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[摘 要]“被除数等于除数与商的积加余数”是小学数学中的基础知识。然而，对于此“约定俗成、亘古不变”的结论，教师教学时是直接告诉学生，还是让学生自由探究呢？为了体现教学的价值，教师应该注重从具体的情景中抽取出数学问题，引导学生在合作探究中直抵数学的本质，让学生对所学知识不仅“知其然”，而且“知其所以然”。
[关键词]反思 问题 数学本质 被除数 除数 商
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）29-017
问题出处：
人教版小学数学四年级上册第75页第12题：在下面的（ ）里填上适当的数。
（ ）÷40=6……28 500÷（ ）=7……10
课前思考：
在《教师教学用书》中看到了对此题的要求：“本题是根据被除数、除数与商的关系逆向计算的题，意在提高学生综合解决问题的能力。”这里的后半句话，引发了我深深的思考。
第一，从三年级开始，学生已经接触除法的验算，即怎样根据除数、商与余数求被除数，但为什么要用“除数×商 余数”来算被除数呢？学生回答：“老师告诉的，这是验算的方法。”如果继续问学生：“你们的老师是怎样知道的？”生答：“是老师的老师告诉老师的……”如此问下去，就像是一个永远都难以解决的数学难题。这样追问的结果，就像“世界上究竟是先有鸡，还是先有蛋”这样的哲学问题，永远找不到答案。
第二，如果问教师，教师会认为这是数学上的规定，可是这种规定是随意的，或是约定俗成的，还是某个人规定的呢？究竟是谁有如此大的威慑力，能把这种规定延续至今呢？如果我们的教学只是重复着前人的规定，那教学又有何意义呢？
第三，在除法验算中，这种题会一直延续着、练习着，教师也一直会把这种题型作为能力拓展题，让学生一遍遍地记住其中的数量关系，导致学生在痛苦中记忆着，在重复中茫然着……
基于以上认识，我想：“就当这道题是一道能力拓展题，任其自然吧。”可是，眨眼间，我改变了自己的想法：“既然讲了，就应该与高效挂钩。”可是该怎样教呢？结合教参对此题的要求、自己对此题的认识及学生的认知起点，我将此题的教学重心放在从具体的情景中抽取出数学问题、解决数学问题上，从真正意义上做到解决学生知识学习中的困惑点，使他们不仅“知其然”，而且“知其所以然”。
教学过程：
1.直奔主题，产生质疑
师[出示（ ）÷40=6……28]：这道题你们会做吗？
生：会做。
师：怎么做？
生1：用40×6 28计算就可以了。
师：为什么不用28×6 40计算呢？
生2：因为被除数=除数×商 余数。
师：你们是怎么知道的呀？
生3：奥数老师讲的。
生4：以前老师讲的。
……
师：老师讲的就一定是对的吗？
生（产生怀疑）：是啊，老师讲的就一定是对的吗？究竟是怎样的呢？
……
2.提出问题，解决问题
师：好了，事实上你们是对的，可是对的也应该有理由。为什么被除数就等于“除数×商 余数”呢？
（学生开始了新的思考，可是似乎无从下手）
师：难道这仅仅就是一个算式吗？这个冰冷的、呆板的算式，你们能把它变得有生命力、“活”起来吗？
生：很难。
师：比如说买东西。
（一语惊醒梦中人）
生5：应用题。
师：好样的，学数学就一定要会联想。下面就让我们以小组为单位，以这个算式为基础，想一想、编一编并且算一算，看能不能说清这个算理。
（学生小组合作编题，师巡视指导）
生6：我和爸爸去超市买了6盏节能灯，每盏40元，还剩28元，我们带了多少钱？
生7：解决这道题的算式是40×6 28=268（元）。
生8：40×6算的是花的钱，再加上剩的钱就是带的钱。
生9：我们组发现除数×商 余数=被除数。
师：从小就要会节约，低碳环保。我们来看看他们组编的这道题，这个“40元”是单价，相当于除数；“6盏”是数量，相当于商；“28元”是剩的钱，相当于余数。你们了不起的想象力，赋予了这道题血和肉，给了它生命，好样的！
生9：一个机械厂的一个小组，一天生产40个零件，他们生产了6天，还剩28个零件没生产，他们总共要生产多少个零件？
生10：解决的算式是40×6 28=268（个）。
生11：40×6算的是已经生产好的，再加上没生产的，就是一共要生产的。
生12：我们组发现除数×商 余数=被除数。
师：他们说的怎么样啊？
生13：很会举例，很会联想。
生14：举例说明的问题很简单。
……
师：同学们，你们用自己的能力说明了为什么要用除数乘商加余数就等于被除数。那现在你们能根据被除数、商、余数来求除数了吗？
（生跃跃欲试）
师：这样的问题交给同桌之间来解决吧！
（学生同桌之间互相举例，明确被除数、商、余数、除数之间的关系）
师：通过举例，你们发现它们之间的关系了吗？
生15：（被除数-余数）÷商=除数。
师16：“被除数-余数”算的是什么呢？
生17：就好像刚才我们花的钱一样。
……
3.全课总结，激励评价
师：这节课你们学到了什么？ 生18：（被除数-余数）÷商=除数，被除数=除数×商 余数。
生19：我学会了自己总结规律。
生20：我学会了自己解决问题。
……
师：同学们，听过了会忘记，看过了也会忘记，但是只有自己去研究了，就会真正的明白！希望同学们以后在学习中能保持这种爱研究的学习态度，这样你们才会真正得到发展！
……
课后反思：
1.教学要有知识的习得与素养的培养
日本数学教育家米山国藏曾阐述这样的观点：“在学校学的数学知识，毕业后没什么机会可用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，铭记在心的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的角度等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。”因此，在学生学习数学过程中，教师除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性知识的教学外，更应该重视对学生数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，使数学学习给学生留下意识、思想、经验、习惯、快乐，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。如在本节课教学中，当学生看到类似“（ ）÷40=6……28、500÷（ ）=7……10”的题型时，就会立刻想到给它们赋予生活的气息。这里，学生从数学的视角出发，联系生活中的情景，解决了具体的问题，提高了解决实际问题的能力。
2.学生要有自主探究的空间与时间
课堂时间是宝贵的，我们往往认为：教师讲比学生讲要节省时间，只要让学生多练就能出成绩，这就是所谓的高效。正是这样的想法，让教师按部就班、循规蹈矩地进行教学，导致数学课堂就是教师讲、学生练。长此以往，学生学到的只是呆板的数学，只是一些强制性接受的知识。而在本节课教学中，教师通过适时的引导，使学生明白了可以通过创编应用题，解释我们已知的但没有理解的知识。
3.教师要有敢想、敢做的勇气和行动
其实，很多教师在教学中是很有想法的，但是却害怕去做。北京市人大附中特级教师李晓风说过：“只要在学问上吃透，在方法上没有什么藩篱，没有什么界线，你想明白了就去做，而且要敢于有新的想法、新的做法，但是所有的这些东西都要有学术上的支撑，没有学术上的支撑那就乱了。”我想，如果我们教师有了创新，我们的学生就会获得更好的发展，那我们教育的目标也在这个过程中实现了，何乐而不为呢？
（责编 杜 华）
[关键词]反思 问题 数学本质 被除数 除数 商
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）29-017
问题出处：
人教版小学数学四年级上册第75页第12题：在下面的（ ）里填上适当的数。
（ ）÷40=6……28 500÷（ ）=7……10
课前思考：
在《教师教学用书》中看到了对此题的要求：“本题是根据被除数、除数与商的关系逆向计算的题，意在提高学生综合解决问题的能力。”这里的后半句话，引发了我深深的思考。
第一，从三年级开始，学生已经接触除法的验算，即怎样根据除数、商与余数求被除数，但为什么要用“除数×商 余数”来算被除数呢？学生回答：“老师告诉的，这是验算的方法。”如果继续问学生：“你们的老师是怎样知道的？”生答：“是老师的老师告诉老师的……”如此问下去，就像是一个永远都难以解决的数学难题。这样追问的结果，就像“世界上究竟是先有鸡，还是先有蛋”这样的哲学问题，永远找不到答案。
第二，如果问教师，教师会认为这是数学上的规定，可是这种规定是随意的，或是约定俗成的，还是某个人规定的呢？究竟是谁有如此大的威慑力，能把这种规定延续至今呢？如果我们的教学只是重复着前人的规定，那教学又有何意义呢？
第三，在除法验算中，这种题会一直延续着、练习着，教师也一直会把这种题型作为能力拓展题，让学生一遍遍地记住其中的数量关系，导致学生在痛苦中记忆着，在重复中茫然着……
基于以上认识，我想：“就当这道题是一道能力拓展题，任其自然吧。”可是，眨眼间，我改变了自己的想法：“既然讲了，就应该与高效挂钩。”可是该怎样教呢？结合教参对此题的要求、自己对此题的认识及学生的认知起点，我将此题的教学重心放在从具体的情景中抽取出数学问题、解决数学问题上，从真正意义上做到解决学生知识学习中的困惑点，使他们不仅“知其然”，而且“知其所以然”。
教学过程：
1.直奔主题，产生质疑
师[出示（ ）÷40=6……28]：这道题你们会做吗？
生：会做。
师：怎么做？
生1：用40×6 28计算就可以了。
师：为什么不用28×6 40计算呢？
生2：因为被除数=除数×商 余数。
师：你们是怎么知道的呀？
生3：奥数老师讲的。
生4：以前老师讲的。
……
师：老师讲的就一定是对的吗？
生（产生怀疑）：是啊，老师讲的就一定是对的吗？究竟是怎样的呢？
……
2.提出问题，解决问题
师：好了，事实上你们是对的，可是对的也应该有理由。为什么被除数就等于“除数×商 余数”呢？
（学生开始了新的思考，可是似乎无从下手）
师：难道这仅仅就是一个算式吗？这个冰冷的、呆板的算式，你们能把它变得有生命力、“活”起来吗？
生：很难。
师：比如说买东西。
（一语惊醒梦中人）
生5：应用题。
师：好样的，学数学就一定要会联想。下面就让我们以小组为单位，以这个算式为基础，想一想、编一编并且算一算，看能不能说清这个算理。
（学生小组合作编题，师巡视指导）
生6：我和爸爸去超市买了6盏节能灯，每盏40元，还剩28元，我们带了多少钱？
生7：解决这道题的算式是40×6 28=268（元）。
生8：40×6算的是花的钱，再加上剩的钱就是带的钱。
生9：我们组发现除数×商 余数=被除数。
师：从小就要会节约，低碳环保。我们来看看他们组编的这道题，这个“40元”是单价，相当于除数；“6盏”是数量，相当于商；“28元”是剩的钱，相当于余数。你们了不起的想象力，赋予了这道题血和肉，给了它生命，好样的！
生9：一个机械厂的一个小组，一天生产40个零件，他们生产了6天，还剩28个零件没生产，他们总共要生产多少个零件？
生10：解决的算式是40×6 28=268（个）。
生11：40×6算的是已经生产好的，再加上没生产的，就是一共要生产的。
生12：我们组发现除数×商 余数=被除数。
师：他们说的怎么样啊？
生13：很会举例，很会联想。
生14：举例说明的问题很简单。
……
师：同学们，你们用自己的能力说明了为什么要用除数乘商加余数就等于被除数。那现在你们能根据被除数、商、余数来求除数了吗？
（生跃跃欲试）
师：这样的问题交给同桌之间来解决吧！
（学生同桌之间互相举例，明确被除数、商、余数、除数之间的关系）
师：通过举例，你们发现它们之间的关系了吗？
生15：（被除数-余数）÷商=除数。
师16：“被除数-余数”算的是什么呢？
生17：就好像刚才我们花的钱一样。
……
3.全课总结，激励评价
师：这节课你们学到了什么？ 生18：（被除数-余数）÷商=除数，被除数=除数×商 余数。
生19：我学会了自己总结规律。
生20：我学会了自己解决问题。
……
师：同学们，听过了会忘记，看过了也会忘记，但是只有自己去研究了，就会真正的明白！希望同学们以后在学习中能保持这种爱研究的学习态度，这样你们才会真正得到发展！
……
课后反思：
1.教学要有知识的习得与素养的培养
日本数学教育家米山国藏曾阐述这样的观点：“在学校学的数学知识，毕业后没什么机会可用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，铭记在心的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的角度等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。”因此，在学生学习数学过程中，教师除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性知识的教学外，更应该重视对学生数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，使数学学习给学生留下意识、思想、经验、习惯、快乐，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。如在本节课教学中，当学生看到类似“（ ）÷40=6……28、500÷（ ）=7……10”的题型时，就会立刻想到给它们赋予生活的气息。这里，学生从数学的视角出发，联系生活中的情景，解决了具体的问题，提高了解决实际问题的能力。
2.学生要有自主探究的空间与时间
课堂时间是宝贵的，我们往往认为：教师讲比学生讲要节省时间，只要让学生多练就能出成绩，这就是所谓的高效。正是这样的想法，让教师按部就班、循规蹈矩地进行教学，导致数学课堂就是教师讲、学生练。长此以往，学生学到的只是呆板的数学，只是一些强制性接受的知识。而在本节课教学中，教师通过适时的引导，使学生明白了可以通过创编应用题，解释我们已知的但没有理解的知识。
3.教师要有敢想、敢做的勇气和行动
其实，很多教师在教学中是很有想法的，但是却害怕去做。北京市人大附中特级教师李晓风说过：“只要在学问上吃透，在方法上没有什么藩篱，没有什么界线，你想明白了就去做，而且要敢于有新的想法、新的做法，但是所有的这些东西都要有学术上的支撑，没有学术上的支撑那就乱了。”我想，如果我们教师有了创新，我们的学生就会获得更好的发展，那我们教育的目标也在这个过程中实现了，何乐而不为呢？
（责编 杜 华）