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求值
例1 已知[sinα+sinβ=m，cosα+cosβ=n（mn≠0），]求[tan（α+β）].
解析 如图1所示，利用单位圆，有点[A（cosα，sinα），][B（cosβ，sinβ），] 其中[α，β]为倾斜角，挖掘[α+β2]的意义为弦[AB]的中点[C（m2，n2）]和原点连线的倾斜角. 由斜率的意义[tanα+β2=mn，]由二倍角公式得[tan（α+β）=2mnn2-m2.]
点拨 巧妙地利用单位圆，不仅极大地简化了解题过程，而且提高了思维的创造性.
[图1] [图2]
求最值
例2 求函数[u=sinα2+cosα]的最值.
解析 [u=sinα-0cosα-（-2）]表示点[P（cosα，sinα）]与[A（-2，0）]连线的斜率，而[P（cosα，sinα）]在单位圆[x2+y2=1]上，如图2. 过[A]作单位圆的切线[AB]和[AC]，易得[kAB =33]，[kAC =-33]，故[umax =33]，[umin =-–33].
点拨 通过利用单位圆，快速、简捷地获解，令人拍手叫绝.
解三角方程
例3 若[2sin（2x+π3）=1]，求[x]的值.
解析 设[2x+π3=α]，则已知式可化为[sinα=12]. 过[y]轴上的点[N（0，12）]作[x]轴的平行线，交单位圆与点[A]和[B]，则[OA]和[OB]为角[α]的终边，如图3所示. 可见[∠xOA=π6，][∠xOB=5π6，]故角[α]的集合是[{α|α=][2kπ+π6]或[α=2kπ+5π6，k∈Z}，]即[{x|2x+π3=2kπ+π6]或[2x+π3=2kπ+5π6，k∈Z}，]从而得到[x]的值的集合是[{x|x=][kπ-–π12]或[x=kπ+π4，k∈Z}].
点拨 在解题过程中，要能够灵活地运用所学的知识，开拓思路，寻觅最佳解题途径，从而使问题简捷获解.
[图3] [图4]
求三角函数的定义域
例4 求函数[y=2sinx-1+lg（1+tanx）]的定义域.
解析 应有[sinx≥12]且[tanx>-1]. 在单位圆中分别画出两个不等式的角[x]的终边范围，如图4所示. 再取它们的公共部分，注意角的终边的取舍，得到函数的定义域是[[2kπ+π6，2kπ+π2）∪（2kπ+3π4，][2kπ+5π6]（k∈Z）].
点拨 利用单位圆解题，简化了解题过程，提高了解题技能和速度，值得肯定.
证明等式
例5 已知[sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A][+cos5A=b，]求证：当[b≠0]时，[tan3A=ab].
证明 设[M（cosA，sinA），N（cos3A，sin3A），][P（cos5A，][sin5A）]是[△MNP]的三个顶点，它们均在单位圆[x2+ y2=1]上，如图5. [∠MON=∠NOP=2A，]所以[|MN|=|NP|，]因此[△MNP]是等腰三角形，从而其重心[G（b3，a3）]在[ON]上，于是[tan3A=ab].
点拨 利用单位圆，解决一个看上去较为复杂的问题，从中不难体会到单位圆在证三角题中的妙用.
[图5] [图6]
解三角不等式
例6 解不等式[sinx>22].
解析 因一、二象限平分线交单位圆于[A，B，]易知[AD=22，][BC=22，]如图6所示. 要使[sinx>22，]则角[x]的终边应在[OA～OB]之间，因此不等式的解集为[{x| 2kπ+π4<x<kπ+3π4，k∈Z}].
点拨 巧妙利用单位圆，使看上去不容易求解的问题顺利获解，令人心情舒畅.
证明三角不等式
例7 求证：[sinx<x<tanx]（其中[0<x<π2]）.
证明 如图7所示，[sinx=AD，x=BD，][tanx=BC].
显然[AD<BD<BD]，即[sinx<x].
又[S扇形OBD<S△OBC]，
则[12OB?BD<12OB?BC.]所以[BD<BC，]即[x<tanx].
综上可知，[sinx<x<tanx].
点拨 直接证明有困难，单位圆一现，问题立即变简单了，证明过程也简捷了. [图7] [图8]
例8 设[α]为锐角，求证[1<sinα+cosα<π2].
解析 如图8所示，设角[α]的终边与单位圆交于[P（x，y），]过[P]作[PQ⊥Ox]于[Q]，[PR⊥Oy]于[R，][sinα=y，][cosα=x].
在[△OPQ]中，[|QP|+|OQ|>|OP|]，即[sinα+cosα>1.]①
又[S△OAP =12 OA |·| QP | =12y =12sinα，]
[S△OPB=12][OB·RP=12x=12cosα，]
[S扇形OAB =π4，]
且四边形[OAPB]被扇形[OAB]所覆盖，
所以[S△OAP+S△OPB<S扇形OAB，]即[sinα+cosα<π2].②
由①②得，[1<sinα+cosα<π2].
点拨 灵活运用单位圆，使看上去较为复杂的证明题，简捷、快速获证.
比较三角式的大小
例9 比较大小：[sin1，cos1，tan1].
解析 注意到[π4<1<][π2]，则角1在如图9所示的位置.由图可知，[OA<AD<BC，]即[cos1<sin1<tan1.]
点拨 利用单位圆，将看上去难以比较的问题，快速地比较出大小，令人赞不绝口.
缩小角的范围
例10 在[△ABC]中，已知[cosA=513，][sinB=35，]则[cosC]为（ ）
A. [1665] B. [5665]
C. [5665]或[1665] D. [-1665]
解析 本题许多同学易错选C，究其原因是由于未尽量缩小角的范围所致. 事实上只要利用图4中的“八卦”图缩小[A]和[B]的范围，从而缩小角[C]的范围即可.
[∵cosA=513<12， A∈（0，π），][∴A∈（π3]，[π2]）.
[∵12]<sinB=[35]<[22]，B∈（0， π），
[∴B∈（π6，π4）∪（3π4，5π6）.]
于是[A+B∈（π2，3π4），][∴C∈（π4，π2），][∴cosC∈][（0，22）.]
答案 A
点拨 灵活利用单位圆，缩小了角的范围，从而快速获解.
例1 已知[sinα+sinβ=m，cosα+cosβ=n（mn≠0），]求[tan（α+β）].
解析 如图1所示，利用单位圆，有点[A（cosα，sinα），][B（cosβ，sinβ），] 其中[α，β]为倾斜角，挖掘[α+β2]的意义为弦[AB]的中点[C（m2，n2）]和原点连线的倾斜角. 由斜率的意义[tanα+β2=mn，]由二倍角公式得[tan（α+β）=2mnn2-m2.]
点拨 巧妙地利用单位圆，不仅极大地简化了解题过程，而且提高了思维的创造性.
[图1] [图2]
求最值
例2 求函数[u=sinα2+cosα]的最值.
解析 [u=sinα-0cosα-（-2）]表示点[P（cosα，sinα）]与[A（-2，0）]连线的斜率，而[P（cosα，sinα）]在单位圆[x2+y2=1]上，如图2. 过[A]作单位圆的切线[AB]和[AC]，易得[kAB =33]，[kAC =-33]，故[umax =33]，[umin =-–33].
点拨 通过利用单位圆，快速、简捷地获解，令人拍手叫绝.
解三角方程
例3 若[2sin（2x+π3）=1]，求[x]的值.
解析 设[2x+π3=α]，则已知式可化为[sinα=12]. 过[y]轴上的点[N（0，12）]作[x]轴的平行线，交单位圆与点[A]和[B]，则[OA]和[OB]为角[α]的终边，如图3所示. 可见[∠xOA=π6，][∠xOB=5π6，]故角[α]的集合是[{α|α=][2kπ+π6]或[α=2kπ+5π6，k∈Z}，]即[{x|2x+π3=2kπ+π6]或[2x+π3=2kπ+5π6，k∈Z}，]从而得到[x]的值的集合是[{x|x=][kπ-–π12]或[x=kπ+π4，k∈Z}].
点拨 在解题过程中，要能够灵活地运用所学的知识，开拓思路，寻觅最佳解题途径，从而使问题简捷获解.
[图3] [图4]
求三角函数的定义域
例4 求函数[y=2sinx-1+lg（1+tanx）]的定义域.
解析 应有[sinx≥12]且[tanx>-1]. 在单位圆中分别画出两个不等式的角[x]的终边范围，如图4所示. 再取它们的公共部分，注意角的终边的取舍，得到函数的定义域是[[2kπ+π6，2kπ+π2）∪（2kπ+3π4，][2kπ+5π6]（k∈Z）].
点拨 利用单位圆解题，简化了解题过程，提高了解题技能和速度，值得肯定.
证明等式
例5 已知[sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A][+cos5A=b，]求证：当[b≠0]时，[tan3A=ab].
证明 设[M（cosA，sinA），N（cos3A，sin3A），][P（cos5A，][sin5A）]是[△MNP]的三个顶点，它们均在单位圆[x2+ y2=1]上，如图5. [∠MON=∠NOP=2A，]所以[|MN|=|NP|，]因此[△MNP]是等腰三角形，从而其重心[G（b3，a3）]在[ON]上，于是[tan3A=ab].
点拨 利用单位圆，解决一个看上去较为复杂的问题，从中不难体会到单位圆在证三角题中的妙用.
[图5] [图6]
解三角不等式
例6 解不等式[sinx>22].
解析 因一、二象限平分线交单位圆于[A，B，]易知[AD=22，][BC=22，]如图6所示. 要使[sinx>22，]则角[x]的终边应在[OA～OB]之间，因此不等式的解集为[{x| 2kπ+π4<x<kπ+3π4，k∈Z}].
点拨 巧妙利用单位圆，使看上去不容易求解的问题顺利获解，令人心情舒畅.
证明三角不等式
例7 求证：[sinx<x<tanx]（其中[0<x<π2]）.
证明 如图7所示，[sinx=AD，x=BD，][tanx=BC].
显然[AD<BD<BD]，即[sinx<x].
又[S扇形OBD<S△OBC]，
则[12OB?BD<12OB?BC.]所以[BD<BC，]即[x<tanx].
综上可知，[sinx<x<tanx].
点拨 直接证明有困难，单位圆一现，问题立即变简单了，证明过程也简捷了. [图7] [图8]
例8 设[α]为锐角，求证[1<sinα+cosα<π2].
解析 如图8所示，设角[α]的终边与单位圆交于[P（x，y），]过[P]作[PQ⊥Ox]于[Q]，[PR⊥Oy]于[R，][sinα=y，][cosα=x].
在[△OPQ]中，[|QP|+|OQ|>|OP|]，即[sinα+cosα>1.]①
又[S△OAP =12 OA |·| QP | =12y =12sinα，]
[S△OPB=12][OB·RP=12x=12cosα，]
[S扇形OAB =π4，]
且四边形[OAPB]被扇形[OAB]所覆盖，
所以[S△OAP+S△OPB<S扇形OAB，]即[sinα+cosα<π2].②
由①②得，[1<sinα+cosα<π2].
点拨 灵活运用单位圆，使看上去较为复杂的证明题，简捷、快速获证.
比较三角式的大小
例9 比较大小：[sin1，cos1，tan1].
解析 注意到[π4<1<][π2]，则角1在如图9所示的位置.由图可知，[OA<AD<BC，]即[cos1<sin1<tan1.]
点拨 利用单位圆，将看上去难以比较的问题，快速地比较出大小，令人赞不绝口.
缩小角的范围
例10 在[△ABC]中，已知[cosA=513，][sinB=35，]则[cosC]为（ ）
A. [1665] B. [5665]
C. [5665]或[1665] D. [-1665]
解析 本题许多同学易错选C，究其原因是由于未尽量缩小角的范围所致. 事实上只要利用图4中的“八卦”图缩小[A]和[B]的范围，从而缩小角[C]的范围即可.
[∵cosA=513<12， A∈（0，π），][∴A∈（π3]，[π2]）.
[∵12]<sinB=[35]<[22]，B∈（0， π），
[∴B∈（π6，π4）∪（3π4，5π6）.]
于是[A+B∈（π2，3π4），][∴C∈（π4，π2），][∴cosC∈][（0，22）.]
答案 A
点拨 灵活利用单位圆，缩小了角的范围，从而快速获解.