程中，机器人不能使用，并且工人处于有害环境中。
本文针对上述问题，首先对平面进行分析，建立二维坐标系下的关于重叠距离的涂层厚度模型，选择厚度变化最小的重叠距离为最优轨迹；然后扩展到任何自由平面，通过Delaunay算法将曲面划分为若干细小网格，再利用Z-map对曲面特征进行分析，可得到曲面方程，并结合涂层厚度模型，以厚度差最小为要求，可得到适宜的喷涂轨迹。
1、喷枪工作原理
在实际的空气喷涂中，通常在喷枪口两侧设置压缩空气，雾锥被压扁成椭圆锥体，被喷漆雾形成的喷雾锥所覆盖的平面上的区域为椭圆形。
它符合椭圆分布区的椭圆双β分布模型：
（1）
其中：a为喷雾椭圆半长轴（mm）；b为喷雾椭圆半短轴（mm）；zmax为漆膜的最大厚度；β1为x方向中的β分布指数；β2为y方向截面中的β分布指数。
研究表明，雾化压力P1，隔膜泵压力P2和喷射距离d是影响上述参数的主要因素，并有如下关系：
（2）
上述模型是喷枪单点喷涂的模型。然而实际上，喷枪需要沿着规划的路径移动，使得待喷射的工件的表面均匀地被釉覆盖。由于雾点区域的厚度在单点喷涂时中间较大，两侧薄，所以为了保证喷雾面均匀，雾晕将在相邻路径上重叠。
2、 平面和已知函数式曲面的喷枪轨迹优化
2.1平面最优轨迹求解
在二维坐标系中两条平行的喷涂路径形成两条厚度确定的二次曲线形状的喷涂厚度。建立两个喷涂轨迹重叠的数学模型，设在重叠位置的厚度是两个喷涂厚度的累加。利用喷涂涂层积累在二维坐标系的函数方程，计算最佳重叠距离。假定p1和p2取0.2Mpa，d取225mm，；理想涂层厚度为zmax。
2.1.1 叠加后对喷枪沿短半轴喷射进行研究
已知平面上某点s的涂层厚度z（x，y），则平面上两路径以及重叠部分涂层厚度数学表达式为：
第一条喷涂轨迹的沉积厚度平面方程为：
（3）
第二条喷涂轨迹的沉积厚度平面方程为：
（4）
重叠部分的沉积厚度方程为：
（5）
当重叠距离 ，求在区间 之间的分段函数的最大、最小值，然后通过比较计算式
利用优化模型通过程序求解出沿短半轴喷射时的，佳重叠距离为81mm，最大厚度为212.8?m，最小厚度为192.5?m。
2.2 已知函数式曲面最优轨迹求解
当喷涂的面为曲面时，为了得到更精确的涂层分布情况，需要对椭圆双β分布模型进行修正。假设喷枪所喷出的涂料在自由曲面上的流量不变，即自由曲面的形状与它距喷枪的距离无关。图1中P1表示参考平面；P2表示过所求点S并且与参考平面平行的平面。θi为喷枪喷口与Si点连线与竖直方向的夹角；h为喷口到参考平面的垂直距离；hi表示喷口到P2平面的距离；ni为S点处的自由曲面的垂直向量；γi为该点处的垂直向量与喷口连线的夹角。
由于喷枪喷到自由曲面和参考平面的涂料的流量相同，则涂料在参考平面的投影为椭圆形C1，且符合椭圆双β分布；在P2平面的投影面积为C2，如图2所示。则两块投影面积的关系为：
（6）
其中，Sc1，Sc2分别为平面C1，C2的面积。
从而得到： 其中，q1，q2分别为平面C1，C2的涂层厚度。假设椭圆面C1与喷枪的喷射方向垂直，并且与C2，C1在同一圆锥张角下，则椭圆面C3的涂层厚度为： 椭圆面C3上的涂料以偏差角γ投射到自由曲面上，如图3则自由曲面的涂层厚度为： 联立前面三个式子可得到在自由曲面上任意一点的涂层厚度为：
（7）
假设喷口距离曲面上一点Si的距離为li，则
（8）
将（8）带入（7）中得到：
（9）
当偏差角γi>90°时，涂料不能喷到曲面，此时qs=0。
建立重叠距离为d的涂层厚度函数，通过比较选择厚度差最小的即为最优重叠距离。
3、自由曲面上的喷枪轨迹优化
3.1 喷涂曲面投影平面网格化
被喷涂曲面的投影面被横纵扫描线划分成若干个喷涂方格区，纵向扫描线对应喷枪的移动方向，喷涂重叠效果的由纵向扫描间距直接影响。由喷涂重叠率优化标准Min[max（z1，z2，z3）-min（z1，z2，z3）]可知，两匀速喷涂轨迹之间的间隔距离为d=Rω，其中R为喷枪喷出的圆锥形涂料流底面半径，ω为重叠率。根据不同的涂层分布模型利用优化公式计算出两条喷涂轨迹之间的最佳间隔距离。 当不考虑喷枪喷涂过程中的过喷点时，喷枪在喷涂件曲面上方沿轨迹移动时，喷枪要经过横纵扫描线的离散相交投影点。由喷枪在第一条喷涂路径上的工作起点和移动方向来确定纵向第一条扫描线上喷涂点的排序方向，而相邻扫描线上的喷涂点的排列顺序相反。纵向扫描线被横向扫描线划分为若干段，记录投影点处曲面节点的三维信息，就可以确定喷枪在喷涂件投影坐标系内的离散非参数化Z-map模型中喷涂节点的二维坐标。投影路径则由一系列的扫描交叉离散点构成的集合，称之为投影点集P，即
（15）
式中（xij，yij，0）分别为离散点Pij在投影坐标系中的三维坐标值；i，j表示离散点网络的标点。
3.2 Z-map模型提取信息
Z-map模型是一种离散的非参数化网络模型，采用离散数据记录曲面的特征，用xy平面内一组网格点对应的z的坐标值。整个喷涂过程的关键是在喷涂过程中能够正确得到喷涂曲面边界轮廓。曲线喷涂轨迹边界轮廓提取采用Z-map模型的方法，其基本思想是通过投影平面的组网格投影点与多面体模型求交，通过投影点反求z坐标值，由于多面体网络模型简化了自由曲面的构造，该方法适用于各种喷涂曲面。
由多面体模型曲面构造Z-map模型求得过投影点的竖直线与参数曲面的近似多面体网络模型求交得到交点的z坐标值。设Z-map网络投影点Pij（xij，yij，0）位于多面体模型上三角片Ti在xy平面的投影域内，计算多面体投影点的竖直延长线与所投影得到的三角面的交点。计算步骤如下所示：
4、结论
（1）对于普通平面，沿轨迹方向涂层均匀分布，垂直轨迹方向建立涂层分布函数，通过求解涂层变化最小值所对应的重叠距离，可得到喷枪轨迹；
（2）对于函数已知的曲面，建立任意点的涂层分布模型，通过均匀分布确定任意时刻的最优重叠距离；
（3）对于自由曲面，将投影曲面网络化，建立Z-map模型提取曲面信息可得到曲面方程。
参考文献
[1]刁训娣，赵德安，李医民，王燚.喷漆机器人喷枪轨迹设计及影响因素研究[J].机械科学与技术，2004（04）：396-398.
[2]张永贵，黄玉美，彭中波，高峰，韩旭昭.考虑动力学因素的喷漆机器人喷枪路径优化[J].机械科学与技术，2006（08）：993-996.
[3]刘超颖，彭发展，王战中，杨晓博，程林章，范晓珂.基于MATLAB的喷漆机器人工作空间分析[J].机床与液压，2010，38（22）：6-8.
[4]Shu Fang Zhou，Yi Zheng，Na Wang.Ship Rust Removal Spray Painting Robot Finite Element Analysis Based on ANSYS[J]. Applied Mechanics and Materials，2013，2601（385）.
[5]楊晓博.基于曲面CAD模型的喷涂轨迹规划系统研究[D].石家庄铁道大学，2011.