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一、试题
题1 （2012年全国高考理综）假设地球是一半径为[R]、质量分布均匀的球体. 一矿井深度为[d]. 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零. 矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A．[1-dR] B．[1+dR]
C．[(R-dR)2] D．[(RR-d)2]
题2 （2012年全国高考理综）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为[k]. 设地球的半径为[R]. 假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度[d].
[图1] 解析 如图1，设地球质量为[M]，密度为[ρ]. 地面处的重力加速度大小为[g]. 由于物体受由到的重力大小可近似等于地球对其万有引力的大小，对地面上质量为[m]的物体有
[mg=GmMR2=Gmρ43πR3R2] ①
物体在矿井底部即距地心为[(R-d)]处时，依题意其受到地球的万有引力大小等于以地心为球心、以[(R-d)]为半径的球体（即图1 中阴影部分，设其质量为[M ′]）对其万有引力的大小. 设矿井底部重力加速度大小为[g′]，有
[mg′=GmM′R2=Gmρ43π(R-d)3(R-d)2] ②
对题1，由以上两式得 [g′g=1-dR] ③
选项A正确.
对题2，设单摆的摆长为[l]，单摆在地面处的摆动周期为[T]，则
[T=2πlg] ④
单摆在矿井底部的摆动周期为[T′]，则
[T′=2πlg′] ⑤
由题意得
[T=kT′] ⑥
由③～⑥解得 [d=R(1-k2)]
二、结论
以上两道试题求解的关键都是要正确表达矿井底部（即离地面深度[d]处）的重力加速度的大小. 为了降低难度，两题都给出了这样一个结论：已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零. 关于这一结论可以证明.
[图2] 如图2，设球壳的面密度为[δ]，球壳内有一质量为[m]的质点，过质点在球壳内作顶角很小的一对圆锥体，设圆锥体底面半径分别为[r1]、[r2]，圆锥底面质量分别为[m1]=[δπr12]、[m2]=[δπr22]. 质点到圆锥底面中心的距离分别为[d1]、[d2]，近似有[d1d2=r1r2]. 质点受这一对圆锥底面的万有引力分别为[F1]与[F2]，方向分别指向两圆锥底面中心，即[F1]与[F2]的方向相反. 由于圆锥顶角很小，[F1=Gmm1d21]，[F2=Gmm2d22] ，则[F1F2=m1d22m2d12=r12d22r22d12=1]，即图2中一对顶角很小的圆锥底面对壳内质点的万有引力的合力为零. 过质点在球壳内可以作无数对这样的圆锥，每一对圆锥底面对质点万有引力的合力均为零，故整个球壳对壳内质点的引力为零.
三、应用
例1 设想沿地球直径从南极到北极打一条隧道，一列“无动力火车”从北极到南极的时间为多少？（设地球的半径为[R]，地球表面重力加速度为[g]）
[图3]解析 设地球的半径为[R]，地球表面重力加速度为[g]，地球质量为[M]，火车质量为[m]. 从地球的球心[O]沿北极方向建立直线坐标系，如图3，当火车与地心[O]点距离为[x]时，火车受到地球的引力[Fx]，即为以[O]点为球心、半径为[x]的地球部分质量[Mx] 对火车的引力. 有
[Fx=-GmMxx2]
又 [Mx=Mx3R3]
由以上两式，得[Fx=-GmMR3x=-kx]
（这里 [k=GmMR3] ）
可知“无动力火车”在地球直径隧道内做简谐运动. 火车从北极到南极的时间即为简谐运动的半个周期. 即
[t=T2=12×2πmk=πRRGM]
由于[GM=R2g] ，则 [t=πRg][图4]
例2 已知地球半径[R=]6400km. 在地球内部挖一个直径等于地球半径的空腔，空腔表面与地球表面相切于[A]点（如图4）. 求一物体在空腔内从[A]点静止释放沿地球半径运动到地心[O]点所用时间？（地球表面重力加速度为[g]=10m/s2）
解析 设地球质量为[M]，物体质量为[m]，有
[mg=GmMR2]
如果将挖去的空腔球体补上，则[P]点的物体受到地球引力[F1]大小等于球心为[O]半径为[r]的球体（设质量为[M1]）对其的引力，有
[M1=43πr3M43πR3=r3MR3]， [F1=GM1mr2]
补上的空腔球体对[P]点处物体的引力[F2]大小等于以空腔中心为球心半径为[r-R2]的球体（设质量为[M2]）对其的引力，有
[M2=43π(r-R2)3M43πR3=(r-R2)3MR3]
[F2=GM2m(r-R2)2]
则[P]点处物体受到的合力为[F=F1-F2]，解得
[F=GMm2R2=12mg]
由[F=ma]，得物体在空腔内以加速度[a=g2]做匀加速直线运动. 由[R=12at2]，得[t]=1600s.
练习
质量为[m]的铅球放入地心处，再在地球内部距地心[R2]（[R]为地球半径）处挖去质量也是[m]的球体，如图5，则铅球受到地球引力的大小为多少？方向如何？
参考答案
如果将挖去的球体补上（补上球体的质量为[m]），补上的球体对铅球的引力为[F=Gm2(R2)2=4Gm2R]，方向由铅球指向挖去小球的球心. 由结论知地球对地心处的铅球的引力为零，则挖去球体后的地球对地心处的铅球引力大小也为[F=4Gm2R]，方向由挖去球体球心指向地心.
题1 （2012年全国高考理综）假设地球是一半径为[R]、质量分布均匀的球体. 一矿井深度为[d]. 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零. 矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A．[1-dR] B．[1+dR]
C．[(R-dR)2] D．[(RR-d)2]
题2 （2012年全国高考理综）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为[k]. 设地球的半径为[R]. 假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度[d].
[图1] 解析 如图1，设地球质量为[M]，密度为[ρ]. 地面处的重力加速度大小为[g]. 由于物体受由到的重力大小可近似等于地球对其万有引力的大小，对地面上质量为[m]的物体有
[mg=GmMR2=Gmρ43πR3R2] ①
物体在矿井底部即距地心为[(R-d)]处时，依题意其受到地球的万有引力大小等于以地心为球心、以[(R-d)]为半径的球体（即图1 中阴影部分，设其质量为[M ′]）对其万有引力的大小. 设矿井底部重力加速度大小为[g′]，有
[mg′=GmM′R2=Gmρ43π(R-d)3(R-d)2] ②
对题1，由以上两式得 [g′g=1-dR] ③
选项A正确.
对题2，设单摆的摆长为[l]，单摆在地面处的摆动周期为[T]，则
[T=2πlg] ④
单摆在矿井底部的摆动周期为[T′]，则
[T′=2πlg′] ⑤
由题意得
[T=kT′] ⑥
由③～⑥解得 [d=R(1-k2)]
二、结论
以上两道试题求解的关键都是要正确表达矿井底部（即离地面深度[d]处）的重力加速度的大小. 为了降低难度，两题都给出了这样一个结论：已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零. 关于这一结论可以证明.
[图2] 如图2，设球壳的面密度为[δ]，球壳内有一质量为[m]的质点，过质点在球壳内作顶角很小的一对圆锥体，设圆锥体底面半径分别为[r1]、[r2]，圆锥底面质量分别为[m1]=[δπr12]、[m2]=[δπr22]. 质点到圆锥底面中心的距离分别为[d1]、[d2]，近似有[d1d2=r1r2]. 质点受这一对圆锥底面的万有引力分别为[F1]与[F2]，方向分别指向两圆锥底面中心，即[F1]与[F2]的方向相反. 由于圆锥顶角很小，[F1=Gmm1d21]，[F2=Gmm2d22] ，则[F1F2=m1d22m2d12=r12d22r22d12=1]，即图2中一对顶角很小的圆锥底面对壳内质点的万有引力的合力为零. 过质点在球壳内可以作无数对这样的圆锥，每一对圆锥底面对质点万有引力的合力均为零，故整个球壳对壳内质点的引力为零.
三、应用
例1 设想沿地球直径从南极到北极打一条隧道，一列“无动力火车”从北极到南极的时间为多少？（设地球的半径为[R]，地球表面重力加速度为[g]）
[图3]解析 设地球的半径为[R]，地球表面重力加速度为[g]，地球质量为[M]，火车质量为[m]. 从地球的球心[O]沿北极方向建立直线坐标系，如图3，当火车与地心[O]点距离为[x]时，火车受到地球的引力[Fx]，即为以[O]点为球心、半径为[x]的地球部分质量[Mx] 对火车的引力. 有
[Fx=-GmMxx2]
又 [Mx=Mx3R3]
由以上两式，得[Fx=-GmMR3x=-kx]
（这里 [k=GmMR3] ）
可知“无动力火车”在地球直径隧道内做简谐运动. 火车从北极到南极的时间即为简谐运动的半个周期. 即
[t=T2=12×2πmk=πRRGM]
由于[GM=R2g] ，则 [t=πRg][图4]
例2 已知地球半径[R=]6400km. 在地球内部挖一个直径等于地球半径的空腔，空腔表面与地球表面相切于[A]点（如图4）. 求一物体在空腔内从[A]点静止释放沿地球半径运动到地心[O]点所用时间？（地球表面重力加速度为[g]=10m/s2）
解析 设地球质量为[M]，物体质量为[m]，有
[mg=GmMR2]
如果将挖去的空腔球体补上，则[P]点的物体受到地球引力[F1]大小等于球心为[O]半径为[r]的球体（设质量为[M1]）对其的引力，有
[M1=43πr3M43πR3=r3MR3]， [F1=GM1mr2]
补上的空腔球体对[P]点处物体的引力[F2]大小等于以空腔中心为球心半径为[r-R2]的球体（设质量为[M2]）对其的引力，有
[M2=43π(r-R2)3M43πR3=(r-R2)3MR3]
[F2=GM2m(r-R2)2]
则[P]点处物体受到的合力为[F=F1-F2]，解得
[F=GMm2R2=12mg]
由[F=ma]，得物体在空腔内以加速度[a=g2]做匀加速直线运动. 由[R=12at2]，得[t]=1600s.
练习
质量为[m]的铅球放入地心处，再在地球内部距地心[R2]（[R]为地球半径）处挖去质量也是[m]的球体，如图5，则铅球受到地球引力的大小为多少？方向如何？
参考答案
如果将挖去的球体补上（补上球体的质量为[m]），补上的球体对铅球的引力为[F=Gm2(R2)2=4Gm2R]，方向由铅球指向挖去小球的球心. 由结论知地球对地心处的铅球的引力为零，则挖去球体后的地球对地心处的铅球引力大小也为[F=4Gm2R]，方向由挖去球体球心指向地心.