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学习数学知识的目的在于能够灵活运用所学知识来解决实际问题,方案设计问题已成为实际应用问题的热点素材,它是各类考试的重点.下面将利用不等式(组)知识进行方案设计的问题归类如下,供同学们鉴赏.
一、当题中给出方案时,需分类讨论得到最优方案
例1 甲乙两商店以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同优惠方案:在甲商店累计购买100元商品后,再购买的商品按原价的90%收费;在乙商店累计购买50元商品后,再购买的商品按原价的95%收费. 根据甲乙商店的销售方案,顾客应怎样选择商店购物使得花费较小?请你为顾客设计一套购买方案.
分析:根据甲乙两商店各自的优惠方案,应分以下三种情形考虑:(1)顾客累计购物款不超过50元;(2)顾客累计购物款超过50元但不超过100元;(3)顾客累计购物款超过100元.(其中又有三种情况:什么情况下乙商场购物花费小?什么情况下甲乙两商场购物花费相同?什么情况下甲商场购物花费小?)
解答:(1)顾客累计购物款不超过50元时,两家购物花费没有区别(即任选一家都行);
(2)顾客累计购物款超过50元但不超过100元时,选择乙商场购物花费小;
(3)设顾客累计购物x元(x>100),则在甲商店的实际花费为100+0.9(x-100)元,在乙商店的实际花费为50+0.95(x-50).
① 由100+0.9(x-100)<50+0.95(x-50),解得x>150;
即顾客累计购物超过150元时,选择在甲商店购物花费小.
② 由100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50),解得x=150;
即顾客累计购物等于150元时,选择在甲、乙两商店购物花费是一样的.
③ 由100+0.9(x-100)>50+0.95(x-50),解得x<150;
即顾客累计购物超过100元而少于150元时,选择在乙商店购物花费小.
综上所述,当顾客购物超过150元时,选择在甲商店购物花费小;当顾客购物超过50元而少于150元时,选择在乙商店购物花费小;当顾客购物不超过50元或等于150元时,选择两家购物花费一样多.
二、根据题意构建不等式组
例2 某汽车销售公司到红旗汽车制造厂选购A、B两种型号的轿车,用300万元可购进A型轿车10辆,B型轿车15辆;用300万元也可以购进A型轿车8辆,B型轿车18辆.
(1)求A、B两种型号轿车每辆分别为多少万元?
(2)若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元,销售1辆B型轿车可获利5000元,该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆,且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元,问有几种购车方案?在这几种购车方案中,该汽车销售公司将这些轿车全部售出后,分别获利多少万元?
分析:此题综合考查了构建方程组与不等式组数学模型解决实际问题的能力. 据条件列二元一次方程组可求解第(1)小题;求解第(2)小题时,先由条件“不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆,且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元”构建不等式组,求出购进某种型号的轿车辆数的取值范围,再由整数解的个数确定出购车方案数,进而求出各方案中售出全部轿车的获利多少.
解答:(1)设A型号的轿车每辆为x万元,B型号的轿车每辆为y万元,根据题意得:
10x+15y=300,8x+18y=300.解得x=15,y=10.
答:A、B两种型号的轿车每辆分别为15万元、10万元.
(2)设购进A种型号的轿车a辆,则购进B种型号的轿车(30-a)辆. 根据题意得:
15a+10(30-a)≤400,0.8a+0.5(30-a)≥20.4.解此不等式组得 18≤a≤20.
因为a为整数, 所以a=18、19、20.
因此,有三种购车方案:
方案一:购进A型号轿车18辆,购进B型号轿车12辆;
方案二:购进A型号轿车19辆,购进B型号轿车11辆;
方案三:购进A型号轿车20辆,购进B型号轿车10辆;
汽车销售公司将这些轿车全部售出后:
方案一获利:18×0.8+12×0.5=20.4(万元).
方案二获利:19×0.8+11×0.5=20.7(万元).
方案三获利:20×0.8+10×0.5=21(万元).
一、当题中给出方案时,需分类讨论得到最优方案
例1 甲乙两商店以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同优惠方案:在甲商店累计购买100元商品后,再购买的商品按原价的90%收费;在乙商店累计购买50元商品后,再购买的商品按原价的95%收费. 根据甲乙商店的销售方案,顾客应怎样选择商店购物使得花费较小?请你为顾客设计一套购买方案.
分析:根据甲乙两商店各自的优惠方案,应分以下三种情形考虑:(1)顾客累计购物款不超过50元;(2)顾客累计购物款超过50元但不超过100元;(3)顾客累计购物款超过100元.(其中又有三种情况:什么情况下乙商场购物花费小?什么情况下甲乙两商场购物花费相同?什么情况下甲商场购物花费小?)
解答:(1)顾客累计购物款不超过50元时,两家购物花费没有区别(即任选一家都行);
(2)顾客累计购物款超过50元但不超过100元时,选择乙商场购物花费小;
(3)设顾客累计购物x元(x>100),则在甲商店的实际花费为100+0.9(x-100)元,在乙商店的实际花费为50+0.95(x-50).
① 由100+0.9(x-100)<50+0.95(x-50),解得x>150;
即顾客累计购物超过150元时,选择在甲商店购物花费小.
② 由100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50),解得x=150;
即顾客累计购物等于150元时,选择在甲、乙两商店购物花费是一样的.
③ 由100+0.9(x-100)>50+0.95(x-50),解得x<150;
即顾客累计购物超过100元而少于150元时,选择在乙商店购物花费小.
综上所述,当顾客购物超过150元时,选择在甲商店购物花费小;当顾客购物超过50元而少于150元时,选择在乙商店购物花费小;当顾客购物不超过50元或等于150元时,选择两家购物花费一样多.
二、根据题意构建不等式组
例2 某汽车销售公司到红旗汽车制造厂选购A、B两种型号的轿车,用300万元可购进A型轿车10辆,B型轿车15辆;用300万元也可以购进A型轿车8辆,B型轿车18辆.
(1)求A、B两种型号轿车每辆分别为多少万元?
(2)若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元,销售1辆B型轿车可获利5000元,该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆,且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元,问有几种购车方案?在这几种购车方案中,该汽车销售公司将这些轿车全部售出后,分别获利多少万元?
分析:此题综合考查了构建方程组与不等式组数学模型解决实际问题的能力. 据条件列二元一次方程组可求解第(1)小题;求解第(2)小题时,先由条件“不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆,且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元”构建不等式组,求出购进某种型号的轿车辆数的取值范围,再由整数解的个数确定出购车方案数,进而求出各方案中售出全部轿车的获利多少.
解答:(1)设A型号的轿车每辆为x万元,B型号的轿车每辆为y万元,根据题意得:
10x+15y=300,8x+18y=300.解得x=15,y=10.
答:A、B两种型号的轿车每辆分别为15万元、10万元.
(2)设购进A种型号的轿车a辆,则购进B种型号的轿车(30-a)辆. 根据题意得:
15a+10(30-a)≤400,0.8a+0.5(30-a)≥20.4.解此不等式组得 18≤a≤20.
因为a为整数, 所以a=18、19、20.
因此,有三种购车方案:
方案一:购进A型号轿车18辆,购进B型号轿车12辆;
方案二:购进A型号轿车19辆,购进B型号轿车11辆;
方案三:购进A型号轿车20辆,购进B型号轿车10辆;
汽车销售公司将这些轿车全部售出后:
方案一获利:18×0.8+12×0.5=20.4(万元).
方案二获利:19×0.8+11×0.5=20.7(万元).
方案三获利:20×0.8+10×0.5=21(万元).