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摘 要：《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）强调义务教育阶段的数学课程要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解，并在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。所以，数学课堂不再被简单地当作学生接受知识的地方，而应当成为学生探索与交流数学、构建自己有效的数学理解的场所。本文从数学表象、知识“再创造”、知识的生成过程、知识总结等方面展开论述，就新课程下如何促进学生数学理解提出了一些教学策略。
关键词：数学理解 整合 建构 教学策略
学生学习数学，不仅要通过感知认识事物的表面现象和外部联系，获得感性认识，而且要在感性认识的基础上，通过理解逐步达到对事物的理性认识。所以，理解是学生数学学习过程中的一个中心环节。理解在数学学习中占有重要的地位，没有理解就不会有有意义的学习。只有理解了，才可能有创新，理解是创新的前提与基础。
一、“理解”对数学学习的重要性
数学学习中，“理解”无疑是第一位的，它已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育界所关注的又一中心话题。理解的关键就是把个人的整体经验投向相关的学习内容，并发生意义关联。从学科角度讲，数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，其知识连贯性特别强，如果前面某一个知识点没有理解，那么就有可能引起连锁反应，后面的知识都不能理解。如果离开理解去学习数学，单纯依靠死记硬背，那么只会得到一些机械的空洞的数学符号、概念等，不可能真正掌握数学知识，更谈不上应用。但学习数学最重要的一个目的就是为了应用，因此要加深对数学基础知识的理解，达到融会贯通、举一反三，真正掌握数学知识的本质特征解决实际问题。此外，学习数学不仅仅是学习数学知识，还包括数学思想和方法，而这些也只有在深刻理解数学知识的基础上才能熟练掌握，灵活运用。
然而，在新课程改革的大潮冲击下，现今很多数学课堂表面上看起来很热闹，甚至有沸腾的感觉，但课后留给学生积淀下来的东西，内化为学生的数学思想方法、解决问题的策略等，却不太令人满意。这主要是有些教师对数学教育本质理解得不够深入，一味地盲目追求生活化、情境化、趣味化，没有掌握好度，这对学生数学意识的培养、数学素养的提高、数学思维水平的提升是不利的。有些数学知识、概念，教师没有通过适宜的数学模型、图形和恰当的变式练习让学生在课堂上深刻地理解，或者学习中理解得不够到位，这不利于学生的持续发展，一旦对这些知识进行加工或改头换面，学生将不知所措。只有当新的知识被学习者纳入到已有认知框架中，成为理解了的和有意义的意识，才是学生自己的数学知识。只有在数学概念明晰、理解深刻、数学活动经验广泛的情况下，他们的建构过程才会丰富多彩，才能在新情境中实现迁移、触类旁通。
二、促进学生数学理解的教学策略
（一）帮助学生生成正确的数学表象以促进数学理解
数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象。按材料内容的不同，数学表象可以分为图形表象和图式表象。图形表象是人脑对几何图形感知而形成的表象，图式表象则是对数学式子、结构、关系、模型感知而形成的表象。在帮助学生理解数学基本概念时，这一教学策略是比较有效的。
1、利用数学图形的多样化，丰富学生的图形变式
在几何教学中，数学图形多样化，使图形的形状、呈现方式有多种变式，目的是让学生较快地形成正确的表象，这样可使学生视野变宽，不会局限于一种“标准形”。教材上的几何图形往往比较规范、单一，许多教师在进行教学的时候，也往往用最常见的、大家都比较熟悉的图形进行教学。久而久之，学生易形成僵化性思维，遇到具体问题时头脑中的图形变式不够丰富，只有少数學生能够理解，但多数学生却受到这种思维方式的制约，产生“理解障碍”。如在《特殊三角形》的第一节课中，对等腰三角形的定义及有关概念的介绍时，教师往往习惯利用书中的锐角等腰三角形作为代表，很少以钝角等腰三角形为例，从而导致学生们在解许多关于等腰三角形的题目中只考虑锐角等腰三角形的情况，而没想到在钝角等腰三角形中是否一样。例如：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45度，求等腰三角形的顶角。学生往往只算一种——45度。若老师们在讲课时能画出两种图形，那就会减少错误人数了。
2、突出知识实质，增强学生对知识理解的准确性和深刻性
教材中的概念、法则往往指出了某些数学对象的本质属性，而学生容易停留在这些概念、法则表面意义上的理解，未能挖掘其内在的实质，这正是理解障碍产生的温床。因此，在数学教学中，教师应注意对相关概念、原理等从正反两方面加以比较辨别，找到容易混淆、模糊的地方，让学生进行辨析、排惑。同时，注意运用反例和特例，因为反例和特例具有鲜明的直观特征，容易引起学生的注意，也易于为学生所接受，这也是促进学生理解的有效方法之一。
例如学生学习 “相似三角形和相似多边形”时，教师可以举一些特例提问学生，加深学生对这两方面知识的理解，避免产生理解障碍。如：
①两个相似三角形一定是全等三角形吗？两个不全等三角形一定不是相似三角形吗？
②底角相等的两个等腰三角形是相似三角形吗？两个正三角形一定是相似三角形吗？
③任意两个矩形一定相似吗？所有的正方形都相似吗？
学生刚开始回答这些问题可能会出错，但是，正是通过对这些问题的回答，学生才能加深对 “相似三角形和相似多边形”的理解。
3、借助实物、模型等丰富的感性材料，增强学生对知识的感性认识
理解是以已有的知识经验为基础的。在数学知识学习中，教师向学生提供足以说明有关知识的丰富的感性材料，有助于学生对数学知识的初步理解，在头脑中建立起与数学对象特征相联系的数学表象。数学教材中，数学概念、性质、定理等都具有高度的抽象性和概括性，如果让学生直接理解，一定会存在很大困难。所以，在教学中应该为学生提供或者让学生自己动手制作一系列的实物、模型、教具等，通过让学生观察，使学生从数学的角度观察理解数学对象的特征，获得对它们的一些具体、直观的感知，形成正确的表象。例如在《图形与坐标》第二节课“平面直角坐标系”的教学中，为了加深学生对“平面直角坐标系”的理解，笔者在上课时加入一个游戏：拿两条长绳子，叫四个学生拉住四个头，这样就把教室分成四块，然后告诉学生这就是相当于我们所学的“平面直角坐标系”，同学们知道自己在这个坐标系下的位置吗？下面老师开始报坐标，报到谁谁就站起来……这样课堂气氛非常活跃，不但提高学生学习的兴趣，而且加深了对平面直角坐标系的理解。 （二）让学生经历知识“再创造”以促进数学理解
数学学习过程不是被动地接受教材或教师给出的现成结论，而是要通过教师组织合理的数学活动，让学生经历知识的再发现、再创造的过程，从而主动地从事数学思考，并在理解的基础上建构数学知识。
例如：在“三角形三边关系”的教学时，教师可以首先要求学生将事先准备好的长度为3cm、4cm、5cm、6cm、10cm、12cm的六根小木棒拿出来进行动手操作，任取三根将其首尾相接，拼成三角形，接着让学生研究下列问题：
①、任意三根小棒能否拼成一个三角形？
②、有几组三根小棒能拼成一个三角形？
③、有几组三根小棒不能拼成一个三角形？
④、通过上述的动手操作，请猜想三角形中任意两边的长度之和与第三边的长度之间存在什么关系？
“三角形三边关系”的教学不仅要让学生知道结论，会用结论进行判断，更重要的是要引导学生经历探究三角形三边关系的过程，通过实践操作、讨论、交流等活动，自己探究三角形三边关系，感悟到其中的道理，通过语言表达出来，并能实际应用，这样才能真正理解知识。这样的教学方式不仅有助于学生理解数学，还有益于他们获得比单纯知识本身更重要的东西——数学方法、数学能力和对数学的积极情感。
（三）让学生了解知识的生成过程以促进数学理解
按生物发生规律，人类个体的认识过程往往简洁地重复人类的认识过程。因此，数学学习的最佳途径是返璞归真，使学习者在头脑中经历一个知识发生、发展过程（数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，方法与规律的概括过程等）。然而，知识发生、发展的原始过程，早已消逝在茫茫的数学历史长河中了，怎样去经历、寻找？这就需要教师为之设计一个知识可能的生长过程，使学生经历这个过程，像历史在戏剧中的重演。在这方面，我们可以借助多媒体计算机来呈现。例如，在讲“轴对称图形”一节时，可以运用计算机辅助教学，制作一只会“飞”的彩蝶，彩蝶刚一“飞”上屏幕，就会吸引全体同学的注意力，这时教师要启发引导学生观察蝴蝶的两只翅膀。由此，學生很快就能从蝴蝶两只翅膀在运动中的现象得出轴对称的形象，并且能举出许多轴对称的实例。接下来，在屏幕上演示轴对称三角形，引导学生找出对称点和对称轴、对称线段与对称轴的关系，最后得到轴对称的性质。通过这种方式，使得抽象的数学概念成为看得见、摸得着的东西，从而内化到学生的知识结构中，从而取得较好的教学实效。应用现代化教学手段，可以使教学中“死”的图形“动”起来，把“死”的书本知识“活”起来，它可以为学生提供生动、直观的材料，从而开阔了视野，拓展了知识结构。
教学实践表明：阐明知识的发生、探索过程，用数学思想方法揭示各概念、命题的本质含义，对于学生理解课本内容是很有帮助的。
（四）引导学生总结所学知识以促进数学理解
学习数学不能将知识孤立起来、割裂开来，应注意数学知识之间的“横向”和“纵向”的联系。在数学教学中，教师要引导学生对所学知识进行归纳总结以加深对数学知识的理解。
1、纵向总结：在学完每单元、每章知识之后，引导学生归纳整理所学知识间的内在联系、逻辑顺序、主从地位及解题技能、技巧方面的结构；在复习时要注意对所学数学思想、方法进行归纳、概括，让学生试写这方面的学习体会或写出一章的小节。当然对知识进行归纳、整理，并不是罗列所学过的定义、定理、法则等，而是建立知识间的内在联系与区别。如通过绘制知识结构框图，知识之间的关系从图中就会一目了然，这样可以帮助学生形成良好的认知结构。下面为《四边形》这一章知识框架图：
2、横向总结：横向总结就是要把分散在各个单元的知识内容，但又是解决同一类问题的各种知识与方法系统地贯通、串联起来，这样可以为解决同一类问题提供多种方法。例如，证明两条直线垂直，可利用以下方法：垂直定义，等腰三角形三线合一定理，直角三角形的判定和性质定理，正方形、矩形、菱形的有关性质（正方形、矩形的四个角都是直角，正方形、菱形的对角线互相垂直），三角形的垂心性质等。又如，为了深刻理解二次三项式、一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式的知识，在分散学习的基础上，将它们贯通凝集起来对比学习，特别是要通过数形结合，把握它们之间彼此渗透和互相转化的内在联系。 概念、原理、法则之间往往具有密切的联系，所以，这一措施对于帮助学生理解概念、定理等是非常重要的。
以上主要从学生的角度探讨了促进学生数学理解的教学策略。其实教师也应该注意几点：第一，教师要认识到“理解”在数学学习中的重要性，关注学生对知识的理解；第二，教师在讲授新知识之前，一定要对学生相关预备知识的理解情况有一个大体了解。这样，教师才能针对学生的理解现状采取相应的教学方法及教学对策；第三，教师对学生关于知识点的理解应该有一个总体要求，学生应达到什么样的理解程度，教师应做到心中有数；第四，在教学过程中和课堂教学后，通过学生的表情、提问、回答、作业等的反馈情况，教师应实时监控学生的理解。
参考文献：
1、田万海，《数学教育学》浙江教育出版社
2、马复，《试论数学理解的两种类型》，《数学教育学报》
3、钟志华，《理解性数学教学论》，南京师范大学数学课程与教学论（专业） 博士论文
关键词：数学理解 整合 建构 教学策略
学生学习数学，不仅要通过感知认识事物的表面现象和外部联系，获得感性认识，而且要在感性认识的基础上，通过理解逐步达到对事物的理性认识。所以，理解是学生数学学习过程中的一个中心环节。理解在数学学习中占有重要的地位，没有理解就不会有有意义的学习。只有理解了，才可能有创新，理解是创新的前提与基础。
一、“理解”对数学学习的重要性
数学学习中，“理解”无疑是第一位的，它已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育界所关注的又一中心话题。理解的关键就是把个人的整体经验投向相关的学习内容，并发生意义关联。从学科角度讲，数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，其知识连贯性特别强，如果前面某一个知识点没有理解，那么就有可能引起连锁反应，后面的知识都不能理解。如果离开理解去学习数学，单纯依靠死记硬背，那么只会得到一些机械的空洞的数学符号、概念等，不可能真正掌握数学知识，更谈不上应用。但学习数学最重要的一个目的就是为了应用，因此要加深对数学基础知识的理解，达到融会贯通、举一反三，真正掌握数学知识的本质特征解决实际问题。此外，学习数学不仅仅是学习数学知识，还包括数学思想和方法，而这些也只有在深刻理解数学知识的基础上才能熟练掌握，灵活运用。
然而，在新课程改革的大潮冲击下，现今很多数学课堂表面上看起来很热闹，甚至有沸腾的感觉，但课后留给学生积淀下来的东西，内化为学生的数学思想方法、解决问题的策略等，却不太令人满意。这主要是有些教师对数学教育本质理解得不够深入，一味地盲目追求生活化、情境化、趣味化，没有掌握好度，这对学生数学意识的培养、数学素养的提高、数学思维水平的提升是不利的。有些数学知识、概念，教师没有通过适宜的数学模型、图形和恰当的变式练习让学生在课堂上深刻地理解，或者学习中理解得不够到位，这不利于学生的持续发展，一旦对这些知识进行加工或改头换面，学生将不知所措。只有当新的知识被学习者纳入到已有认知框架中，成为理解了的和有意义的意识，才是学生自己的数学知识。只有在数学概念明晰、理解深刻、数学活动经验广泛的情况下，他们的建构过程才会丰富多彩，才能在新情境中实现迁移、触类旁通。
二、促进学生数学理解的教学策略
（一）帮助学生生成正确的数学表象以促进数学理解
数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象。按材料内容的不同，数学表象可以分为图形表象和图式表象。图形表象是人脑对几何图形感知而形成的表象，图式表象则是对数学式子、结构、关系、模型感知而形成的表象。在帮助学生理解数学基本概念时，这一教学策略是比较有效的。
1、利用数学图形的多样化，丰富学生的图形变式
在几何教学中，数学图形多样化，使图形的形状、呈现方式有多种变式，目的是让学生较快地形成正确的表象，这样可使学生视野变宽，不会局限于一种“标准形”。教材上的几何图形往往比较规范、单一，许多教师在进行教学的时候，也往往用最常见的、大家都比较熟悉的图形进行教学。久而久之，学生易形成僵化性思维，遇到具体问题时头脑中的图形变式不够丰富，只有少数學生能够理解，但多数学生却受到这种思维方式的制约，产生“理解障碍”。如在《特殊三角形》的第一节课中，对等腰三角形的定义及有关概念的介绍时，教师往往习惯利用书中的锐角等腰三角形作为代表，很少以钝角等腰三角形为例，从而导致学生们在解许多关于等腰三角形的题目中只考虑锐角等腰三角形的情况，而没想到在钝角等腰三角形中是否一样。例如：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45度，求等腰三角形的顶角。学生往往只算一种——45度。若老师们在讲课时能画出两种图形，那就会减少错误人数了。
2、突出知识实质，增强学生对知识理解的准确性和深刻性
教材中的概念、法则往往指出了某些数学对象的本质属性，而学生容易停留在这些概念、法则表面意义上的理解，未能挖掘其内在的实质，这正是理解障碍产生的温床。因此，在数学教学中，教师应注意对相关概念、原理等从正反两方面加以比较辨别，找到容易混淆、模糊的地方，让学生进行辨析、排惑。同时，注意运用反例和特例，因为反例和特例具有鲜明的直观特征，容易引起学生的注意，也易于为学生所接受，这也是促进学生理解的有效方法之一。
例如学生学习 “相似三角形和相似多边形”时，教师可以举一些特例提问学生，加深学生对这两方面知识的理解，避免产生理解障碍。如：
①两个相似三角形一定是全等三角形吗？两个不全等三角形一定不是相似三角形吗？
②底角相等的两个等腰三角形是相似三角形吗？两个正三角形一定是相似三角形吗？
③任意两个矩形一定相似吗？所有的正方形都相似吗？
学生刚开始回答这些问题可能会出错，但是，正是通过对这些问题的回答，学生才能加深对 “相似三角形和相似多边形”的理解。
3、借助实物、模型等丰富的感性材料，增强学生对知识的感性认识
理解是以已有的知识经验为基础的。在数学知识学习中，教师向学生提供足以说明有关知识的丰富的感性材料，有助于学生对数学知识的初步理解，在头脑中建立起与数学对象特征相联系的数学表象。数学教材中，数学概念、性质、定理等都具有高度的抽象性和概括性，如果让学生直接理解，一定会存在很大困难。所以，在教学中应该为学生提供或者让学生自己动手制作一系列的实物、模型、教具等，通过让学生观察，使学生从数学的角度观察理解数学对象的特征，获得对它们的一些具体、直观的感知，形成正确的表象。例如在《图形与坐标》第二节课“平面直角坐标系”的教学中，为了加深学生对“平面直角坐标系”的理解，笔者在上课时加入一个游戏：拿两条长绳子，叫四个学生拉住四个头，这样就把教室分成四块，然后告诉学生这就是相当于我们所学的“平面直角坐标系”，同学们知道自己在这个坐标系下的位置吗？下面老师开始报坐标，报到谁谁就站起来……这样课堂气氛非常活跃，不但提高学生学习的兴趣，而且加深了对平面直角坐标系的理解。 （二）让学生经历知识“再创造”以促进数学理解
数学学习过程不是被动地接受教材或教师给出的现成结论，而是要通过教师组织合理的数学活动，让学生经历知识的再发现、再创造的过程，从而主动地从事数学思考，并在理解的基础上建构数学知识。
例如：在“三角形三边关系”的教学时，教师可以首先要求学生将事先准备好的长度为3cm、4cm、5cm、6cm、10cm、12cm的六根小木棒拿出来进行动手操作，任取三根将其首尾相接，拼成三角形，接着让学生研究下列问题：
①、任意三根小棒能否拼成一个三角形？
②、有几组三根小棒能拼成一个三角形？
③、有几组三根小棒不能拼成一个三角形？
④、通过上述的动手操作，请猜想三角形中任意两边的长度之和与第三边的长度之间存在什么关系？
“三角形三边关系”的教学不仅要让学生知道结论，会用结论进行判断，更重要的是要引导学生经历探究三角形三边关系的过程，通过实践操作、讨论、交流等活动，自己探究三角形三边关系，感悟到其中的道理，通过语言表达出来，并能实际应用，这样才能真正理解知识。这样的教学方式不仅有助于学生理解数学，还有益于他们获得比单纯知识本身更重要的东西——数学方法、数学能力和对数学的积极情感。
（三）让学生了解知识的生成过程以促进数学理解
按生物发生规律，人类个体的认识过程往往简洁地重复人类的认识过程。因此，数学学习的最佳途径是返璞归真，使学习者在头脑中经历一个知识发生、发展过程（数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，方法与规律的概括过程等）。然而，知识发生、发展的原始过程，早已消逝在茫茫的数学历史长河中了，怎样去经历、寻找？这就需要教师为之设计一个知识可能的生长过程，使学生经历这个过程，像历史在戏剧中的重演。在这方面，我们可以借助多媒体计算机来呈现。例如，在讲“轴对称图形”一节时，可以运用计算机辅助教学，制作一只会“飞”的彩蝶，彩蝶刚一“飞”上屏幕，就会吸引全体同学的注意力，这时教师要启发引导学生观察蝴蝶的两只翅膀。由此，學生很快就能从蝴蝶两只翅膀在运动中的现象得出轴对称的形象，并且能举出许多轴对称的实例。接下来，在屏幕上演示轴对称三角形，引导学生找出对称点和对称轴、对称线段与对称轴的关系，最后得到轴对称的性质。通过这种方式，使得抽象的数学概念成为看得见、摸得着的东西，从而内化到学生的知识结构中，从而取得较好的教学实效。应用现代化教学手段，可以使教学中“死”的图形“动”起来，把“死”的书本知识“活”起来，它可以为学生提供生动、直观的材料，从而开阔了视野，拓展了知识结构。
教学实践表明：阐明知识的发生、探索过程，用数学思想方法揭示各概念、命题的本质含义，对于学生理解课本内容是很有帮助的。
（四）引导学生总结所学知识以促进数学理解
学习数学不能将知识孤立起来、割裂开来，应注意数学知识之间的“横向”和“纵向”的联系。在数学教学中，教师要引导学生对所学知识进行归纳总结以加深对数学知识的理解。
1、纵向总结：在学完每单元、每章知识之后，引导学生归纳整理所学知识间的内在联系、逻辑顺序、主从地位及解题技能、技巧方面的结构；在复习时要注意对所学数学思想、方法进行归纳、概括，让学生试写这方面的学习体会或写出一章的小节。当然对知识进行归纳、整理，并不是罗列所学过的定义、定理、法则等，而是建立知识间的内在联系与区别。如通过绘制知识结构框图，知识之间的关系从图中就会一目了然，这样可以帮助学生形成良好的认知结构。下面为《四边形》这一章知识框架图：
2、横向总结：横向总结就是要把分散在各个单元的知识内容，但又是解决同一类问题的各种知识与方法系统地贯通、串联起来，这样可以为解决同一类问题提供多种方法。例如，证明两条直线垂直，可利用以下方法：垂直定义，等腰三角形三线合一定理，直角三角形的判定和性质定理，正方形、矩形、菱形的有关性质（正方形、矩形的四个角都是直角，正方形、菱形的对角线互相垂直），三角形的垂心性质等。又如，为了深刻理解二次三项式、一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式的知识，在分散学习的基础上，将它们贯通凝集起来对比学习，特别是要通过数形结合，把握它们之间彼此渗透和互相转化的内在联系。 概念、原理、法则之间往往具有密切的联系，所以，这一措施对于帮助学生理解概念、定理等是非常重要的。
以上主要从学生的角度探讨了促进学生数学理解的教学策略。其实教师也应该注意几点：第一，教师要认识到“理解”在数学学习中的重要性，关注学生对知识的理解；第二，教师在讲授新知识之前，一定要对学生相关预备知识的理解情况有一个大体了解。这样，教师才能针对学生的理解现状采取相应的教学方法及教学对策；第三，教师对学生关于知识点的理解应该有一个总体要求，学生应达到什么样的理解程度，教师应做到心中有数；第四，在教学过程中和课堂教学后，通过学生的表情、提问、回答、作业等的反馈情况，教师应实时监控学生的理解。
参考文献：
1、田万海，《数学教育学》浙江教育出版社
2、马复，《试论数学理解的两种类型》，《数学教育学报》
3、钟志华，《理解性数学教学论》，南京师范大学数学课程与教学论（专业） 博士论文