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【摘要】本文对一道不等式给出了几种证法并得到三个推广命题.
【关键词】不等式；解法；推广
题目已知a，b，c∈R ，且满足a21 a2 b21 b2 c21 c2=1.求证abc≤24.
证法一令a21 a2=x，b21 b2=y，c21 c2=z，則0 则求证的不等式变为xyz（1-x）（1-y）（1-z）≤18.①
注意到（1-x）（1-y）（1-z）=（y z）（z x）（x y）≥2yz·2zx·2xy=8xyz，
由此，即知①式成立，其中等号当且仅当x=y=z，即a=b=c时成立.
证法二令a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈0，π2，则sin2α sin2β sin2γ=1.
此时，有cos2α=sin2α sin2β≥2sinβ·sinγ，cos2β≥2sinα·sinγ，cos2γ≥2sinα·sinβ.
以上三式相乘得
cos2α·cos2β·cos2γ≥8sin2α·sin2β·sin2γ.
因为α，β，γ∈0，π2，所以tanα·tanβ·tanγ≤24，
故abc≤24.
证法三（柯西不等式）根据柯西不等式（n=3）得
[（1 a2） （1 b2） （1 c2）]·a21 a2 b21 b2 c21 c2≥（a b c）2，
整理得ab bc ac≤32.
再由不等式ab bc ac≥33ab·bc·ac，
两边立方得a2·b2·c2≤ab bc ac3≤18，即abc≤24.
证法四（构造函数）
f（x）=a1 a2x-1 a22 b1 b2x-1 b22 c1 c2x-1 c22
=x2-2（a b c）x （a2 b2 c2） 3.
∵f（x）≥0，∴Δ=4（a b c）2-4（a2 b2 c2 3）≤0，
整理得ab bc ac≤32.
再由不等式ab bc ac≥33ab·bc·ac，
两边立方得a2·b2·c2≤ab bc ac3≤18，即abc≤24.
推广1已知a1，a2，…，an∈R ，且满足a211 a21 a221 a22 … a2n1 a2n=1，则a1a2…an≤1（n-1）n.
推广2已知a1，a2，…，an∈R ，且满足ak11 ak1 ak21 ak2 … akn1 akn=1，则a1a2…an≤k1（n-1）n.
推广3已知a1，a2，…，an∈R ，λ1，λ2，…，λn∈R ，λ1λ2…λn=1，且满足（λ1a1）k1 （λ1a1）k （λ2a2）k1 （λ2a2）k … （λnan）k1 （λnan）k=1，则a1a2…an≤k1（n-1）n？糞X）〗.
证明令（λ1a1）k1 （λ1a1）k=x1，（λ2a2）k1 （λ2a2）k=x2，…，（λnan）k1 （λnan）k=xn，则0 于是，所求证的不等式变为
x1x2…xn（1-x1）（1-x2）…（1-xn）≤1（n-1）n.②
注意到
（1-x1）（1-x2）…（1-xn）
=（x2 x3 … xn）（x1 x3 … xn）…（x1 x2 … xn-1）
≥（n-1）（n-1）x2x3…xn·（n-1）（n-1）x1x3…xn·…·（n-1）（n-1）x1x2…xn-1=（n-1）nx1x2…xn，
由此，即知②成立，其中等号当且仅当x1=x2=…=xn，即a1=a2=…=an时成立.
即证a1a2…an≤k1（n-1）n.
【参考文献】
[1]陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2013.
【关键词】不等式；解法；推广
题目已知a，b，c∈R ，且满足a21 a2 b21 b2 c21 c2=1.求证abc≤24.
证法一令a21 a2=x，b21 b2=y，c21 c2=z，則0
注意到（1-x）（1-y）（1-z）=（y z）（z x）（x y）≥2yz·2zx·2xy=8xyz，
由此，即知①式成立，其中等号当且仅当x=y=z，即a=b=c时成立.
证法二令a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈0，π2，则sin2α sin2β sin2γ=1.
此时，有cos2α=sin2α sin2β≥2sinβ·sinγ，cos2β≥2sinα·sinγ，cos2γ≥2sinα·sinβ.
以上三式相乘得
cos2α·cos2β·cos2γ≥8sin2α·sin2β·sin2γ.
因为α，β，γ∈0，π2，所以tanα·tanβ·tanγ≤24，
故abc≤24.
证法三（柯西不等式）根据柯西不等式（n=3）得
[（1 a2） （1 b2） （1 c2）]·a21 a2 b21 b2 c21 c2≥（a b c）2，
整理得ab bc ac≤32.
再由不等式ab bc ac≥33ab·bc·ac，
两边立方得a2·b2·c2≤ab bc ac3≤18，即abc≤24.
证法四（构造函数）
f（x）=a1 a2x-1 a22 b1 b2x-1 b22 c1 c2x-1 c22
=x2-2（a b c）x （a2 b2 c2） 3.
∵f（x）≥0，∴Δ=4（a b c）2-4（a2 b2 c2 3）≤0，
整理得ab bc ac≤32.
再由不等式ab bc ac≥33ab·bc·ac，
两边立方得a2·b2·c2≤ab bc ac3≤18，即abc≤24.
推广1已知a1，a2，…，an∈R ，且满足a211 a21 a221 a22 … a2n1 a2n=1，则a1a2…an≤1（n-1）n.
推广2已知a1，a2，…，an∈R ，且满足ak11 ak1 ak21 ak2 … akn1 akn=1，则a1a2…an≤k1（n-1）n.
推广3已知a1，a2，…，an∈R ，λ1，λ2，…，λn∈R ，λ1λ2…λn=1，且满足（λ1a1）k1 （λ1a1）k （λ2a2）k1 （λ2a2）k … （λnan）k1 （λnan）k=1，则a1a2…an≤k1（n-1）n？糞X）〗.
证明令（λ1a1）k1 （λ1a1）k=x1，（λ2a2）k1 （λ2a2）k=x2，…，（λnan）k1 （λnan）k=xn，则0
x1x2…xn（1-x1）（1-x2）…（1-xn）≤1（n-1）n.②
注意到
（1-x1）（1-x2）…（1-xn）
=（x2 x3 … xn）（x1 x3 … xn）…（x1 x2 … xn-1）
≥（n-1）（n-1）x2x3…xn·（n-1）（n-1）x1x3…xn·…·（n-1）（n-1）x1x2…xn-1=（n-1）nx1x2…xn，
由此，即知②成立，其中等号当且仅当x1=x2=…=xn，即a1=a2=…=an时成立.
即证a1a2…an≤k1（n-1）n.
【参考文献】
[1]陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2013.