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（1、2、3 渤海大学数学系06级研究生 辽宁锦州121000）
摘要：现行高一数学教材给出：“在函数的定义域内，对于自变量 的取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。”而最新的普通高中数学课程标准则要求：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
关键词：分段函数 课程标准
1 分段函数的解析式问题
例1，（2007安徽文7）图中的图象所表示的函数的解析式为（B）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【解析】 解法一：（特殊值法）取 可排除A、C，取 可排除D，故选B。
解法二：（直接法） 时， ，则 ；
时，线段过 ， 两点，则 ， ，
，分析答案选项，故答案为B。
【点评】这是一道根据图象研究它的函数表达式的问题，它的源头是 。根据图象在区间[0,1]、[1,2]两种线性关系，分别求出两区间的函数解析式，再将分段函数解析式结合在一起，注意各区间的端点，做到既不重复又不遗漏。考察学生“先分求,后整合”的问题解决能力。一方面体现数形结合思想，另一方面展示数学的统一性。
2 分段函数的图象问题
例2，（2007广东理4、文5）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 与时间 之间关系的图象中，正确的是（C）
【解析】 解法一：根据题意，
由函数解析式知其图为C。
解法二：（排除法）客车共走140km，所用时间2.5h，因此可排除A、D，而B中在乙地休息时图像没有显示出来，故选C。
【点评】该题借助客车运行的背景，创设一个速度与路程的新问题来考查考生的应用意识，重点考查了考生对分段函数概念的理解、读图识图、将文字（代数）信息转化为图形信息的能力。
3 数列中的分段函数问题
例3，（2007上海文14）数列 中，，则数列 的极限值（B）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 或 Ｄ．不存在
【解析】。
【点评】本题虽然是分段函数问题，但要结合到极限的定义来具体求解。即考查对 的理解以及求极限的方法。
例4，（2007上海文20）如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件
， ，…， ，即 （ ），我们称其为“对称数列”。 例如，数列 与数列 都是“对称数列”。
问题（1）、（2）略；
（3）设 是 项的“对称数列”，其中 是首项为 ，公差为 的等差数列。求 前 项的和。
【解析】， ，
由题意得是首项为 ，公差为 的等差数列．
当 时，．
当 时，
综上所述，
【点评】此题 取不同值时，所对应的 的算法不同，应该分段来求，它的结果是分段函数。“对称数列”，既有课本基础（以组合数为原型），又有能力要求。最后一个问题除要求学生真正理解“对称”的含义，还与函数最值、分类讨论的思想及半开放式的探究型问题综合起来。
4 集合中的分段函数问题
例5，（2007浙江理10）设 ， 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是（C）
A． B． C． D．
【解析】 解法一：要 的值域是[0，+ ），则 可以取 ，又是二次函数，定义域连续，故 不可能同时取 ，结合选项只能选C。
解法二：作出分段函数 的图象，令 ，则 ，所以 ，选C。
【点评】审题和选择思路是破解本题关键。对于较为抽象的数学问题若能回避正规方法，而多尝试一些特殊的方法，把抽象问题具体化，正难则反，从反面思考，否则难以解答，会有意想不到的效果，这体现了高考对思维素质的考查。“解法二”要求学生作出分段函数 的图象，从几何的角度认识这个分段函数 ；再运用换元思想，对解题起到了拨云见日的作用，在解本题时需注意不要混淆 的值域与定义域的关系而选错答案。
5 绝对值不等式中的分段函数问题
例6，(全国卷Ⅱ-必修+选修Ⅱ理2、文3）函数 的一个单调增区间是（ C ）
A． B．
C． D．
【解析】 画出函数 的图象如图所示，由图象可得函数 在 上为增函数。
例7，（2007海南、宁夏理22 ）设函数 ，（I）解不等式 ；（II）求函数 的最小值。
【解析】（Ⅰ）令 ，则
作出函数 的图象，它与直线 的交点为 和 ．
所以 的解集为 。
（Ⅱ）由函数 的图像可知，
当 时， 取得最小值 ．
【点评】由于函数中存在着绝对值符号，要根据绝对值意义分类讨论，去掉绝对值符号后，所给函数实际上是一个分段函数。它既考查了方程、不等式运算,又考查分类的思想,更重要是要甄别解析式与图象之密合关系。分段函数往往与方程、不等式联合起来，很好地考查了学生数学思维的严密性和深刻性。
6 分段函数的连续性问题
例8，（2007辽宁理13）已知函数 ，在点 处连续，则-1 。
【解析】 时， ，又 时， ，
函数在 处连续， ， 。
例9，（2007江西理17）已知函数 在区间 内连续，且 ，求实数 和 的值。
【解析】 ，，由 ，即 ，．
又 ∵在 处连续，
，即 。
【点评】分段函数的连续性问题尤其应注意分段点，利用连续的定义正确求解。要确定函数在分段端点处的连续性,要采取求函数极限的方法确定。
综上所述可以很明显地看出，因为分段函数的一个重要特点是：在它的定义域内，对于不同取值范围的自变量，则有不同的对应法则，所以在研究一些分段函数问题或能转化成分段函数的问题时，分类讨论也就常常无法避免，从而分类讨论的数学思想方法成为分析分段函数问题时常用的思想方法。分段函数的每一个性质都不是孤立存在的，它们彼此之间总是相互联系。尽管分段函数仍是一个很不起眼的考点，甚至在教材中就只花了两行来给出分段函数的概念，但它在高考中的地位是不言而喻的，尤其方程、不等式、对数、导数、连续性等与分段函数结合考查学生解决问题能力已经是高考的一个新方向，而且这种题型具有一定的难度。
参考文献：
［1］普通高中数学课程标准（实验）.人民教育出版社. 2006年.
［2］普通高中课程标准实验教科书. 数学1. 必修. B版. 人民教育出版社出版. 2006年.
摘要：现行高一数学教材给出：“在函数的定义域内，对于自变量 的取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。”而最新的普通高中数学课程标准则要求：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
关键词：分段函数 课程标准
1 分段函数的解析式问题
例1，（2007安徽文7）图中的图象所表示的函数的解析式为（B）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【解析】 解法一：（特殊值法）取 可排除A、C，取 可排除D，故选B。
解法二：（直接法） 时， ，则 ；
时，线段过 ， 两点，则 ， ，
，分析答案选项，故答案为B。
【点评】这是一道根据图象研究它的函数表达式的问题，它的源头是 。根据图象在区间[0,1]、[1,2]两种线性关系，分别求出两区间的函数解析式，再将分段函数解析式结合在一起，注意各区间的端点，做到既不重复又不遗漏。考察学生“先分求,后整合”的问题解决能力。一方面体现数形结合思想，另一方面展示数学的统一性。
2 分段函数的图象问题
例2，（2007广东理4、文5）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 与时间 之间关系的图象中，正确的是（C）
【解析】 解法一：根据题意，
由函数解析式知其图为C。
解法二：（排除法）客车共走140km，所用时间2.5h，因此可排除A、D，而B中在乙地休息时图像没有显示出来，故选C。
【点评】该题借助客车运行的背景，创设一个速度与路程的新问题来考查考生的应用意识，重点考查了考生对分段函数概念的理解、读图识图、将文字（代数）信息转化为图形信息的能力。
3 数列中的分段函数问题
例3，（2007上海文14）数列 中，，则数列 的极限值（B）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 或 Ｄ．不存在
【解析】。
【点评】本题虽然是分段函数问题，但要结合到极限的定义来具体求解。即考查对 的理解以及求极限的方法。
例4，（2007上海文20）如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件
， ，…， ，即 （ ），我们称其为“对称数列”。 例如，数列 与数列 都是“对称数列”。
问题（1）、（2）略；
（3）设 是 项的“对称数列”，其中 是首项为 ，公差为 的等差数列。求 前 项的和。
【解析】， ，
由题意得是首项为 ，公差为 的等差数列．
当 时，．
当 时，
综上所述，
【点评】此题 取不同值时，所对应的 的算法不同，应该分段来求，它的结果是分段函数。“对称数列”，既有课本基础（以组合数为原型），又有能力要求。最后一个问题除要求学生真正理解“对称”的含义，还与函数最值、分类讨论的思想及半开放式的探究型问题综合起来。
4 集合中的分段函数问题
例5，（2007浙江理10）设 ， 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是（C）
A． B． C． D．
【解析】 解法一：要 的值域是[0，+ ），则 可以取 ，又是二次函数，定义域连续，故 不可能同时取 ，结合选项只能选C。
解法二：作出分段函数 的图象，令 ，则 ，所以 ，选C。
【点评】审题和选择思路是破解本题关键。对于较为抽象的数学问题若能回避正规方法，而多尝试一些特殊的方法，把抽象问题具体化，正难则反，从反面思考，否则难以解答，会有意想不到的效果，这体现了高考对思维素质的考查。“解法二”要求学生作出分段函数 的图象，从几何的角度认识这个分段函数 ；再运用换元思想，对解题起到了拨云见日的作用，在解本题时需注意不要混淆 的值域与定义域的关系而选错答案。
5 绝对值不等式中的分段函数问题
例6，(全国卷Ⅱ-必修+选修Ⅱ理2、文3）函数 的一个单调增区间是（ C ）
A． B．
C． D．
【解析】 画出函数 的图象如图所示，由图象可得函数 在 上为增函数。
例7，（2007海南、宁夏理22 ）设函数 ，（I）解不等式 ；（II）求函数 的最小值。
【解析】（Ⅰ）令 ，则
作出函数 的图象，它与直线 的交点为 和 ．
所以 的解集为 。
（Ⅱ）由函数 的图像可知，
当 时， 取得最小值 ．
【点评】由于函数中存在着绝对值符号，要根据绝对值意义分类讨论，去掉绝对值符号后，所给函数实际上是一个分段函数。它既考查了方程、不等式运算,又考查分类的思想,更重要是要甄别解析式与图象之密合关系。分段函数往往与方程、不等式联合起来，很好地考查了学生数学思维的严密性和深刻性。
6 分段函数的连续性问题
例8，（2007辽宁理13）已知函数 ，在点 处连续，则-1 。
【解析】 时， ，又 时， ，
函数在 处连续， ， 。
例9，（2007江西理17）已知函数 在区间 内连续，且 ，求实数 和 的值。
【解析】 ，，由 ，即 ，．
又 ∵在 处连续，
，即 。
【点评】分段函数的连续性问题尤其应注意分段点，利用连续的定义正确求解。要确定函数在分段端点处的连续性,要采取求函数极限的方法确定。
综上所述可以很明显地看出，因为分段函数的一个重要特点是：在它的定义域内，对于不同取值范围的自变量，则有不同的对应法则，所以在研究一些分段函数问题或能转化成分段函数的问题时，分类讨论也就常常无法避免，从而分类讨论的数学思想方法成为分析分段函数问题时常用的思想方法。分段函数的每一个性质都不是孤立存在的，它们彼此之间总是相互联系。尽管分段函数仍是一个很不起眼的考点，甚至在教材中就只花了两行来给出分段函数的概念，但它在高考中的地位是不言而喻的，尤其方程、不等式、对数、导数、连续性等与分段函数结合考查学生解决问题能力已经是高考的一个新方向，而且这种题型具有一定的难度。
参考文献：
［1］普通高中数学课程标准（实验）.人民教育出版社. 2006年.
［2］普通高中课程标准实验教科书. 数学1. 必修. B版. 人民教育出版社出版. 2006年.