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从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等.鉴于高考平面向量的命题特点，建议同学们第一轮复习应在平面向量的“知识性”和“交汇性”上下工夫.
一、把握基本知识，掌握基本方法
平面向量的基本知识主要包括平面向量的基本概念、重要定理、基本性质和运算法则等，概括如下：
1.平面向量中的五个基本概念
（1）零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
（2）长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a方向上的单位向量为a|a|.
（3）方向相同或相反的向量叫共线向量（平行向量）.
（4）如果直线l的斜率为k，则a=（1，k）是直线l的一个方向向量.
（5）向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影.
2.平面向量的两个重要定理
（1）向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b=λa.
（2）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一组基底.
3.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则：
（1）a∥ba=λbx1y2-x2y1=0.
（2）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.
4.平面向量的三个性质
（1）若a=（x，y），则|a|=a·a=x2+y2.
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则
|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2.
（3）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ为a与b的夹角，则cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.
牢固掌握基础知识是数学解题的前提，而要把知识转化为能力，复习时必须要善于动脑，勤于练习，并注重总结与归纳，例如平面向量数量积，历来是平面向量高考命题的主要考点.由于平面向量数量积的运算具有一定的技巧，在历年高考中往往得分率不高.如何“突破”这个考点？同学们一定要注意方法的积累，熟练掌握以下三种方法：
1.定义法是求平面向量数量积最基本的方法
例1（1）（2014·全国卷）已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则（2a-b）·b=（）
A. -1B. 0C. 1D. 2
（2）（2014·重庆卷）已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2，-6），|b|=10，则a·b=.
答案：（1）B； （2）10.
解析：（1）因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，
所以（2a-b）·b=2a·b-b2=2|a||b|cos60°-|b|2=0.
（2）∵|a|=（-2）2+（-6）2=210，
∴a·b=|a||b|cos60°=210×10×12=10.
评注：当两个向量的模与夹角都已经给出或容易求出时，定义法是求平面向量数量积最好的方法.此类问题在高考中属于容易题.
2.基底法是求平面向量数量积最重要的方法
例2（2014·江苏卷）如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，则AB·AD的值是.
答案：22.
解析：考虑将条件中涉及的AP，BP向量用基底AB，AD表示，然后实施计算.
因为在平行四边形ABCD中，CP=3PD，
所以AP=AD+DP=AD+14AB，BP=BC+CP=AD-34AB.
则AP·BP=2=（AD+14AB）·（AD-34AB）=AD2-12AD·AB-316AB2.
又AB=8，AD=5，AP·BP=2，则2=25-316×64-12AB·AD，故AB·AD=22.
评注：确定一组基底，将所求数量积的两个向量分别用这组基底线性表示，进而将所求数量积的两个向量数量积问题转化为基底的数量积问题，这就是所谓的基底法，体现了数学解题的转化思想.
3.解析法是求平面向量数量积最有效的方法
例3（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF.若AE·AF=1，则λ的值为.
答案：2.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（-1，0），B（0，-3），C（1，0），D（0，3）.设E（x1，y1），F（x2，y2），
由BC=3BE，得（1，3）=3（x1，y1+3），
可得E（13，-233）；
由DC=λDF，得（1，-3）=λ（x2，y2-3），可得F（1λ，3-3λ）.
∵AE·AF=（43，-233）·（1λ+1，3-3λ）=103λ-23=1，∴λ=2.
评注：解析法又叫坐标法，即恰当建立直角坐标系，将平面向量坐标化，可使向量数量积运算程序化，从而减少思维量.本文中的例2也可用解析法来解，简解如下： 不妨以A点为坐标原点，AB所在直线作为x轴建立平面直角坐标系，可设A（0，0），B（8，0），D（a，t），P（a+2，t），C（a+8，t），则AP=（a+2，t），BP=（a-6，t）.由AP·BP=2，得a2+t2-4a=14，由AD=5，得a2+t2=25，则4a=11，故所求AB·AD=8a=22.
二、关注知识交汇，提高综合能力
平面向量的“交汇性”主要体现在平面几何、三角函数和平面解析几何中，在平面几何问题中，主要是将向量的位置关系转化为平面几何中的边与边的位置关系；在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.
1.平面向量与平面几何的交汇
例4在△ABC中，（BC+BA）·AC=|AC|2，则△ABC的形状是.
答案：直角三角形.
解析：根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系.
由（BC+BA）·AC=|AC|2，得（BC+BA-AC）·AC=0，
∴（BC+BA+CA）·AC=02BA·AC=0，故BA⊥AC，∠A=90°，
故△ABC一定是直角三角形.
评注：对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论.特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明.
2.平面向量与三角函数的交汇
例5（2014·山东）在△ABC中，已知AB·AC=tanA，当A=π6时，△ABC的面积为.
答案：16.
解析：因为AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA，且A=π6，所以|AB|·|AC|=23，所以△ABC的面积S=12|AB|·|AC|sinA=12×23×sinπ6=16.
评注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.
3.平面向量与解析几何的交汇
例6已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=22，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足MF·FB=2-1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解析：（1）根据题意得，F（c，0）（c>0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），
∴MF=（c，-b），FB=（a-c，0），∴MF·FB=ac-c2=2-1.
又e=ca=22，∴a=2c，∴2c2-c2=2-1，
∴c2=1，a2=2，b2=1，
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
（2）假设存在满足条件的直线l.∵kMF=-1，且MF⊥l，∴kl=1.
设直线l的方程为y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由y=x+m，x22+y2=1消去y得3x2+4mx+2m2-2=0，
则有Δ=16m2-12（2m2-2）>0，即m2<3，又x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23，
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=2m2-23-4m23+m2=m2-23.
又F为△MPQ的垂心，连结PF，则PF⊥MQ，∴PF·MQ=0，
又PF=（1-x1，-y1），MQ=（x2，y2-1），
∴PF·MQ=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-43m+m-2m2-23-m2-23=-m2-m3+43=-13（3m2+m-4）=-13（3m+4）（m-1）=0，
∴m=-43或m=1（舍去），
经检验m=-43符合条件，
∴存在满足条件的直线l，其方程为3x-3y-4=0.
评注：由于平面向量的坐标运算与解析几何“一脉相承”，向量法成了破解解析几何问题的重要方法之一.本例既体现了平面向量与解析几何的“交汇性”，又体现了平面向量的“工具性”.
（作者：顾永建，江苏省石庄高级中学）
一、把握基本知识，掌握基本方法
平面向量的基本知识主要包括平面向量的基本概念、重要定理、基本性质和运算法则等，概括如下：
1.平面向量中的五个基本概念
（1）零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
（2）长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a方向上的单位向量为a|a|.
（3）方向相同或相反的向量叫共线向量（平行向量）.
（4）如果直线l的斜率为k，则a=（1，k）是直线l的一个方向向量.
（5）向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影.
2.平面向量的两个重要定理
（1）向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b=λa.
（2）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一组基底.
3.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则：
（1）a∥ba=λbx1y2-x2y1=0.
（2）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.
4.平面向量的三个性质
（1）若a=（x，y），则|a|=a·a=x2+y2.
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则
|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2.
（3）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ为a与b的夹角，则cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.
牢固掌握基础知识是数学解题的前提，而要把知识转化为能力，复习时必须要善于动脑，勤于练习，并注重总结与归纳，例如平面向量数量积，历来是平面向量高考命题的主要考点.由于平面向量数量积的运算具有一定的技巧，在历年高考中往往得分率不高.如何“突破”这个考点？同学们一定要注意方法的积累，熟练掌握以下三种方法：
1.定义法是求平面向量数量积最基本的方法
例1（1）（2014·全国卷）已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则（2a-b）·b=（）
A. -1B. 0C. 1D. 2
（2）（2014·重庆卷）已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2，-6），|b|=10，则a·b=.
答案：（1）B； （2）10.
解析：（1）因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，
所以（2a-b）·b=2a·b-b2=2|a||b|cos60°-|b|2=0.
（2）∵|a|=（-2）2+（-6）2=210，
∴a·b=|a||b|cos60°=210×10×12=10.
评注：当两个向量的模与夹角都已经给出或容易求出时，定义法是求平面向量数量积最好的方法.此类问题在高考中属于容易题.
2.基底法是求平面向量数量积最重要的方法
例2（2014·江苏卷）如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，则AB·AD的值是.
答案：22.
解析：考虑将条件中涉及的AP，BP向量用基底AB，AD表示，然后实施计算.
因为在平行四边形ABCD中，CP=3PD，
所以AP=AD+DP=AD+14AB，BP=BC+CP=AD-34AB.
则AP·BP=2=（AD+14AB）·（AD-34AB）=AD2-12AD·AB-316AB2.
又AB=8，AD=5，AP·BP=2，则2=25-316×64-12AB·AD，故AB·AD=22.
评注：确定一组基底，将所求数量积的两个向量分别用这组基底线性表示，进而将所求数量积的两个向量数量积问题转化为基底的数量积问题，这就是所谓的基底法，体现了数学解题的转化思想.
3.解析法是求平面向量数量积最有效的方法
例3（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF.若AE·AF=1，则λ的值为.
答案：2.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（-1，0），B（0，-3），C（1，0），D（0，3）.设E（x1，y1），F（x2，y2），
由BC=3BE，得（1，3）=3（x1，y1+3），
可得E（13，-233）；
由DC=λDF，得（1，-3）=λ（x2，y2-3），可得F（1λ，3-3λ）.
∵AE·AF=（43，-233）·（1λ+1，3-3λ）=103λ-23=1，∴λ=2.
评注：解析法又叫坐标法，即恰当建立直角坐标系，将平面向量坐标化，可使向量数量积运算程序化，从而减少思维量.本文中的例2也可用解析法来解，简解如下： 不妨以A点为坐标原点，AB所在直线作为x轴建立平面直角坐标系，可设A（0，0），B（8，0），D（a，t），P（a+2，t），C（a+8，t），则AP=（a+2，t），BP=（a-6，t）.由AP·BP=2，得a2+t2-4a=14，由AD=5，得a2+t2=25，则4a=11，故所求AB·AD=8a=22.
二、关注知识交汇，提高综合能力
平面向量的“交汇性”主要体现在平面几何、三角函数和平面解析几何中，在平面几何问题中，主要是将向量的位置关系转化为平面几何中的边与边的位置关系；在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.
1.平面向量与平面几何的交汇
例4在△ABC中，（BC+BA）·AC=|AC|2，则△ABC的形状是.
答案：直角三角形.
解析：根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系.
由（BC+BA）·AC=|AC|2，得（BC+BA-AC）·AC=0，
∴（BC+BA+CA）·AC=02BA·AC=0，故BA⊥AC，∠A=90°，
故△ABC一定是直角三角形.
评注：对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论.特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明.
2.平面向量与三角函数的交汇
例5（2014·山东）在△ABC中，已知AB·AC=tanA，当A=π6时，△ABC的面积为.
答案：16.
解析：因为AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA，且A=π6，所以|AB|·|AC|=23，所以△ABC的面积S=12|AB|·|AC|sinA=12×23×sinπ6=16.
评注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.
3.平面向量与解析几何的交汇
例6已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=22，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足MF·FB=2-1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解析：（1）根据题意得，F（c，0）（c>0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），
∴MF=（c，-b），FB=（a-c，0），∴MF·FB=ac-c2=2-1.
又e=ca=22，∴a=2c，∴2c2-c2=2-1，
∴c2=1，a2=2，b2=1，
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
（2）假设存在满足条件的直线l.∵kMF=-1，且MF⊥l，∴kl=1.
设直线l的方程为y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由y=x+m，x22+y2=1消去y得3x2+4mx+2m2-2=0，
则有Δ=16m2-12（2m2-2）>0，即m2<3，又x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23，
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=2m2-23-4m23+m2=m2-23.
又F为△MPQ的垂心，连结PF，则PF⊥MQ，∴PF·MQ=0，
又PF=（1-x1，-y1），MQ=（x2，y2-1），
∴PF·MQ=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-43m+m-2m2-23-m2-23=-m2-m3+43=-13（3m2+m-4）=-13（3m+4）（m-1）=0，
∴m=-43或m=1（舍去），
经检验m=-43符合条件，
∴存在满足条件的直线l，其方程为3x-3y-4=0.
评注：由于平面向量的坐标运算与解析几何“一脉相承”，向量法成了破解解析几何问题的重要方法之一.本例既体现了平面向量与解析几何的“交汇性”，又体现了平面向量的“工具性”.
（作者：顾永建，江苏省石庄高级中学）